4.3.2等比数列的前n项和公式 微型课教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 《4.3.2等比数列的前n项和》微型课教学设计 礼泉二中 马洁利 教学目标： 1． 探索并掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2．掌握错位相减法，并能应用求等比数列的前n项和． 3．会运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 教学重难点： 教学重点：等比数列的前n项公式及应用. 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导. 教学过程： 【新课导入】 师：从大单元角度以及类比等差数列的学习路径，在学完等比数列之后，接下来就要进入等比数列求和问题的研究。首先，请同学们自行阅读34页的故事。——板书课题 问题：阅读完之后，能否帮助国王算出要奖励象棋发明者麦粒的总数目？ 设计意图：通过学生自主阅读读本，让学生明晰故事中蕴藏的等比求和内容。同时激发学生探究欲望.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养. 预设的答案：求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+⋯+263=？ 问题：这个数列呈现的是一个什么数列的求和? 预设答案：等比数列求和。 师：如果没有计算器，计算这样的式子是很不容易的，为此，更进一步说明了学习等比数列前n项和公式的必要。进行全面了解，我们给出一般的等比数列 设等比数列 {an } 的首项为a1，公比为q Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an 师：如何求解该问题，还是需要借助等差数列的求和思想进行解决。请同学们翻阅课本20页内容。 师生活动：学生回顾等差数列的前 n 项和公式的推导过程.教师完善． 预设的答案：等差数列 a1,a2, a3, …,an的前 n项和是 Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an 根据等差数列的定义an+1 -an= d Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an ① Sn=an+an-1+an-2+…+a3 +a2 +a1 ② 1 + ②得，2Sn=n(a1+an). 所以 问题：对于等差数列，采用倒序相加，以等差数列定义为依据，公差d为切入点，消去更多的中间项为目的，对于等比数列，我们有什么样的想法？思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. ① 问题：观察①式，相邻两项有什么特征？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善. 预设的答案：an=an-1 q(n≥2,q≠0) 问题：如何构造另一个式子，与原式可以消除中间项？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善. 方案1：同时除以q,产生相同的前（n-1）项。 方案2：同时乘以q产生相同的后(n-1)项。 问题：从运算的角度，我们确定第几种方案？ ① ② 设等比数列 {an } 的首项为a1，公比为q，则{an } 的前n项和是Sn Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an， 根据等比数列的通项公式， Sn=a1+a1 q+ a1 q2+…+ a1 qn-3 + a1 qn-2+ a1 qn-1 ① qSn= a1 q+ a1 q2+ a1 q3+…+ a1 qn-2+ a1 qn-1+ a1 qn ② ①- ②得, Sn -qSn= a1 - a1qn 即Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn). 问题：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善. 预设的答案：Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn) 当1 -q=0时，即 q=1 时，当1 -q≠0时，即 q≠1 时，. 设计意图：通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题.发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养. 【探究新知】 知识点1 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q＝1 求和公式 师：公式的使用情况怎么把握？ 预设答案：分类讨论，根据基本量来定，知三求二 师：上述推导过程，称为错位相减法，同时请同学们用错位相减法帮助国王算出麦粒总数？我们将其作为节课的例题进行解决。 二．错位相减法 三,例题讲解 求和：1+2+22+23+⋯+263=？ 法1：错位相减法。 法2：公式一 法3：公式二，提倡学生板演。 1+2+22+23++263 a1=1,q=2，n=64 师：这样的数字是一个什么样的概念？ 师生活动：学生街和课本了解，老师给处最新报道内容，2022年世界小麦产量约26.28亿吨，则连续生产270年，可供全世界80亿人吃240年，同时从侧面反映指数爆炸式增长的威力。 不能实现！ 设计意图：利用错位相减法求得了等比数列前n项和公式,并利用公式解决了象棋大师的问题.进一步培养学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养. 练习：教科书P37 练习1 、2 设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养． 【课堂总结】：1知识收获？ 2数学思想？ （1）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法； （2）数学思想方法的应用: 方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现； 分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想. 类比等差数列的思想 师生活动：学生总结，老师适当补充. 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力． 板书设计： 4. 3.2等比数列的前n项和公式 1.求和公式 3例题 2.错位相减法 4课堂练习 5. 小结 6. 作业 课堂作业：必做1教科书P37 练习1. 2用方案1再次体验错位相减法. 3收集古今中外有关等比数列求和的历史成就，制作一幅画报。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$