小升初拓展培优：找次品(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

找次品 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 1、次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重． 2、方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品． 3、基本思路 （1）、理解题意：明确题目中的条件，如物品的总数、次品的特性（比正品轻或重）、称重工具（如天平） 等。 （2）、制定策略：根据题目条件，制定一个有效的称重策略，以最少的称重次数找出次品。 （3）、执行策略：按照制定的策略进行称重，并根据称重结果调整策略。 （4）、得出结论：根据称重结果确定次品的位置。 4、常用策略 （1）、三分法：当物品总数可以平均分为三份时，采用三分法。将物品分为三组，用天平比较其中两组的重量。如果平衡，则次品在第三组中；如果不平衡，则次品在较重或较轻的一组中。然后继续对含有次品的一组进行三分，直到找出次品为止。这种方法通常能保证以最少的称重次数找出次品。 （2）、二分法：当物品总数为偶数且无法平均分为三组时，可以采用二分法。将物品分为两组，用天平比较它们的重量。然后继续对含有次品的一组进行二分，直到找出次品为止。虽然二分法在某些情况下不是最优解，但它仍然是一个有效的策略。 （3）、排除法：在称重过程中，通过排除法逐步缩小次品可能存在的范围。每次称重后，根据结果排除一些物品，直到最后剩下次品为止。 【典例1】在9枚一模一样的金币中，有一枚比真金币轻的假金币。如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假金币？请把称的过程写下来。 【答案】2 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：第一次把9枚金币平均分成三份，每份3枚，任取其中两份，分别放在天平两端； 若天平不平衡，则第二次从天平较高端的3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端， 若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币， 若天平不平衡，则天平较高端的是假金币； 若第一次天平平衡，则第二次从未取的那3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端， 若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币， 若天平不平衡，则天平较高端的是假金币。 所以至少称2次能保证找出这枚假金币。 答：至少称2次能保证找出这枚假金币。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 【典例2】技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求．在抽检的11个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重． （1）如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （2）如果天平两边各放5个，称一次有可能称出来吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，把11个网球分成3份：4个、4个、3个；取4个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，取含有次品的一份（4个或3个）取其中的两个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，则较重的一个是次品；第三次，取含有次品的一份（2个），分别放在天平两侧，即可找到次品． （2）如果天平两边各放5个，天平平衡，则未取的一个为次品，所以有可能一次能称出次品． 【解答】解：（1）第一次，把11个网球分成3份：4个、4个、3个；取4个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取含有次品的一份（4个或3个）取其中的两个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，则较重的一个是次品； 第三次，取含有次品的一份（2个），分别放在天平两侧，即可找到次品． 答：至少3次能保证找到次品． （2）答：如果天平两边各放5个，天平平衡，则未取的一个为次品，所以有可能一次能称出次品． 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取网球的个数． 【典例3】有100个零件，分装成10袋，每袋装10个．在其中的9袋里面每个零件都是50克，另1袋里面的每个零件都是49克．这10袋混在一起，你能用秤称﹣﹣次，就把装49克的那1袋零件找出来吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，即可解答问题． 【解答】解：（1）把10袋零件分成两组：5袋为1组，进行第一次称量，那么次品就在较轻的那一组中， （2）由此再把较轻的5袋分成2组：2袋为1组，如果左右相等说明剩下的1袋中有次品，考虑最差情况：左右不等，那么次品就在较轻的那2袋中， （3）把较轻的2袋分为2组：1组1盒，那么较轻的那一堆中有次品． 