4.1 指数6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 4.1 指数6题型分类 知识点1 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点2 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 注：①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点3 有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 注：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． （一） 计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 题型1：由根式的意义求范围 1-1．（2024高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x∈R 1-2．（2024高一·全国·课后作业）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 1-4．（2024高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （二） 利用根式的性质化简或求值 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 题型2：利用根式的性质化简或求值 2-1．（2024高一上·江苏·课前预习） 2-2．（2024高一·全国·课后作业）＝ ． 2-3．（2024高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 2-4．（2024高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 2-5．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . （三） 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 题型3：有限制条件的根式的化简 3-1．（2024高一·全国·课后作业）已知，化简： ． 3-2．（2024高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 3-3．（2024高一上·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)． （四） 根式与指数幂的互化 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 题型4：根式与指数幂的互化 4-1．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 4-2．（2024高一上·湖南益阳·期末）计算： . 4-3．（2024高一·全国·课后作业）若a>0，b>0，则化简的结果为 . 4-4．（2024高一上·上海松江·期中）将化成有理数指数幂的形式为 . （五） 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 题型5：利用分数指数幂的运算性质化简求值 5-1．（2024高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 5-2．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）求值：. 5-4．（2024高一·江苏·假期作业）求值： (1)； (2)π0－＋×. 5-5．（2024高三上·天津河西·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． （六） 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 题型6：整体代换法求分数指数幂 6-1．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 6-2．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 6-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 6-4．（2024高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 一、单选题 1．（2024高一上·北京·期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 3．（2024高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 6．（2024高一上·全国·课后作业）若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 7．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 8．（2024高一·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 9．（2024高一·吉林长春·阶段练习）下列各式中成立的是 A． B． C． D． 10．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2024高一·全国·课后作业）化简(其中，)的结果是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 16．（2024高一·全国·课后作业）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题）已知，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（2024高一·湖南·课后作业）用分数指数幂表示下列各式： (1)＝ ;  (2)＝ ；(3)＝ ;  (4)＝ ；(5)＝ . 20．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知，化简：= ．（用分数指数幂表示） 21．（2024高一上·上海宝山·期中）把化成有理数指数幂的形式为 . 22．（2024高一·全国·专题练习）若满足关系+=+，则的值为 ． 23．（2024高一上·安徽滁州·期中）化简的值为 . 24．（2024高一下·河北石家庄·阶段练习）若，则 . 25．（2024高一·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的式子的序号有 . 26．（2024高一·全国·课后作业） 的值为 ． 27．（2024高一·全国·课后作业）已知则= . 28．（2024高一上·山西长治·阶段练习）已知实数则 . 29．（2024高一·天津南开·期中）已知m=2，n=3，则[÷]3的值是 ． 30．（2024高一上·浙江温州·期中）设，且，求= . 31．（2024高三·江苏·强基计划）使得等式成立的实数a的值为 ． 四、解答题 32．（2024高一·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（2024高一上·广东深圳·期中）化简求值: (1); (2). 34．（2024高一·全国·课后作业）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 35．（2024高一·湖南·课后作业）计算：． 36．（2024高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简：． 37．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）化简或求值． （1）； （2）． 38．（2024高一·全国·课后作业）化简. 39．（2024高一·湖南·课后作业）若，求的值． 40．（2024高一·江苏·专题练习）计算化简： (1)； (2). 41．（2024高一上·广西桂林·期中）（1）计算：； （2）化简 42．