专题2.2 图形的轴对称（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.2 图形的轴对称（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】轴对称图形 轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 【知识点2】轴对称 1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 【知识点3】轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 题型目录 【题型1】轴对称图形的识别.....................................................2 【题型2】利用轴对称图形的特征进行判断.........................................2 【题型3】利用轴对称图形的特征求值.............................................4 【题型4】利用轴对称图形的特征证明.............................................4 【题型5】利用轴对称图形的特征解决折叠问题.....................................6 【题型6】利用轴对称图形的特征求最值...........................................7 【题型7】轴对称的特征解决实际问题.............................................8 【题型8】直通中考.............................................................9 【题型9】拓展与延伸...........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】轴对称图形的识别 【例1】（22-23八年级上·全国·课后作业）线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 【变式1】（2024·山西大同·模拟预测）“二十四节气”是根据太阳在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法．下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【题型2】利用轴对称图形的特征进行判断 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出， 使它与关于直线对称； (2)在直线上找出一点D， 使得，并说明理由． 【变式1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【变式2】（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，且它们关于直线l对称，交直线l于点P，连接，以下结论： ①连接，则； ②是等腰三角形； ③； ④C，P，D三点共线． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【题型3】利用轴对称图形的特征求值 【例3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 【题型4】利用轴对称图形的特征证明 【例4】（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，直线是的对称轴． (1) 画出中边上的高，与交于点O； (2) 试说明； (3) 若，求和的度数． 【变式1】（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，． 【变式2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④； 正确的个数为： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5】利用轴对称图形的特征解决折叠问题 【例5】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    【变式1】（23-24七年级下·辽宁营口·开学考试）如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    【题型6】利用轴对称图形的特征求最值 【例6】（22-23七年级下·河北邯郸·期末）在长方形中，．   (1)如图1所示，，P为上一动点，将沿翻折到的位置，若，求的度数； (2)如图2所示，若，P是线段上一动点，连接，求线段的最小值． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【变式2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则 的面积最小值为 ． 【题型7】轴对称的特征解决实际问题 【例7】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【变式1】（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【题型9】拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，正方形的对角线交于点O．M为对角线上一动点（不与点O重合）作射线AM，，于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（正方形中，，，，都是等腰直角三角形） (1)如图1，当时，用等式表示与之间的数量关系； (2)当时，探究与之间的数量关系并加以证明； (3)点M移动过程中，若有与全等，求此时的值． 【例2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图1，纸条沿折痕折叠，点落到点处，交于点．   (1)若，求证：． (2)在（1）的条件下，如图2，点为射线上的一个动点，，垂足为，平分交射线于点． ①当点与点重合时，，求的度数； ②在点运动中，求出与的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 图形的轴对称（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】轴对称图形 轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 【知识点2】轴对称 1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 【知识点3】轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 题型目录 【题型1】轴对称图形的识别....................................................2 【题型2】利用轴对称图形的特征进行判断........................................3 【题型3】利用轴对称图形的特征求值............................................6 【题型4】利用轴对称图形的特征证明............................................9 【题型5】利用轴对称图形的特征解决折叠问题...................................13 【题型6】利用轴对称图形的特征求最值.........................................16 【题型7】轴对称的特征解决实际问题...........................................19 【题型8】直通中考...........................................................22 【题型9】拓展与延伸.........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】轴对称图形的识别 【例1】（22-23八年级上·全国·课后作业）线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 【答案】线段、角是轴对称图形；线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线；角的对称轴为角平分线所在的直线． 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 解：线段、角是轴对称图形； 线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线； 角的对称轴为角平分线所在的直线． 【点拨】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 【变式1】（2024·山西大同·模拟预测）“二十四节气”是根据太阳在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法．下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的判断，根据将一个图形沿一条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形直接判断即可得到答案； 解：由题意可得， A选项图形不是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是轴对称图形，符合题意， C选项图形不是轴对称图形，不符合题意， D选项图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有3种画法． 解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形． 故选：D． 【题型2】利用轴对称图形的特征进行判断 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出， 使它与关于直线对称； (2)在直线上找出一点D， 使得，并说明理由． 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，掌握轴对称图形的性质，是解答本题的关键． （1）先画出点A、B、C关于直线对称点，再依次连接即可； （2）连接交直线与点D，点D即为所求． 解：（1）如图所示：如图所示： （2）如图所示，点D即为所求， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴． 【变式1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，且它们关于直线l对称，交直线l于点P，连接，以下结论： ①连接，则； ②是等腰三角形； ③； ④C，P，D三点共线． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，中垂线的性质，三点共线的证明，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，分别交直线于，利用轴对称性，可得，即可证，故①正确；根据已知条件无法判定是等腰三角形，故结论②不正确；利用轴对称性和中垂线性质，可证明，故，结论③正确；通过证明为平角，即可证明C，P，D三点共线，结论④正确． 