综上所述，至少经过3次就一定能找到次品． 【点评】解答此题的关键是将10袋零件进行分组，利用筛选法逐步找出次品． 【典例4】有15瓶水，其中14瓶质量相同，另有一瓶是盐水，比其他的水略重一些． （1）如果用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水来？ （2）称一次有可能找出这瓶盐水吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，第一次，把15瓶水平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一瓶在未取的一份中，若天平平衡，取较重的一份继续；第二次，把含有较重的一份（5瓶）分成3份（2瓶、2瓶、1瓶），取2瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的为未取的一瓶，若天平不平衡，则取较重的继续；第三次，取含有较重的一份（2瓶），分别放在天平两侧，即可找到较重的一瓶． （2）根据事件发生的可能性可知，称一次有可能找到这瓶盐水，因为这瓶较重的盐水就在这里面，所以，有可能一次就找到． 【解答】解：（1）第一次，把15瓶水平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一瓶在未取的一份中，若天平平衡，取较重的一份继续； 第二次，把含有较重的一份（5瓶）分成3份（2瓶、2瓶、1瓶），取2瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的为未取的一瓶，若天平不平衡，则取较重的继续；第三次，取含有较重的一份（2瓶），分别放在天平两侧，即可找到较重的一瓶． 答：至少称3次能保证找出这瓶盐水来． （2）答：因为这瓶较重的盐水在这些水中，所以，有可能称一次就找到． 【点评】本题主要考查找次品，关键注意每次取水的瓶数． 【典例5】李爷爷从6盒钙片里的一盒中拿出一片吃了，但他忘了是从哪一盒中拿出来的．你能用天平把少了一片的那一盒找出来吗？至少称几次能保证找出来？（请你用图表示称的过程） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，第一次，把6盒钙片平均分成3份（每份2盒），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一盒在未取的一份，若天平平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（2盒），分别放在天平两侧，即可找到较轻的一盒． 【解答】解：如图所示： 第一次，把6盒钙片平均分成3份（每份2盒），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一盒在未取的一份，若天平平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻的一份（2盒），分别放在天平两侧，即可找到较轻的一盒． 答：能用天平把少了一片的那一盒找出来，至少称2次能保证找出来． 【点评】本题主要考查找次品，关键注意每次取钙片的盒数． 1．有3盒茶叶，其中2盒每盒250克，另一盒次品不是250克，但不知道它比250克重还是轻。请你用天平找出次品，用合适的方法表示称的过程。至少要称几次才能保证找出来？ 2．有8个外形相同的乒乓球，其中只有一个质量不标准，请用一架不带砝码的天平，最多使用三次该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球．请在下面用图表示出称的过程． 3．某车间生产一批零件共11个，这批零件中有1个次品，且次品比正品轻，现在有一架天平，至少称几次才能找出次品？ 4．柜子中有5袋盐，其中的4袋每袋重500克，另一袋的质量不是500克，但不知道比500克重还是轻．你用无砝码的天平至少称几次就能找出质量不是500克的那袋盐呢？ 5．在9颗螺丝钉中，混入了1颗不合格的螺丝钉（次品），它与合格螺丝钉的外形一模一样，只是质量略重些．如果用天平称，最少称几次能保证找出这个次品？ 6．有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 7．有8个外形相同的乒乓球，其中只有一个质量不标准，请用一架不带砝码的天平，最多使用三次该天平，找出上述次品乒乓球。请在下面用图表示出称的过程。 8．有14枚外观一样的硬币，其中有一枚假硬币比真硬币要重。用天平称，至少要称几次才能把假硬币找出来？请写出简单的过程。 9．一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案） 10．有9盒奶粉，其中8盒每盒600g，另1盒（次品）不是600g，但不知道比600g重还是轻。至少称几次才能保证找出次品？ 11．有3袋药品，其中2袋每袋20g，另1袋不是20g，但不知道比20g重还是轻，你能用天平找出来吗？试一试，用合适的方法表示称的过程．至少要称几次才能保证找出来？ 12．技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 13．工厂生产了27个羽毛球，其中一个比较重，这样的球会影响运动员的正常发挥，你能利用天平尽快把这个次品的羽毛球找出来吗？试一试。 14．有4个零件，其中3个质量都是30g，另外一个质量不是30g，但不知道比30g重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以保证找出这个不合格的零件？ 