（2024·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 43．（2024高一·全国·课堂例题）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 44．（2024高一上·浙江·课后作业）已知正整数和非零实数，若，且，求的值． 45．（2024高一·全国·课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 46．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 47．（2024高一·全国·课后作业）已知，，计算： (1)； (2). 48．（2024高一·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）. 49．（2024高一·全国·课后作业）写出使下列各式成立的x的取值范围： （1） ＝；      （2）＝(5－x). 50．（浙江省宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）计算： (1)； (2)已知，，求的值. 51．（2024高一上·全国·课后作业）已知，求的值． 52．（2024高一·全国·课后作业）（1）化简：； （2）计算：. 53．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知a>0，b>0，且ab=ba，b=9a，求a的值. （2）已知67x=27，603y=81，求的值. 54．（2024高一·全国·课后作业）（1）计算：； （2）化简：． 55．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式： (1). (2). (3)已知，求的值. 56．（2024高一·江苏·假期作业）计算下列各式． (1)； (2). 57．（2024高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； (2)； (3)； (4)（且）. 58．（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 59．（2024高一·全国·课后作业）化简，求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求值． 60．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 61．（2024高一上·全国·课后作业）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 4.1 指数6题型分类 知识点1 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点2 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 注：①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点3 有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 注：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． （一） 计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 题型1：由根式的意义求范围 1-1．（2024高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x∈R 【答案】C 【分析】由偶次根式中被开方数非负数可得． 【详解】由题意知，所以2≤x≤3. 故选：C． 【点睛】本题考查根式的概念，偶次根式中被开方数必须非负才有意义． 1-2．（2024高一·全国·课后作业）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，， 所以，即，因此的取值范围是． 故选：C. 1-3．（2024高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据被开方数是非负数，以及中对的限制，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意可知， 且． 故选：B 【点睛】本题考查根式有意义和指数有意义求参数范围，属简单题. 1-4．（2024高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答. 【详解】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D （二） 利用根式的性质化简或求值 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 题型2：利用根式的性质化简或求值 2-1．（2024高一上·江苏·课前预习） 【答案】3． 【详解】． 2-2．（2024高一·全国·课后作业）＝ ． 【答案】-6 【分析】利用根式的运算性质即可求解. 【详解】解析：＝－6， ＝|－4|＝4－， ＝－4， 所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6. 故答案为：－6 【点睛】本题考查了根式的运算性质，掌握根式的运算性质是解题的关键，属于基础题. 2-3．（2024高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解. 【详解】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 2-4．（2024高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【答案】C 【分析】由有意义，得到，由，根据根式的运算性质，即可求解. 【详解】因为有意义，可得，即， 又由 故选：C. 【点睛】本题主要考查根式的化简、求值，其中解答中熟记指数幂和根式的运算法则是解答的关键，着重考查运算能力. 2-5．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据根式的运算性质直接求解即可； （3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可； 【详解】（1）. （2）. （3）. 故答案为：（1）；（2）；（3） （三） 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 题型3：有限制条件的根式的化简 3-1．（2024高一·全国·课后作业）已知，化简： ． 【答案】 【分析】根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解. 【详解】解：， 因为，，所以，所以． 故答案为：. 3-2．（2024高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】根据已知条件判断的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 【详解】由已知，即，即， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 3-3．（2024高一上·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分析：（1）利用 进行化简，求得答案； （2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案. 【详解】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. （四） 根式与指数幂的互化 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 题型4：根式与指数幂的互化 4-1．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算. 【详解】. 故答案为：. 4-2．（2024高一上·湖南益阳·期末）计算： . 【答案】 【分析】将分数指数幂转化为根式形式,求出值即可. 【详解】由题知. 故答案为: 4-3．