专题04 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题04 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 等边对等角 题型二 等腰三角形的定义 题型三 等边对等角并证明 题型四 三线合一 题型五 根据三线合一证明 题型六 格点图中画等腰三角形 题型七 找出图中的等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明等腰三角形 题型九 根据等角对等边证明边相等 题型十 根据等角对等边求边长 题型十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十二 作等腰三角形 题型十三 等腰三角形的性质与判定 题型十四 三角形边角的不等关系 题型十五 等边三角形的性质 题型十六 等边三角形的判定 题型十七 等边三角形的判定和性质综合 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点二：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点三：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 等边对等角】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形有一个角为，则底角是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，，则 °． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 【经典例题二 等腰三角形的定义】 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（　　） A．或 B． C． D． 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．20或25 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则它的周长为 ． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图等腰一腰上的中线把这个三角形的周长分成和，求等腰三角形的各边长． 【经典例题三 等边对等角并证明】 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将绕点按逆时针方向旋转至，若点，，在一条直线上，，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（   ） A．57° B．63° C．67° D．73° 2．（（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图所示，在中，，，且，则 ． 3．（23-24八年级下·天津南开·阶段练习）将一个等腰直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，点P在边上（点P不与点O，B重合）． (1)如图①，当时， 求点P的坐标； (2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并垂直于x轴的正半轴，垂足为Q．点O的对应点为， 设．如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，与边相交于点C，试用含t的式子表示四边形的面积为S，并直接写出t的取值范围． 【经典例题四 三线合一】 【例4】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）已知等腰 的周长为16，其中一边长为6，AD 为底边BC 上的高，则BD的长为（       ） A．2 B．3 C．4 或 6 D．2 或 3 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度 ． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，连接，，求的度数． 【经典例题五 根据三线合一证明】 【例5】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，且，则BD长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，点为边中点，，则 ． 3．（23-24八年级上·江西赣州·期末）（1）如图1，已知BD，CE是的中线，请你用无刻度的直尺作出BC边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边BC上中线． （1）__________________________； （2）__________________________． 【经典例题六 格点图中画等腰三角形】 【例6】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 1．（23-24八年级上·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： (1)作的中线； (2)作的高； (3)在上作点E，使； (4)点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 【经典例题七 找出图中的等腰三角形】 【例7】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中包含多少个等腰三角形？（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 3．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为(4,-3),且0A=5，在x轴上确定一点P，使△AOP是以OA为腰的等腰三角形． （1）写出一个符合题意的点P的坐标 ； （2）请在图中画出所有符合条件的△AOP． 【经典例题八 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例8】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，∠AOP＝∠BOP，CPOB，CP＝4，则OC＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形 个． 3．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知：如图，的高相交于点，且．求证：是等腰三角形； 【经典例题九 根据等角对等边证明边相等】 【例9】 （23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，、的平分线相交于F，过F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的有（    ） ①，都是等腰三角形：②：③：④．            A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，、的平分线相交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．则的周长为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，． (1)如图1，与，之间的关系为 　　． (2)如图2，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作交于点，交于点．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出与，之间的正确关系，并说明理由． 【经典例题十 根据等角对等边求边长】 【例10】（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作交、于、，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在，，且，则 ． 3．（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图，点，，，四点共线，且，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【经典例题十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例11】如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 1．如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    3．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒 速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【经典例题十二 作等腰三角形】 【例12】以下尺规作图能得到平分的是（    ）    A． 只有① B．只有② C．①② D．①②③ 1．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．已知：如图，线段，直线l．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法；    (1)在图1中过点M作直线l的垂线，垂足为H； (2)在图2中求作点P，使得点P在直线l上，且等腰三角形．（请作出所有满足条件的P点） 【经典例题十三 等腰三角形的性质与判定】 【例13】如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 1．