15．在27件产品中混进了一件不合格产品（不合格产品重一些）。用天平称，至少称几次就一定能找出这件不合格产品？ 16．有14瓶酸奶，其中13瓶质量相同，另有1瓶轻一些，是次品．如果用天平称，至少称几次可以保证把次品酸奶找出来？ 17．有16瓶相同的矿泉水，其中1瓶质量较轻，属于不合格产品。用一架没有砝码的天平至少称几次才能保证找出这瓶不合格产品？ 18．在15瓶口香糖中，14瓶的质量相同，只有1瓶比其他的少4粒。如果要确保找出轻的那1瓶口香糖，那么至少需要用天平称几次？ 19．王老师买了9盒巧克力为学生补充体能，其中有一盒被儿子偷吃了一些，如果给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一盒？请用图示表示称的过程。 20．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 21．1箱牛奶有12袋，其中11袋质量相同，另一袋质量较轻．如果用天平来称，至少称几次能保证找出这袋牛奶？ 22．有一盒乒乓球，其中有1个较重的是次品，用天平称，至少称3次就能保证找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能是多少个？ 23．有9颗外形完全相同的钻石，其中有1颗是假的，且比真的略重一些。现再拿1颗外形完全相同的真钻石放入其中，用天平称，至少称几次能保证把假的钻石找出来？ 24．学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 25．有9袋糖果，其中8袋每袋100克，另一袋不足100克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？ 26．张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程） 27．一箱核桃露有24罐，其中有一罐质量有问题，比其他的核桃露重一些，如果用天平称，至少称几次才能保证找到次品？（请写出过程） 28．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 29．用天平找次品，称了三次，至少可以从多少个零件中找出次品？最多可以从多少个零件中找出次品？写出你的方案。 30．1箱糖果有7袋，我们将这7袋糖果分别用序号①～⑦表示，其中6袋质量相同，另有一袋质量不足，如果用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？请你表示出用天平找次品的过程。 1．【答案】2次。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：第一次：从3盒茶叶中任取2盒标为①②，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取那盒③即是重量不同的那盒。 第二次：若天平不平衡，把在天平两端的茶叶，取一盒①，与未取那盒③，分别放在天平两端， 若天平平衡，则第一次称量时的另一盒②即为重量不一样的茶叶。 答：至少要称2次才能保证找出来。 【点评】本题考查知识点：依据天平平衡原理解决问题。 2．【答案】见试题解答内容 【分析】称第一次：把这8个乒乓分成（4，4）两组，天平每边放一组，肯定不平衡．称第二次：把轻的4个分成（2，2），若平衡，奖品在未称的4个，且奖品比标准球重；若不平衡，奖品在正在称的4个，且次品比标准球轻．此时已知次品比标准球轻还是重．称第三次：天平每边各拿下1个，若平衡，次品是拿下的两个中的一个，根据在哪边拿下的即可确定这个次品． 【解答】解：第一次：把8个分成（4，4）A、B两组两组，天平每边放一组，天平一定不平衡（如图）． 称第二次：把A组分成（2，2）C、D两组．有两种情况：①平衡，次品在B组，且比标准球重；②不平衡，次品在A组，且次品比标准球轻．不论怎样，称这一次已经知道次品在哪组，且比标准球重（或经）． 称第三次：把有次品的一组4个每边各拿下1个．出现两种情况：①平衡，次品在原来重（或轻）的一边；②不平衡，次品是重（或轻）一个．由于第二次称已经知道次品比标准球重还是轻，因此，这一次一定找到次品． 【点评】用天平找次品，关键是合理分组，分组的方法不同，称的次数也会改变． 3．【答案】3次。 【分析】把11 分成（4，4，3），天平两边各放4个，如果平衡，将3分成（1，1，1）需要2次，找出较轻的，即可解答。如果不平衡将4分成（1，1，2），再将2分成（1，1）需要3次，找出较轻的，即可解答。所以至少称3次才能找出次品。 【解答】解：把11 分成（4，4，3），天平两边各放4个，如果平衡，将3分成（1，1，1）需要2次，找出较轻的，即可解答。如果不平衡将4分成（1，1，2），再将2分成（1，1）需要3次，找出较轻的，即可解答。所以至少称3次才能找出次品。 答：至少称3次才能找出次品。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据。注意每次分的份数。 4．【答案】见试题解答内容 【分析】天平是一个等臂杠杆，利用杠杆的平衡原理即可解决此类问题． 【解答】解：（1）等一次称量：先把其中4袋拿出分作2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右相等，那么说明剩下的那一袋是次品；如果左右不等，那么说明次品就在其中一边； （2）第二次称量：把左边的两袋分别放在天平的左右两边称量：如果相等，那么次品在右边一组的两袋中，如果不等，那么说明这两袋中有一袋是次品； （3）把确定有次品的2袋盐，分别与其它三袋中的任意一袋继续称量，相等的是500克，不等的就是次品，由此也可以利用天平的平衡原理得出它的质量是大于500克或是小于500克． 