（2024高一·全国·课后作业）若a>0，b>0，则化简的结果为 . 【答案】1 【分析】由根式的运算和幂的运算可得答案. 【详解】=1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查根式的运算和幂的运算，属于基础题. 4-4．（2024高一上·上海松江·期中）将化成有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】根据分数指数幂与根式的关系集合指数幂运算法则计算即可. 【详解】解：. 故答案为：. （五） 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 题型5：利用分数指数幂的运算性质化简求值 5-1．（2024高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）（2）利用指数运算法则计算得解. 【详解】（1）. （2）. 5-2．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】，，. 故选：D. 5-3．（2024高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）求值：. 【答案】110 【分析】利用指数幂运算化简求值. 【详解】 5-4．（2024高一·江苏·假期作业）求值： (1)； (2)π0－＋×. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数运算法则计算可得结果. （2）根据指数运算法则计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）原式. 5-5．（2024高三上·天津河西·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂的运算性质即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算可得：， 故选：. （六） 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 题型6：整体代换法求分数指数幂 6-1．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)3 (2)7 【分析】根据平方关系运算求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. 6-2．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)47 (3)8 【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值； (2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值； (3)首先利用立方差公式分解因式，然后结合(1)的结果即可求得代数式的值. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以． （2）将两边平方，得， 所以． （3）因为， 所以． 6-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意判断的符号，再由即可得解. 【详解】当时，，，此时； 当时，，，此时. ，因此. 故选：C. 【点睛】本题考查了分数指数幂运算法则的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6-4．（2024高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1)89； (2)①；②. 【分析】(1)根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解； (2)①根据完全平方和公式化简计算可得，结合开平方即可； ②根据公式，结合①计算即可求解. 【详解】（1）原式； （2）①∵， ∴， 又由得， ∴， 所以； ②（法一） ， （法二） ， 而 ， ∴， 又由得， ∴， 所以. 一、单选题 1．（2024高一上·北京·期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可. 【详解】. 故选：A 2．（2024高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义. 【详解】要使原式有意义，则解得且. 故选：A. 【点睛】本题考查使指数幂有意义的的取值范围，考查运算求解能力，属于基础题. 3．（2024高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：B 4．（2024高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【详解】由题意得，，即， 所以. 故选：B 5．（2024高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 【答案】A 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由于， ，， 故原式. 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 6．（2024高一上·全国·课后作业）若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题意利用根式的性质得到关于x,y的不等式组，然后确定x,y的符号即可. 【详解】，，．由 ，得 . 故选C. 【点睛】本题主要考查根式的定义与运算法则，属于基础题. 7．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题. 8．（2024高一·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】因为,则,可得,即可计算的值. 【详解】 . 故选:D. 【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题. 9．（2024高一·吉林长春·阶段练习）下列各式中成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数的运算法则和根式与分数指数幂的互化，A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x＝y＝1时不成立，排除法即可得答案． 【详解】A中应为； B中等式左侧为正数，右侧为负数； C，x＝y＝1时不成立错误． D中正确； 故选：D． 【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化、指数的运算法则，考查运算能力． 10．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解. 【详解】①,正确； ②，正确； ③因为可知，，， 所以，故错误； ④，正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题. 11．（2024高一·全国·课后作业）化简(其中，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得. 【详解】因，，所以. 故选：C 12．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 13．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可. 【详解】 ，即 ， ， . 故选：A . 二、多选题 14．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据根式的意义逐一判断可得. 【详解】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误. 故选：AC 15．（2024高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 【答案】CD 【分析】根据根式的概念和性质求解. 【详解】对于A，由于，所以16的4次方根是，故A不正确． 对于B，，故B不正确． 