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 3．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 【经典例题十四 三角形边角的不等关系】 【例14】已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 1．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 2．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 3．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【经典例题十五 等边三角形的性质】 【例15】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 1．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 2．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 3．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【经典例题十六 等边三角形的判定】 【例16】已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 1．有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 3．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【经典例题十七 等边三角形的判定和性质综合】 【例17】如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 1．如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 3．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）已知一等腰三角形，若其中一个底角的度数为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③是等边三角形；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，若，，于，，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ．    8．（22-23八年级上·福建泉州·期中）如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 10．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，等边三角形纸片的周长为6，E，F是边上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是 11．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，，且，求的度数． 12．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在中，平分交于点，交于点，若，，求证：是等腰三角形． 13．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图中和是两个完全相同的等腰直角三角形，，，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 14．（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 15．（23-24八年级上·河南郑州·期末）课本上有如下探究活动： 探究 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系吗？ 由上图可得，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们就得到定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 现在，我们交换上面定理的题设和结论，得到下面的命题： 在直角中，，如果，那么． 请判断此命题的真假，若为真命题，请结合下图给出证明；若为假命题，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 等边对等角 题型二 等腰三角形的定义 题型三 等边对等角并证明 题型四 三线合一 题型五 根据三线合一证明 题型六 格点图中画等腰三角形 题型七 找出图中的等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明等腰三角形 题型九 根据等角对等边证明边相等 题型十 根据等角对等边求边长 题型十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十二 作等腰三角形 题型十三 等腰三角形的性质与判定 题型十四 三角形边角的不等关系 题型十五 等边三角形的性质 题型十六 等边三角形的判定 题型十七 等边三角形的判定和性质综合 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点二：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点三：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 等边对等角】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形有一个角为，则底角是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：①若该角是顶角，②若该角是底角，分别求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①若该角是顶角，则底角为：， ②若该角是底角，则底角为：， 故选：C． 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用等腰三角形的性质、三角形外角的性质成为解题的关键． 设，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解的：，则． 故答案为：． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 【答案】(1)40； (2)或或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．三角形内角和定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． （1）由，根据等边对等角的性质，即可求得的度数； （2）分别从①，②，，③，去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵中，，点D为边上的一个点，且， ∴； 故答案为：40 （2）有三种情况：①， ∵， ∴， ∵， ∴， ②，， ∴， ∵， ∴， ∴， ③， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或或． 【经典例题二 等腰三角形的定义】 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况，结合三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 综上所述，有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为或， 故选：A． 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义得到三边长，再根据三角形的三边关系判断是否成立即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：当为腰长时， 三角形的三边长为， ，不能构成三角形，故舍去， 当为腰长时， 三角形的三边长为，符合三角形的三边关系， 故周长为：， 故选C． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则它的周长为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为边为5和11，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当5为底时，其它两边都为11，而11、5、11可以构成三角形，周长为27；当5为腰时，其它两边为11和5．因为，所以不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有27． 故答案为：27． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图等腰一腰上的中线把这个三角形的周长分成和，求等腰三角形的各边长． 【答案】等腰三角形的各边长为8cm、、或、、 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；设腰长和底边长分别为x、y，分腰长加腰长的一半是和两种情况讨论求解． 【详解】设三角形腰长为x，底边长为y， 则利方程组为或， 解得或， 答：这个等腰三角形的各边长分别为、、或、、． 【经典例题三 等边对等角并证明】 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将绕点按逆时针方向旋转至，若点，，在一条直线上，，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得，，，，由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，即可得到，根据三角形外角的性质即可得到答案．