【点评】此题是灵活考查天平的应用，方法还是杠杆的平衡原理． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，第一次，把9颗螺丝钉平均分成3份，每份3颗，取两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，取含有较重的一份（3个），取其中2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品为未取的一个，若天平不平衡，可找到较重的次品．据此解答． 【解答】解：第一次，把9颗螺丝钉平均分成3份，每份3颗，取两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取含有较重的一份（3个），取其中2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品为未取的一个，若天平不平衡，可找到较重的次品． 答：用天平称，最少称2次能保证找出这个次品． 【点评】本题主要考查找次品，关键注意每次取螺丝钉的颗数． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】根据找次品的规律，当物品个数最多在3n时，至少需要n次即可找到次品．所以如果5次才能找到次品，则物品的个数应大于34＝81（个），小于或等于35＝243（个）． 【解答】解：34＝81（个） 81+1＝82（个） 35＝243（个） 即：81＜乒乓球的个数≤243 答：这个箱子中最少有82个乒乓球，最多243个． 【点评】本题主要考查找次品，关键根据找次品的规律：当物品个数最多为3n个时，最多n次即可保证找到次品． 7．【答案】 【分析】根据找次品的规律，8个物体在知道次品轻重的情况下，称两次就可以称出次品，但是题干中表示质量不标准，所以需要多一次，也就是三次就可以称出来。 任意标号1、2、3、4、5、6、7、8。 第一步：称1、2、3、4（第1次称）。若平衡，则1、2、3、4是标准乒乓球，不标准乒乓球在5、6、7、8中，则到第二步。若不平衡，则5、6、7、8是标准乒乓球，不标准乒乓球在1、2、3、4中，则跳到第三步。 第二步：1、2、3、4是标准乒乓球，不标准乒乓球在5、6、7、8中。取中5、6、7、8任意2个放在天平两边（第2次称），例：5和6。 若平衡，则不标准乒乓球在7、8中，取7和任意一个标准球放在天平两边（第3次称），例7和1。若平衡，则不标准乒乓球为8；若不平衡，则不标准乒乓球为7。 若不平衡，则不标准乒乓球在5、6中，取6和任意一个标准球放在天平两边（第3次称），例6和1。若平衡，则不标准乒乓球为5；若不平衡，则不标准乒乓球为6。 第三步：5、6、7、8是标准乒乓球，不标准乒乓球在1、2、3、4中。取中1、2、3、4任意2个放在天平两边（第2次称），例：1和2。 若平衡，则不标准乒乓球在3、4中，取3和任意一个标准球放在天平两边（第3次称），例3和5。若平衡，则不标准乒乓球为4；若不平衡，则不标准乒乓球为3。 若不平衡，则不标准乒乓球在1、2中，取1和任意一个标准球放在天平两边（第3次称），例1和5。若平衡，则不标准乒乓球为2；若不平衡，则不标准乒乓球为1。 【解答】解：先给乒乓球任意标号1、2、3、4、5、6、7、8。找出不标准乒乓球的过程如图： 【点评】此题考查了找次品的规律及其拓展延伸，考查了学生分析数据的能力和应用意识。 8．【答案】3次。 【分析】把14枚外观一样的硬币分成（7，7）两份，第一次：把两份分别放在天平秤两端，假硬币在天平下降的一端；第二次：把7枚硬币分成（3，3，1）三份，把其中两份3枚的，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假硬币是未取的1枚，若天平秤不平衡，假硬币在天平下降的一端；第三次：把3枚硬币分成（1，1，1）三份，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假硬币是未取的1枚，若天平秤不平衡，假硬币在天平下降的一端； 所以用天平称，至少要称3次才能把假硬币找出来；据此解答即可。 【解答】解：把14枚外观一样的硬币分成（7，7）两份， 第一次：把两份分别放在天平秤两端，假硬币在天平下降的一端； 第二次：把7枚硬币分成（3，3，1）三份，把其中两份3枚的，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假硬币是未取的1枚，若天平秤不平衡，假硬币在天平下降的一端； 第三次：把3枚硬币分成（1，1，1）三份，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假硬币是未取的1枚，若天平秤不平衡，假硬币在天平下降的一端； 所以用天平称，至少要称3次才能把假硬币找出来。 答：至少要称3次才能把假硬币找出来。 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。 9．【答案】3次。 【分析】先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，据此解答。 