四川省成都市石室中学北湖校区2024-2025学年高一上学期第二周数学周末作业（9.15）

石室中学北湖校区高2027届周末数学作业（9月14日） 姓名：___________班级：___________学号：___________分数：___________ 一、单选题（每小题共40分） 1．下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 2．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 3．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 4．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 7．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 二、多选题（共18分，每个小题6分，满分18分，全对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分） 9．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 11．下列命题中是真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．不等式成立的一个充分不必要条件是或 D．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 13．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 14．由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是 . ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素； 四、解答题（共52分） 15．（本题13分）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 16．（本题13分）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 17．（本题13分）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（本题13分）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 19. （本题17分）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A A D D C CD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 2．A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 3．D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 4．A 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 5．A 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 6．【答案】D 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 7．D 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 8．C 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 9．CD 【分析】由命题“，”是真命题，求出参数的取值范围，然后判断其充分不必要条件即可 【详解】因为命题“，”是真命题， 所以使得，故， 所以的一个充分不必要条件是或， 故选：CD 10．AC 【分析】根据图验证B,C,D再利用交集补集定义判断A. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误， 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC 11．ACD 【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可. 【详解】解：对A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误； 对C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确； 对D，一元二次方程有一正一负根，则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解. 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 13． 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 14．③ 【解析】根据新定义，并正确列举满足条件的集合，判断选项. 【详解】①若，，则集合没有最大值，中有最小元素0，故①正确； ②若，，则中没有最大元素，也没有最小元素，故②正确； ③假设③正确，则中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确； ④若，，集合有最大值，没有最小值，故④正确； 故答案为：③. 【点睛】本题是创新型题型，以新定义为背景，考查有理数集的交集和并集，属于中档题型，本题的关键是理解题中的新定义，并合理举例. 15．(1)； (2)或 【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算； （2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 【详解】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 16．【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题意，可知， ， 解得，； （2）由（1）知，， 因为， 所以，， 所以，， 所以． 所以， ， 由，得， 由，得， 又因为 综上，原不等式组的解集为. 17．(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 18．(1) (2). 【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可； （2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论. 【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. （2）命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 19．(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A. （2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论； （3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数. 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，有：，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$