本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，灵活运用相关知识是解题关键． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（   ） A．57° B．63° C．67° D．73° 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质可求出，可得出，再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：∵AC=BC， ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴ ∵a∥b， ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出是解答本题的关键． 2．（（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图所示，在中，，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论． 【详解】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AE=AD， ∴∠ADE=∠AED， ∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC， 化简可得：∠α=2∠EDC， ∴∠EDC=α， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，关键是熟悉三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的知识点． 3．（23-24八年级下·天津南开·阶段练习）将一个等腰直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，点P在边上（点P不与点O，B重合）． (1)如图①，当时， 求点P的坐标； (2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并垂直于x轴的正半轴，垂足为Q．点O的对应点为， 设．如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，与边相交于点C，试用含t的式子表示四边形的面积为S，并直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求，即可求解； （2）分别求出的长，由梯形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：过点P作，如图， ∵点B在第一象限，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点； （2）解：∵， ∴ ∵折叠后与重叠部分为四边形， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，梯形的面积公式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【经典例题四 三线合一】 【例4】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：A 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）已知等腰 的周长为16，其中一边长为6，AD 为底边BC 上的高，则BD的长为（       ） A．2 B．3 C．4 或 6 D．2 或 3 【答案】D 【分析】分，和，两种情况进行讨论，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求解， 本题考查了，等腰三角形三线合一，解题的关键是：分情况讨论． 【详解】解：当时， ∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度 ． 【答案】40 【分析】根据题意，得，结合，得到，结合平角定义计算即可． 本题考查了等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 又∵是的中点，即是底边上的中线， ∴平分， ∴． 【经典例题五 根据三线合一证明】 【例5】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， 而不一定成立， 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，且，则BD长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=2． 【详解】∵，， ∴, 故选：B． 【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，点为边中点，，则 ． 【答案】 【分析】先证明是等腰三角形，再利用等边三角形三线合一的性质进行求解． 【详解】解：∵AB=CA， ∴是等腰三角形， ∵D是BC边上的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用三线合一是正确解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·江西赣州·期末）（1）如图1，已知BD，CE是的中线，请你用无刻度的直尺作出BC边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边BC上中线． （1）__________________________； （2）__________________________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形中线及等腰三角形的性质，熟悉三角形中线的性质是解题的关键。 （1）设BD，CE交于点，连接并延长交于点，则为边上的中线； （2）利用等腰三角形的性质得到点为的中点，为的中点，连接、，它们相交于，延长交于，则为边上的中线． 【详解】解：（1）如图1，线段为所作； （2）如图2，线段为所作． 【经典例题六 格点图中画等腰三角形】 【例6】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键 分三种情况，当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图，分三种情况， 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为； 综上，满足条件的所有格点有8个， 故选：C． 1．（23-24八年级上·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论． 【详解】解：如下图， 分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： (1)作的中线； (2)作的高； (3)在上作点E，使； (4)点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的中线的定义，利用数形结合的思想作出中线即可； （2）取格点，，，得到，据此即可作出高； （3）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）； （4）观察图形知，取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求； （2）解：如图，线段，即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：如图，点即为所求， 【经典例题七 找出图中的等腰三角形】 【例7】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中包含多少个等腰三角形？（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可求出∠C的度数，根据角的和差关系可求出∠BAD的度数，利用外角的性质可求出∠ADC的度数，根据等角对等边即可判断出等腰三角形的个数，可得答案． 【详解】∵∠BAC=108°，∠B=36°，∠DAC=72°， ∴∠C=180°-∠BAC-∠B=36°，∠BAD=∠BAC-∠DAC=36°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=72°， ∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC， ∴AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∴△ABC、△ADB、△ACD是等腰三角形，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及三角形内角和，熟记等角对等边及三角形的内角和为180°是解题关键． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 3．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为(4,-3),且0A=5，在x轴上确定一点P，使△AOP是以OA为腰的等腰三角形． （1）写出一个符合题意的点P的坐标 ； （2）请在图中画出所有符合条件的△AOP． 【答案】（1）点P的坐标为或或，写出其中一个即可；（2）见解析 【分析】（1）以点O为圆心，OA为半径画圆，与x轴的交点P1、P2即为所求；以点A为圆心，OA为半径画圆，与x轴的交点P3即为所求； （2）连接AP1、AP2、AP3 、OP1、OP2、OP3即可． 