4.3.2等比数列的前n项和公式 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

4.3.2等比数列的前n项和（第1课时） ——王翠 一、教学内容 1．等比数列的前n项和公式的推导； 2．等比数列的前n项和公式的简单应用。 二、教学目标 1．理解错位相减法推导等比数列的前n项和公式； 2．会应用等比数列的前n项和公式解决简单问题。 三、教学重难点 重点：等比数列前n项和公式的推导过程及其简单应用； 难点：等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）的理解。 四、教学过程 1.创设情境，引入问题 引导语：在前面的学习中，我们已经学习了等比数列的通项公式，以及与等比数列有关的以下基本性质，这节课我们来探讨一下等比数列的前n项和公式。 问题情境:教师展示一张A4纸，请同学们说出A3、A5、A6、A7、纸的大小。假设A7纸的面积记为单位1，那么其他纸张面积可以记为多少？这些纸张面积之和又是多少？ 【设计意图】以学生身边的纸张大小入手，提出等比数列求和问题，激发学生的学习兴趣、探究欲望。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 师生活动：学生可以快速算出上述纸张面积之和，教师引导学生将问题转化为学生熟悉的求等比数列前5项的和，即求1+2+4+8+16，并且整理为1+2+22+23+24。教师再提出以下问题。 2.探究新知，概念生成 问题1：如果需要计算1+2+22+23+……+29呢？ 【设计意图】这是求等比数列前100项和的问题，若简单的逐项计算，费时费力，这时教师引导学生进一步探求解题思路。 追问1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？ 师生活动：引导、启发学生观察，寻求等式规律，每一项都乘以2，就变成了它的后一项. 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ． ① 追问2：若在此等式两边同以2，得到②式，比较①,②两式，你有什么发现？ 师生活动：引导学生经过比较后发现：①,②两式有若干相同项，可两式相减求. 我们发现，如果用公比2乘①的两边，可得 ② 追问3：两边同乘的2是等比数列的什么？乘2的作用是什么？ 师生活动：两边同乘的2是等比数列的公比，乘2后所得新等式与原式有相同项，两式相减可消去相同项，突破难点。 教师总结：这种推导方法叫做错位相减法，通过错位相减，将复杂的求和问题转化为简单的求和，教师引导学生从中体会：所有的和可以用首项、公比和项数来表示；求多项之和就是要想办法消掉一些项，使得多项之和变为几项之和。 问题2：如何推导一般等比数列的前n项和？ 【设计意图】使学生通过类比上面特殊的等比数列求和推导一般等比数列的前n项和。从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。 师生活动：学生自己独立推导一般等比数列的前n项和公式，教师巡视，一名学生板演。特别注意分类讨论,q=1,前n项和公式为首项的n倍，公比q情况不同要分类讨论。 板书： 设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ① 我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 ② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 ，即 . 因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式 （1） 当 因为 所以，公式（1）还可以写成 （2） 3.例题讲解 例 已知数列是等比数列，若， ， 求S8； 解：因为 ， ，所以 [设计意图]剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式。 4.变式训练 已知数列是等比数列，若 ， ， ，求n . 解：把 ， ， 代入 ，得 整理，得 解得 n=5 . [设计意图] 已知前n项和会合理选择公式逆向求解数列基本量，进一步理解公式特点，深化对公式的理解和应用。 5.归纳总结，拓展延伸 问题3：请总结一下本节课的主要内容和思想方法。 师生活动：教师引导学生自行总结本节课的主要内容和思想方法，在此基础上，结合学生总结的情况及时补充完善。教师重点概括等比数列前n项和公式的推导过程以及过程中体现的思想方法，总结等比数列前n项和公式。 6.布置作业 （1）P37练习1 （2）等比数列的前n项和推导方法不止错位相减法，同学们下去查找资料并相互分享。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$