【解答】解：先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中； 同理再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组； 再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。 答：至少3次就一定能找到这个次品弹力球。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取球的个数。 10．【答案】3次。 【分析】可把9盒奶粉分成（3，3，3）三组，先用天平称两组，如果重量不同，标记出哪个轻哪个重，再将其中轻的一组与剩余的一组进行称重，如果轻的依旧轻，则不是600g的那盒奶粉不足600g且在轻的一组；进行第三次称重，将轻的那边的3盒任拿两盒称，若平衡，则不是600g的那盒奶粉是剩余的那一盒，若不平衡，则不是600g的那盒奶粉是较轻的那一盒；如果两组一样重，则不是600g的那盒奶粉在剩余的一组，然后在剩余一组中，任意拿出两盒进行称重，若不平衡，标记出哪个轻哪个重，再将其中轻的一盒与剩余的一盒进行称重，如果轻的依旧轻，则不是600g的那盒奶粉就是轻的一盒，如果一样重，则第二次标记的重的一盒就是次品。 【解答】解：可把9盒奶粉分成（3，3，3）三组，先用天平称两组，如果重量不同，标记出哪个轻哪个重，再将其中轻的一组与剩余的一组进行称重，如果轻的依旧轻，则不是600g的那盒奶粉不足600g且在轻的一组；进行第三次称重，将轻的那边的3盒任拿两盒称，若平衡，则不是600g的那盒奶粉是剩余的那一盒，若不平衡，则不是600g的那盒奶粉是较轻的那一盒；如果两组一样重，则不是600g的那盒奶粉在剩余的一组，然后在剩余一组中，任意拿出两盒进行称重，若不平衡，标记出哪个轻哪个重，再将其中轻的一盒与剩余的一盒进行称重，如果轻的依旧轻，则不是600g的那盒奶粉就是轻的一盒，如果一样重，则第二次标记的重的一盒就是次品。所以至少要称3次。 答：至少要称3次才能找出次品。 【点评】解题的关键是掌握天平平衡原理。 11．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次：从3袋药品中任取2袋标为①②，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋药品③即是重量不同的那袋．若天平秤不平衡，第二次：把在天平秤两端的药品，取一袋①，与未取那袋③，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则第一次称量时的另一袋②即为重量不一样的药品；若不平衡，从天平秤拿出再称量的那袋①即为重量不一样的药品．据此即可解答． 【解答】解：第一次：从3袋药品中任取2袋标为①②，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋药品③即是重量不同的那袋． 第二次：若天平秤不平衡，把在天平秤两端的药品，取一袋①，与未取那袋③，分别放在天平秤两端， 若天平秤平衡，则第一次称量时的另一袋②即为重量不一样的药品； 若不平衡，从天平秤拿出再称量的那袋①即为重量不一样的药品． 【点评】本题考查知识点：依据天平秤平衡原理解决问题． 12．【答案】3次。 【分析】根据“n次可以找出3的n次幂个零件中一个较轻次品”做题。 【解答】解：2次可以找出32＝9（个）待测物品的一个较重次品； 3次可以找出33＝27（个）待测物品的一个较重次品； 因此3次可以找出10～27个待测物品中的一个较重次品； 15个网球中，有1个较重，至少称3才可以保证找出这个网球。 答：用天平称，至少称3次能保证将这个较重的网球找出来。 【点评】运用找次品问题总结的规律是解答本题的捷径。 13．【答案】3次。 【分析】第一次：先把27个羽毛球分成（9，9，9）三份，把任意两份放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平下沉端；第二次再把9分成（3，3，3）三份，把任意两份放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平下沉端；第三次：再把3分成（1，1，1）三份，把任意两个放在天平上称，如平衡，则次品是没称的那个，如不平衡，次品在下沉端；据此解答。 【解答】解：第一次：先把27个羽毛球分成（9，9，9）三份，把任意两份放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平下沉端； 第二次再把9分成（3，3，3）三份，把任意两份放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平下沉端； 第三次：再把3分成（1，1，1）三份，把任意两个放在天平上称，如平衡，则次品是没称的那个，如不平衡，次品在下沉端； 所以至少称3次才能保证找出这个次品球。 答：至少称3次能保证找出这个次品球。 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意每次取珍珠的个数。 14．【答案】3次。 【分析】把4个零件中的2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则取剩余2个再称，若天平不平衡，取较轻的与剩余的2个中的一个分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一个为不合格零件，若天平不平衡，则较轻的为不合格零件。据此解答。 【解答】解：第一次，把4个零件中的2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则取剩余2个再称；第二次称量，天平不平衡，第三次取较轻的与第一次中的一个进行称量，即可找到不合格零件。 