【详解】（1）如图，点P的坐标为或或． （2）如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图的问题，掌握等腰三角形的性质以及尺规作图的方法是解题的关键． 【经典例题八 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例8】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，共有中拼法： 故选：． 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，∠AOP＝∠BOP，CPOB，CP＝4，则OC＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出∠CPO＝∠BOP，推出∠CPO＝∠COP，得出CP＝OC，代入求出即可． 【详解】解：∵CP∥OB， ∴∠CPO＝∠BOP， ∵∠AOP＝∠BOP， ∴∠CPO＝∠COP， ∴CP＝OC， ∵CP＝4， ∴OC＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线性质和等腰三角形判定的应用，主要考查学生的推理能力． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形 个． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，仔细审题，根据、易求，又因为是等腰三角形，再结合、三等分即可得到， 然后得到，结合三角形内角和定理即可得到， 接下来再根据等角对等边即可得到、、、、是等腰三角形，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边进行判断． 【详解】∵，， ∴， ∴是等腰三角形。 ∵，，三等分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴、、、、是等腰三角形， 则等腰三角形有：、、、、、共个， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知：如图，的高相交于点，且．求证：是等腰三角形； 【答案】见解析 【分析】本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可. 【详解】证明：∵的高相交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【经典例题九 根据等角对等边证明边相等】 【例9】 （23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，、的平分线相交于F，过F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的有（    ） ①，都是等腰三角形：②：③：④．            A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出，则是等腰三角形，同理可得，是等腰三角形，①正确；根据，，根据线段的和差以及等量代换可得，，即②正确，③错误；由于和不一定相等，则可得和不一定相等，④错误． 【详解】解：①∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， 同理可得， ∴，都是等腰三角形，①正确； ②∵，，， ∴，②正确； ③∵， ∴，③错误； ④∵和不一定相等， ∴和不一定相等，④错误； 综上，结论正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识；灵活运用平行线的性质、角平分线定义求出、是解题的关键． 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定即可得选项A正确；先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可得选项B正确；根据邻补角的定义求出，由此即可得选项C错误；根据等腰三角形的判定即可得选项D正确． 【详解】解：， ，则选项A正确； ，， ， ，则选项B正确； ， ， ， ，则选项C错误； ， ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，、的平分线相交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．则的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和新性质，平行线的性质等知识，由在中，、的平分线相交于点O，过点O作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于． 【详解】解：∵在中，、的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长是：． 故答案为：18． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，． (1)如图1，与，之间的关系为 　　． (2)如图2，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作交于点，交于点．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出与，之间的正确关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，与，之间的正确关系是，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换以及线段的和差关系，即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换以及线段的和差关系，即可解答． 【详解】（1）解：（1）， 理由：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论不成立，与，之间的正确关系是， 理由：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【经典例题十 根据等角对等边求边长】 【例10】（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作交、于、，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线和平行，可判定△BEO和△CFO为等腰三角形，通过线段和差即可求出CF． 【详解】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠EBO=∠CBO， ∵， ∴∠EOB=A∠CBO, ∴∠EBO=∠EOB， ∴BE=EO， 同理，CF=FO， ，， ∴CF=8-3=5， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和平行线、角平分线的性质，解题关键是联系已知条件，发现线段相等关系． 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值. 【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC ∵EFBC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴DE=BE=9 同理：DF=CF=5， ∴EF=DE-DF=9-5=4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键. 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在，，且，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．根据等角对等边即可得． 【详解】解：∵在，，且， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图，点，，，四点共线，且，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据AC=BD可得AD=BC，然后利用已知条件根据ASA即可证明全等； （2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF，再结合等角对等边可得，最后利用线段的和差即可求得EG的长度． 【详解】解：（1）证明：∵AC=BD， ∴AC+CD=BD+CD， ∴AD=BC， 在△ADE和△BCF中， ∴△ADE≌△BCF（ASA）； （2）∵△ADE≌△BCF， ∴∠ADE=∠BCF， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键． 【经典例题十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例11】（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有8个． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定． 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可； 【详解】解：当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个； 当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个； 当时； 作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个； ∴满足条件的点总共有个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河南新乡·课后练习）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【答案】或或或 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 3．