对于C，由根式的意义知，当为大于1的奇数时，对任意都有意义，故C正确． 对于D，由根式的意义知，当为大于1的偶数时，只有当时才有意义，故D正确． 故选：CD． 16．（2024高一·全国·课后作业）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项：负号的位置放错；B选项在的情况下，指数可以约分；CD选项利用根式与指数幂互化的公式即可求解； 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误． 故选：BC 17．（2024高一上·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 18．（浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题）已知，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各选项式子的结构变形求解即可． 【详解】解：， ； ， ； 故A正确，B错误； ； ， ， 故C正确，D错误． 故选：AC． 三、填空题 19．（2024高一·湖南·课后作业）用分数指数幂表示下列各式： (1)＝ ;  (2)＝ ；(3)＝ ;  (4)＝ ；(5)＝ . 【答案】 / 【分析】利用分数指数幂的定义，将根式化为分数指数幂. 【详解】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5） 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 20．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）已知，化简：= ．（用分数指数幂表示） 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算. 【详解】. 故答案为： 21．（2024高一上·上海宝山·期中）把化成有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答. 【详解】，. 故答案为： 22．（2024高一·全国·专题练习）若满足关系+=+，则的值为 ． 【答案】21 【分析】根据已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非负数的性质求解. 【详解】解：由题意得：， 则，∴x＋y＝19， ∴＋＝0， 则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②， ①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36， ∴，∴m＝21． 故答案为：21． 23．（2024高一上·安徽滁州·期中）化简的值为 . 【答案】 【分析】化根式为分数指数. 【详解】原式=    . 故答案为:. 【点睛】此题考查指数拓展后的分数指数运算. 24．（2024高一下·河北石家庄·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】利用化简，并去绝对值求出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 25．（2024高一·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的式子的序号有 . 【答案】①②⑤ 【分析】由分数指数幂与根式的互化公式逐个分析. 【详解】①，结论①正确； ②，结论②正确； 根据定义，分数指数幂的底数为正数，结论③错误； ④，结论④错误； ⑤，结论⑤正确。 故答案为：①②⑤ 【点睛】此题考查分数指数幂与根式的互化，考查指数幂的运算，考查推理能力，属于基础题. 26．（2024高一·全国·课后作业） 的值为 ． 【答案】 【分析】利用根式的性质求解. 【详解】原式＝ － ＋ ＝－＋＝. 故答案为： 【点睛】本题主要考查根式的性质的应用，属于基础题. 27．（2024高一·全国·课后作业）已知则= . 【答案】 【分析】利用同底数指数幂的运算性质化简，得，根据已知得= . 【详解】因为所以，所以=. 【点睛】本题考查指数幂的化简求值，考查指数幂的运算性质，考查了推理能力与整体代换能力. 28．（2024高一上·山西长治·阶段练习）已知实数则 . 【答案】-1 【分析】由题意，根据多项式的运算，化简得原式，求得，即可求解得值. 【详解】由题意，实数 满足， 则 ， 又由，则，所以. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算与化简，其中解答中熟记实数指数幂的化简与运算中立方和公式的运算与化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 29．（2024高一·天津南开·期中）已知m=2，n=3，则[÷]3的值是 ． 【答案】 【分析】先利用有理指数幂的运算法则化简，再代值． 【详解】m=2，n=3，则原式= =m•n-3=2×3-3=， 故答案为． 【点睛】本题考查了有理指数幂及根式．属基础题． 30．（2024高一上·浙江温州·期中）设，且，求= . 【答案】 【分析】可对左右同时平方，结合平方关系即可求解 【详解】对左右同时平方得 同时由可判断，则， 故答案为 【点睛】本题考查利用整体法求解表达式数值，和的平方与差的平方的关系，可简单记为： 31．（2024高三·江苏·强基计划）使得等式成立的实数a的值为 ． 【答案】8 【分析】采用换元法（须注意新元的取值范围），将所给等式转化为整式方程并求解. 【详解】解：由题意可得，，所以，故. 设，则. 解得，或（舍），或（舍） 所以 所以 故答案为：8 四、解答题 32．（2024高一·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解； （2）利用指数幂的运算性质即可求解； （3）将根式转化为分数指数幂，再利用幂的运算性质即可求解； （4）利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：. 33．（2024高一上·广东深圳·期中）化简求值: (1); (2). 【答案】(1)109 (2)1 【分析】(1)根据分数指数幂的运算法则进行计算,把根式转化为分式进行化简,分式转化为根式计算出结果; (2) 根据分数指数幂的运算法则进行化简,即可得出结果. 【详解】（1）解:原式为 （2）解:原式为 34．（2024高一·全国·课后作业）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质化简求值； （2）将根式化成分数指数幂，再由分数指数幂的运算性质化简求值． 【详解】（1）原式． （2）原式． 35．（2024高一·湖南·课后作业）计算：． 【答案】. 【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答. 【详解】原式=. 36．（2024高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】； 【分析】（1）根据分数指数的运算性质直接求解即可； （2）将根式化为分数指数幂，然后根据分数指数的运算性质化简即可. 【详解】（1） ； （2） . 37．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）化简或求值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将根式运算化成指数幂运算，根据指数幂的运算法则可求得结果；（2）根据指数幂运算的运算法则求值即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查指数幂运算法则化简求值的问题，属于基础题. 38．（2024高一·全国·课后作业）化简. 【答案】 【分析】根据给定的式子，有理化分母并求和作答. 【详解】， 原式. 39．（2024高一·湖南·课后作业）若，求的值． 【答案】23. 【分析】根据给定条件利用指数运算变形计算作答. 【详解】因为，则有， 所以的值23. 40．（2024高一·江苏·专题练习）计算化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用分数指数幂的运算法则进行计算即可得解. 【详解】（1） . （2） . 41．