若天平不平衡，取较轻的与剩余的2个中的一个分别放在天平两侧进行第二次称量，若天平平衡，则较重的一个为不合格零件，若天平不平衡，则较轻的为不合格零件。 答：至少称3次可以保证找出这个不合格的零件。 【点评】本题主要考查找次品的方法及应用，关键是注意是否知道次品的轻重。 15．【答案】3次。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的数目尽可能的均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此解答此题。 【解答】解：（1）将27件产品分成3组，每组9件，取其中两组分别放在天平的左右两端称重，如果天平平衡，则不合格产品在第三组中，如果天平不平衡，则不合格产品则在较重的那一组中； （2）将含有不合格产品的9件产品，继续平分成3组，每组3件，取其中两组分别放在天平的左右两端称重，如果天平平衡，则不合格产品在第三组中，如果天平不平衡，则不合格产品则在较重的那一组中并找出较重的那一组（3件产品）； （3）将含有次品的那一组（3件产品），平均分成3组，每组1件，取其中两件分别放在天平的左右两端称重，最终找出不合格的产品。 答：至少称3次就一定能找出这件不合格产品。 【点评】本题主要考查了找次品的方法。 16．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，第一次把14瓶酸奶分成3份：5瓶、5瓶、4瓶，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（5瓶或4瓶），分成3份：2瓶、2瓶、1瓶，取2瓶的分别放在天平的两侧，若天平平衡，则未取的为较轻的次品，若天平不平衡，取较轻的继续；第三次，把含有较轻的一份（2个）分别放在天平两侧，即可找到较轻的次品．据此解答． 【解答】解：第一次把14瓶酸奶分成3份：5瓶、5瓶、4瓶，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻的一份（5瓶或4瓶），分成3份：2瓶、2瓶、1瓶，取2瓶的分别放在天平的两侧，若天平平衡，则未取的为较轻的次品，若天平不平衡，取较轻的继续； 第三次，把含有较轻的一份（2个）分别放在天平两侧，即可找到较轻的次品． 答：至少称3次可以保证把次品酸奶找出来． 故答案为：3． 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取酸奶的瓶数． 17．【答案】三次。 【分析】根据题意，第一次：把16瓶矿泉水5瓶、5瓶、6瓶，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次：把较轻的一份（5瓶或6瓶）分成3份：2瓶、2瓶、1瓶（或2瓶），取2瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的继续；第三次，取含有较轻的2瓶矿泉水，分别放在天平秤两端，即可找到较轻的不合格产品，据此即可解答。 【解答】解：第一次：把16瓶矿泉水5瓶、5瓶、6瓶，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次：把较轻的一份（5瓶或6瓶）分成3份：2瓶、2瓶、1瓶（或2瓶），取2瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的继续； 第三次，取含有较轻的2瓶矿泉水，分别放在天平秤两端，即可找到较轻的不合格产品答：用秤至少称三次能保证找出不合格产品。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，关键是明确每次取矿泉水的瓶数。 18．【答案】3次。 【分析】第一次两边各放7个，留1个，如果两边一样重，留出的那个为轻的；若不一样重，再把轻的那7个分成3、3、1，称量3、3的两组，若不平衡，进而再称轻的3个，分成1、1、1，再称量，就可以找出那件次品。 【解答】解：先将15瓶口香糖分成7、7、1组， 第一次两边各放7个，留1个，如果两边一样重，留出的那个为轻的； 若不一样重，再把轻的那7个分成3、3、1，称量3、3的两组； 进而再称轻的3个，这样只需3次就可以找出那件次品。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 19．【答案】2次。 【分析】第一次：把9盒巧克力平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即在未取的3盒中，若天平秤不平衡（再按照下面的方法操作）；第二次：把天平秤翘起的一端的3盒巧克力，任取2盒，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即是未取的那盒，若天平秤不平衡，天平秤翘起一端的那盒即为质量不足那盒，据此即可解答。 【解答】解：如图： 答：至少2次能保证找出被偷吃的那一盒。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取巧克力的盒数。 20．【答案】3次。 【分析】根据题意，一个次品比正品略轻一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。 