（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒 速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【答案】（1）秒． （2）秒或秒． （3）秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）过点作，从而可得在≌，在中再根据勾股定理即可求出答案． （2）分别讨论P在AB，BC，AC三种情况，明显是BC边上不可能，只要讨论AB，AC两种情况即可． （3）讨论P在AB边上时每一条边都可能是底的情况，讨论P在AC边上时每一条边都可能是底的情况，解出即可． 【详解】（1）如图所示，过点作于点，    在的角平分线上，，， ， 在和中 ， ， ， 又，，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 秒． （2）①当点在上时， ， ， 秒， ②当点在上时，如图所示，    过点作于点， ， 代入可得：， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得： ， ， 秒， 综上，当的值为秒或秒时，． （3）①当时， ，则， 秒， ②当时，过作，如图所示，    ，， 为的中线， 又， ， 为的中位线， 为的中点， ， ， 秒， ③当，点在上时， ， 秒， 点在上时，如图所示，过作于，    由（2）可得：，， ，， 为的中线， 点是的中点， ，则， 秒． 综上，当的值为秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形，勾股定理等知识点，孰练记住它们的性质和会分类讨论思想是解决问题的关键. 【经典例题十二 作等腰三角形】 【例12】（24-25八年级上·全国·单元测试）以下尺规作图能得到平分的是（    ）    A．只有① B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】D 【分析】根据尺规作图的几何意义，结合三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了角的平分线尺规作图，三角形全等的判定和性质，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握掌握尺规作图，平行线的性质，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】如图，根据作图，得到， ∴， ∴， 即平分， 故①正确；   ； 如图，根据作图，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故②正确；    如图，根据作图，得到， ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故③正确； 故选D． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 【答案】A 【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：∵所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确， 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南郑州·单元测试）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 3 取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）如图取格点E、F，连接EF，与网格线交于点G，AB与网格线交于H，连接GH，取格点I，连接CI交GH于点P，连接PA、PB，△PAB即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）如图，取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．    故答案为：取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【点睛】本题考查作图——应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用线段的垂直平分线的性质，平行线的判定和性质解决问题． 3．（24-25八年级上·河南新乡·单元测试）已知：如图，线段，直线l．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法；    (1)在图1中过点M作直线l的垂线，垂足为H； (2)在图2中求作点P，使得点P在直线l上，且等腰三角形．（请作出所有满足条件的P点） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，作等腰三角形，明确作图的目的是解本题的关键． （1）以为圆心，大于M到的距离为半径画弧，交直线与两点，再分别以为圆心，大于一半为半径画弧，两弧交于点G，再作直线，交直线于即可； （2）以M为圆心，为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，再以N为圆心，为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，作线段的垂直平分线，得到垂线与直线的一个交点，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的垂线；    （2）如图，即为所求作的点；    【经典例题十三 等腰三角形的性质与判定】 【例13】（24-25八年级上·湖南长沙·课后作业）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）根据三角形的内角和可得，由为公共边，，即可得出结论． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）解：平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图中，在上取一点，使得， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，设与交于点， ，， ， 为公共边，， 与是友谊三角形． 【经典例题十四 三角形边角的不等关系】 【例14】（23-24八年级上·重庆开州·期末）已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【答案】D 【分析】由作法得BA＝BC，OA＝OC，则判断△AOB≌△COB，所以∠BOC＝∠AOB，则于是可对A选项进行判断；若AC＝OA，则可判断△OAC为等边三角形，则∠AOB＝60°，于是可对B选项进行判断；利用OA＝OC，BA＝BC得到OB垂直平分AC，则可对C选项进行判断；根据三角形三边的关系可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得BA＝BC，OA＝OC， 而OB为公共边， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOB，所以A选项的结论正确； 若AC＝OA，则OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，所以B选项的结论正确； ∵OA＝OC，BA＝BC， ∴OB垂直平分AC，所以C选项的结论正确； ∵AB＋BC＞AC， 而AB＝BC， ∴2AB＞AC，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形三边关系，也考查了垂直平分线的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 1．（23-24八年级上·湖南益阳·课后作业）等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可． 【详解】∵|AC-BC|=2cm， ∴AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm， ∵BC=8cm， ∴AC=（2+8）cm或AC=（8-2）cm，即10cm或6cm． 故选A． 【点睛】本题考查绝对值和等腰三角形的性质，掌握绝对值的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，要求的最小值即为的最小值，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，即，当C、P、D共线时取等号， ∴的最小值为； 故答案为． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 【经典例题十五 等边三角形的性质】 【例15】（23-24八年级上·河南郑州·单元测试）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 1．（23-24八年级上·河南驻马店·单元测试）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明全等三角形，将线段一分为二，分别求出两段的长度，进而求出的长度． 