（2024高一上·广西桂林·期中）（1）计算：； （2）化简 【答案】(1);(2) 【分析】(1)利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解； (2)利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】(1)原式. (2)原式. 42．（2024·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案. 【详解】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， 43．（2024高一·全国·课堂例题）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据分数指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）． 44．（2024高一上·浙江·课后作业）已知正整数和非零实数，若，且，求的值． 【答案】． 【分析】由已知条件，结合分数指数幂的运算得到，结合，得到，再根据为正整数对其分解，即可求得. 【详解】由已知，得，同理，， 三式相乘，得，又， 所以，又因为为正整数且不为1，故， 又则． 45．（2024高一·全国·课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）． 46．（2024高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)15 【分析】（1）对两边平方，进行求解；（2）先求的平方；（3）利用立方差公式进行化简，再用第一问的结论即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）， ∵， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴ 47．（2024高一·全国·课后作业）已知，，计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)4 【分析】(1)先利用完全平方公式，求得的值，从而求得的值，再利用平方差公式求得 (2)由(1)利用完全平方公式求得的值，进而计算 【详解】（1）将两边平方，得， 即， ∴， 即， ∴. （2）将两边平方，得， ∴， ∴. 48．（2024高一·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据根式的运算性质化简可得结果； （2）将每个二次根式的被开方数表示为完全平方的形式，利用根式的运算性质化简可得结果. 【详解】（1）； （2）原式. 【点睛】本题考查根式的化简计算，考查计算能力，属于基础题. 49．（2024高一·全国·课后作业）写出使下列各式成立的x的取值范围： （1） ＝；      （2）＝(5－x). 【答案】（1）x≠3；（2）－5≤x≤5. 【分析】（1）要使式子有意义，只需分母不等于零即可求解. （2）根据等式，化简可得，解不等式组即可求解. 【详解】（1）由于根指数是3，故有意义即可，此时x－3≠0，即x≠3. （2）∵， ∴，∴－5≤x≤5. 【点睛】本题考查了根式的化简，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 50．（浙江省宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）计算： (1)； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据分数指数幂的运算进行化简即可； (2)根据完全平方分别求出分子、分母即可求解. 【详解】（1） （2），， ， ， . 51．（2024高一上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 且， 所以. 52．（2024高一·全国·课后作业）（1）化简：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）分和，结合指数幂的运算法则求解即可； （2）直接利用指数的幂运算及分母有理化求解即可. 【详解】（1）由题中式子可知， 当时， 原式＝ ； 当时， 原式＝ . 综上. （2）原式＝. 【点睛】本题主要考查了指数的幂运算，第一问的解题忽视的情况是易错点，属于中档题. 53．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知a>0，b>0，且ab=ba，b=9a，求a的值. （2）已知67x=27，603y=81，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题得即化简即得解； （2）由题得由603y=81，得两式相除即得解. 【详解】（1）∵a>0，b>0，又ab=ba， （2）由67x=33，得由603y=81，得 =9=32，∴，故. 【点睛】本题主要考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 54．（2024高一·全国·课后作业）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）110；（2）a . 【分析】结合已知条件利用指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）原式 ． (2)原式 ． 55．（2024高一·全国·专题练习）计算下列各式： (1). (2). (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答. (2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答. (3)将给定等式两边平方直接计算即可作答. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）因，两边平方得， 所以. 56．（2024高一·江苏·假期作业）计算下列各式． (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解. （2）利用指数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 57．（2024高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； (2)； (3)； (4)（且）. 【答案】(1)112 (2)21 (3)4 (4) 【分析】(1)把根式化成分数指数幂，再利用指数运算法则计算即得. (2)直接利用指数运算法则计算即可. (3)对根式配方变形，再利用指数运算法则计算即得. (4)利用指数运算法则化简计算即得. 【详解】（1）原式=. （2） =21. （3） . （4）. 58．（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【分析】由成立，即可得出，解得即可． 【详解】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 59．（2024高一·全国·课后作业）化简，求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可将平方后展开，可利用已知代入最后开方得到结果（2）直接将已知条件两边平方，可得结果（3）将已知条件平方可得到的值，再将平方可得到的值，配合立方和公式将上述值分别代入可得结果 【详解】（1）依题意，可知，则， 所以． （2）因为，两边平方后得 所以 （3），两边平方可得，所以． ． 所以= 60．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）18；（2）. 【分析】（1）由题可得，结合条件及指数幂的运算法则即得； （2）由题意化简所给的代数式，再结合条件即求. 【详解】（1） ． （2）∵，， ∴原式 ． 61．（2024高一上·全国·课后作业）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案; （2）将化为，化简并结合，可求得答案. 【详解】（1）， 则． （2）， 且, ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$