【解答】解：把11个机器零件分成三份（4，4，3）； 第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况： ①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品； ②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品； 第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中； 第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。 答：最少称3次能保证找出这个次品。 【点评】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的零件是次品。 21．【答案】见试题解答内容 【分析】分成每6袋一组，用天平称，因有一袋质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3袋分成一组，用天平称，再找出轻的一组，再任取2袋用天平称，若天平平衡，则没称的1袋是较轻的，若不平衡则上翘的就是轻的．据此解答． 【解答】解：根据以上分析可知至少要称3次才能保证找出这袋糖果来． 答：如果用天平来称，至少称3次能保证找出这袋牛奶． 【点评】本题主要运用天平平衡的知识来寻找次品． 22．【答案】乒乓球的个数可能是10～27这几个数。 【分析】称3次找出次品，球的个数至少是10个。 【解答】解：根据天平平衡原理，（1）如果有3个乒乓球，最少需要1次能够找出次品：把3分成1、1、1，在天平两边各放1个，平衡，剩下的是次品，不平衡，下降的一方是次品；如果此时再多出1个乒乓球则最少需要2次才能找出次品； （2）若有3×3＝9个乒乓球，则最少需要2次找出次品：把9分成3、3、3，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（1）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个乒乓球则最少需要3次才能找出次品； （3）若有3×3×3＝27个乒乓球，则最少需要3次找出次品：把27分成9、9、9，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（2）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个乒乓球则最少需要4次才能找出次品； 据上述推算可得：当乒乓球个数多于9个，少于28个时，至少需要称量3次找出次品，所以乒乓球的个数可能是10～27这几个数。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 23．【答案】3次。 【分析】将10颗钻石分成5、5两组，放在天平上称量，再将较重的那5个分成2、2、1三组称量，进而再将较重的那2个称量一次就可以找出这个质量重的钻石。 【解答】解：第一次：两边各放5个，则可以找出较重的那5个， 第二次：两边各放2个，天平平衡，则剩下的那个是质量重的钻石，天平不平衡，就可以找出较重的那2个， 第三次：两边各放1个，即可找出质量重的钻石； 用天平称，至少称3次能保证把假的钻石找出来。 【点评】解答此题的关键是将10颗钻石进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。 24．【答案】2 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：将8袋盐分成3 份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋。 手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。 所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 25．【答案】2次。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：第一步：把9袋糖果中平均分成3份，每份3袋，任取2份，分别放入天平秤两端，若天平秤不平衡（按照下面的方法操作即可），若天平秤平衡，那么不足100克的那袋糖果即在未取的那份中； 第二步：从天平秤较高端的那3袋糖果中，任取2袋分别放入天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为不足100克糖果，若不平衡，较高端即为不足100克的糖果。 所以如果能用天平称，至少称2次能保证找出这袋糖果。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 26．【答案】能。 【分析】要达到3次找到这个不合格产品，需要将25个零件尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。 将25个零件分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8个，手里留9个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9个分为3，3，3，在天平两边各放3个，手里留3个， a.如果天平平衡，则次品在手里3个中，接下来，将这3个分为1，1，1，取两份分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中。 