解：① 连接，分别交直线于如图， ，关于直线l对称， ，， ，， ， ，故①正确； ② 根据已知条件，无法判定是等腰三角形，故②不正确； ③ 点关于直线l对称，点关于直线l对称， 直线l是线段垂直平分线， ，， 又， ， ， ，故③正确； ④ ， ， 又 ， ， C，P，D三点共线，故结论④正确； 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【题型3】利用轴对称图形的特征求值 【例3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，则，， 根据，求解作答即可； （2）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，即，由，可求，进而可得的长． 解：（1）∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解． 解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角问题，掌握直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角性质，会用已知角求余角，利用对称轴证角相等，利用外角关系解决问题是关键．由，，得，根据对称性的性质可得，根据三角形外角的性质得出，求出结果即可． 解：∵，， ∴， ∵点D，E在上，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型4】利用轴对称图形的特征证明 【例4】（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，直线是的对称轴． (1) 画出中边上的高，与交于点O； (2) 试说明； (3) 若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质，余角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据高的定义即可画出图形， （2）根据是的对称轴，得，，在根据同角的余角相等得，即可解答结论； （3）首先利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可求出；利用三角形内角和即可求出． 解：（1）如图， 在中， 线段是边上的高．             … （2）∵ 直线是的对称轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）在中， ∴． 在中， ， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，． 【答案】36 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明，利用三角形内角和定理构建方程求解即可． 解：与关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36． 【变式2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④； 正确的个数为： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出所以，再求解即可判断④． 解：关于，的对称点分别是点，点， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形， 故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点E，与交于点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选：C． 【题型5】利用轴对称图形的特征解决折叠问题 【例5】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；①见解析；② 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，， （1）设，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，，从而得出，再 ，列出方程，求解即可； （2）①由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而得出，即，再求得，而由三角形内角和定理可得，从而证得结果； ②由平行线的性质可得，再由，，可得出，再求解即可． 解：（1）设， 把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）①把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ； ②， ， ，， ， ， 【变式1】（23-24七年级下·辽宁营口·开学考试）如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的内角和为180度． 根据平行线的性质得出，根据折叠可知，进而得出，最后根据三角形的内角和定理，即可解答． 解：∵， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，先根据直角三角形的性质，再由轴对称的性质和三角形的内角和定理可以求出结论，解答时利用三角形的内角和定理求解是关键． 解： 与关于成轴对称， 故答案为：． 【题型6】利用轴对称图形的特征求最值 【例6】（22-23七年级下·河北邯郸·期末）在长方形中，．    (1)如图1所示，，P为上一动点，将沿翻折到的位置，若，求的度数； (2)如图2所示，若，P是线段上一动点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据得，根据沿翻折到的位置得，则，根据，得，即，进行计算即可得； （2）过点C作于，当P运动到时，根据垂线段最短可知，此时最小，最小值记为的长度，即，进行计算即可得． 解：（1）设， ∵， ∴， ∵沿翻折到的位置， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ， 即的度数为； （2）过点C作于，如图所示，    当P运动到时，根据垂线段最短可知，此时最小，最小值记为的长度， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 【点拨】本题考查了翻折，平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握这些知识点． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，等积法求高，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，得到此时有最小值，再根据求出的长，即可得到答案． 解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， 由对称的性质可知，，，， ，此时有最小值， ，，， ， ， ，即的最小值为， 故选：A 【变式2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则 的面积最小值为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接，过点作交的延长线于，，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：；． 【题型7】轴对称的特征解决实际问题 【例7】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型． （1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求； （2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求． 解：（1）如图1中，路径是． （2）如图2中，路径是． 【变式1】（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 解：如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 【变式2】（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 【例2】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【题型9】拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，正方形的对角线交于点O．M为对角线上一动点（不与点O重合）作射线AM，，于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（正方形中，，，，都是等腰直角三角形） (1)如图1，当时，用等式表示与之间的数量关系； (2)当时，探究与之间的数量关系并加以证明； (3)点M移动过程中，若有与全等，求此时的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）先证，推出．再证，可得．再根据轴对称的性质推出，即可得出； （2）同（1）可证，推出．再证，可得．再根据轴对称的性质推出，即可得出，结合，可证； （3）分和两种情况，利用全等三角形对应角相等列出等式，即可求解． 解：（1）如图所示，设与交于P点， 是正方形， ，， 又， ， ． ，， ． ． 点N与点M关于直线CE对称， ， 又， ． ． （2）解：当时，． 理由如下：设与交于Q点， ，，， ， ． ，， ． ． 点N与点M关于直线CE对称， ， 又， ． ． ， ． ． （3）解： 是正方形， 与互相垂直且平分， ，． 点N与点M关于直线CE对称， ， ． 又， 若有与全等，则或． 分两种情况：①当时， 若， ，， ， 解得； 若， ， ， 解得， 此时M与O重合，不合题意，舍去； ②当时， 若， ，， ， 解得； 若， ， ， 解得，不合题意，舍去； 综上可知，的值为或． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，解题的关键是熟练掌握分类讨论思想，避免漏解． 【例2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图1，纸条沿折痕折叠，点落到点处，交于点．   (1)若，求证：． (2)在（1）的条件下，如图2，点为射线上的一个动点，，垂足为，平分交射线于点． ①当点与点重合时，，求的度数； ②在点运动中，求出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①或或；②或 【分析】（1）首先结合折叠的性质证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”证明结论即可； （2）①设度，则，，根据题意建立关于的方程并求解，即可获得答案；②分点在线段上和点在线段延长线上两种情况，分别求解即可． 解：（1）证明：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； （2）①如图，当点P在线段上，点P在上        设，则，， ∵分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 当点P在线段上，点P在上，同理可求； 当点P在线段延长线上，同理可求； 综上：或或； ②当点在线段上时，    设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段延长线上时，      设，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$