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 在中，， ∴， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明即可得证； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题十六 等边三角形的判定】 【例16】（23-24八年级上·湖南长沙·课后作业）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·单元测试）有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖南常德·单元测试）在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，由，，得．①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；②当时，由，得，进而即可判定；③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；④当是等腰三角形时，得为等边三角形，进而得，即可判断为等腰三角形．从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． ①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形； ②当时，， ∴， ∴为等边三角形； ③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形； ④当是等腰三角形时， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 综上，正确的说法是①②④． 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等边三角形的判定等知识；利用完全平方公式凑成和或差的平方是解题的关键．由完全平方公式，条件可化为，利用非负数的性质即可求得a、b、c的值，从而可判定的形状． 【详解】解：∵， ， ， ，是等边三角形． 【经典例题十七 等边三角形的判定和性质综合】 【例17】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．证可得，得①正确；和的大小不确定，得点的位置不确定，又是定值，得不一定平分，得②错误；先证，再证是等边三角形，即可得③正确；过作于，于，证，得，再利用角平分线的判定定理即可得④正确． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ，， ， ， 故①正确； 和的大小不确定， 点的位置不确定， 又是定值， 不一定平分， 故②错误； ， ， 又，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 故③正确； 过作于，于， ， ， ，， ， ， ，， ， 故④正确； 故正确的有个， 故选：C． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 3．（2024八年级上·湖南永州·课后练习）如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）已知一等腰三角形，若其中一个底角的度数为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形得两底角相等，结合三角形内角和定理即可求得顶角． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形， ∴两底角相等， ∵一个底角的度数为， 则顶角度数为， 故选：A． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，为等腰三角形， 同理可得：为等腰三角形，为等腰三角形，为等腰三角形． 综上所述：共有七个等腰三角形． 故选C． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，一元一次方程的应用． 设运动时间为，表示出，的长，由得到，从而，即可得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则 ，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 4．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 5．（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③是等边三角形；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．由，，得出，可判断①；由①可证明，可判断②；可证明是等腰三角形但不能证明是等边三角形，可判定③；由，可求出，进而得出，继而证出，可判断④；即可得出答案． 【详解】解：， ，， ， ， ①符合题意； ，， ，， ， ②符合题意； ，，但不能判定是等边三角形， ③不符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ④符合题意； 故选：D． 6．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，若，，于，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判断与性质，三角形内角和定理等，先根据三角形内角和定理求出，然后利用等角对等边证明，最后根据三线合一求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵于，， ∴， 故答案为：4． 7．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ．    【答案】21 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，根据“两直线平行，内错角相等”及角平分线的定义可证，，根据“等角对等边”可证，，最后通过等量代换即可求解． 【详解】解：由题意知，平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是21． 故答案为：21． 8．（22-23八年级上·福建泉州·期中）如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ． 【答案】8 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交小正方形的格点为，，,； 综上所述：是等腰三角形，则点的个数为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 10．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，等边三角形纸片的周长为6，E，F是边上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，证明是等边三角形是解题的关键．首先证明是等边三角形，且边长为即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形，周长为6； ，， 是边上的三等分点， ， ∵，， ， ， 是等边三角形， 剪下的的周长为， 故答案为：2． 11．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，由等腰三角形的三线合一性质求得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在中，平分交于点，交于点，若，，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形的判定，先根据三角形内角和求出，再利用角平分线和垂直得到，即可得到，最后利用等角对等边得到等腰三角形． 【详解】证明：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 13．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图中和是两个完全相同的等腰直角三角形，，，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分的面积是平方厘米 【分析】本题考查多边形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是利用拼割法求长方形面积和三角形面积； 根据题意，连接，，分别求长方形面积和三角形面积即可求解； 【详解】解：如图，连接，， 为等腰直角三角形， ， 则， 则（平方厘米）， 答：阴影部分的面积是平方厘米； 14．（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （2）取格点，连接，取的中点，连接交一点，线段即为所求； （3）取的中点，连接，取格点，连接，取的中点，连接，作的角平分线，交于点，连接，延长交于点，点即为所求（可以证明，，再利用三角形的外角的性质证明． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点即为所求． 15．（23-24八年级上·河南郑州·期末）课本上有如下探究活动： 探究 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系吗？ 由上图可得，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们就得到定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 现在，我们交换上面定理的题设和结论，得到下面的命题： 在直角中，，如果，那么． 请判断此命题的真假，若为真命题，请结合下图给出证明；若为假命题，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，延长至点，使得．连接，证明是等边三角形即可解决问题 【详解】答：此命题是真命题． 证明：延长至点，使得．连接， 是线段的垂直平分线 是等边三角形 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$