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8个中，将这8个分成三份：3，3，2，在天平两边各放3个，手里留2个， a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3个中， 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 b.如果天平平衡，则次品在手中的2个中。 接下来，将这2个分成三份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 故至少称3次能找出这个不合格产品。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 27．【答案】3次。 【分析】整体思路：把零件总数分成3份（a+a+b），a＝b或a和b的差是1。把两个a放在天平两端，如果天平平衡，次品就在b里头，如果天平不平衡，则根据次品和正品的差别找出次品在哪一份中；重复同样的方法，直到找出次品。 【解答】解：24罐核桃露分成3份（8+8+8），任取两份，天平两边各放一份，如果不平衡，次品在较重的8个中；如果平衡，次品在剩下的8个中；这样次品范围缩小到8个中； 将8罐核桃露分成3份（3+3+2），天平两边各放3罐，如果平衡，次品在剩下的2罐中，这两罐再称一次，较重的是次品；如果不平衡，次品在较重的3个中； 将8罐核桃露分成3份（1+1+1），天平两边各放一罐，如果平衡，剩下的一罐是次品，如果不平衡，较重的一罐是次品。 答：至少3次可以保证找到次品。 【点评】把零件总数分成数量最接近的3份，才能保证用最少的次数找出其中一个已知轻（或重）的次品。 28．【答案】把12袋奶粉平均分成3份，每份4袋。 先把12袋奶粉平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平两端称重： 若天平不平衡：把天平较高一端的1份4袋再分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重；再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋； 若天平平衡：把第3份的4袋分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重，再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋。 【分析】12＝4+4+4，平均分成3份，每份4袋，任取2份，再分天平不平衡和天平平衡两种情况讨论即可解答本题。 【解答】解：先把12袋奶粉平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平两端称重： 若天平不平衡：把天平较高一端的1份4袋再分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重；再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋； 若天平平衡：把第3份的4袋分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重，再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 【点评】本题是一道有关找次品的题目。 29．【答案】10；27。 （1）10个零件中找一个次品，分成三组（3，3，4），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 （2）27个零件中找一个次品，分成三组（9，9，9），称量一次确定次品在哪9个中，再把9个分成三组（3，3，3），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 【分析】小学数学找次品的公式：找次品的公式计算 规律： 2～3个物品称1次 4～9个物品称2次 10～27个物品称3次 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次） 【解答】解：至少可以从10个零件中找出次品，最多可以从27个零件中找出次品。 （1）10个零件中找一个次品，分成三组（3，3，4），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 （2）27个零件中找一个次品，分成三组（9，9，9），称量一次确定次品在哪9个中，再把9个分成三组（3，3，3），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 【点评】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。 30．【答案】2次。 【分析】根据图示，把7袋糖果分成三份（3袋、3袋、1袋），取3袋的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的1袋为较轻的，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次取较轻的一份（3袋）中的2袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一袋为次品，若天平不平衡，可找到较轻的。据此做题。 【解答】解：如图： 答：至少称2次能保证找出这袋糖果。 【点评】本题主要考查找次品，关键注意每次糖果的袋数。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$