专题2.1 特殊三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 特殊三角形（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】轴对称图形 （1）轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. （2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 （3）轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 【知识点2】等腰三角形 （1）等腰三角形的性质：  ①等腰三角形两腰相等； ②等腰三角形两底角相等(等边对等角)； ③等腰三角形顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线三线重全，简称：三线合一）； ④等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有1条或3条。  （2）等腰三角形的判定：  ①有两条边相等的三角形是等腰三角形； ②有两内角相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对等边）。  【知识点3】等边三角形 （1）等边三角形的性质：  ①等边三角形各条边相等，各内角相等，且都等于60。；三线合一在每边上都成立。 ②等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。  （2）等边三角形的判定：  ①有三条边相等的三角形是等边三角形； ②有两个角都是60。的三角形是等边三角形； ③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。  【知识点4】直角三角形 （1）直角三角形的性质：  ①直角三角形两锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2  ④30°角所对的直角边等于斜边的一半。  （2）直角三角形的判定：  ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形； ④一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形. （3）直角三角形全等的判定：  【斜边直角边公理】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。    【知识点5】主要数学思想方法：  （1）分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中所求的边、角、周长等）  （2）方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长  （3） 等面积法  （4）解决几何问题时，主要从几何图形边、角、线三方面入手，分别从题中、图中找已知条件. 【题型目录】 【题型1】利用轴对称的特征求解与证明................................3 【题型2】利用“三线合一”求值与证明................................4 【题型3】利用等腰三角形的性质与判定求值与证明......................4 【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明........................5 【题型5】利用勾股定理及其逆定理进行求值与证明......................6 【题型6】利用直角三角形全等的判定求值与证明........................7 【题型7】利用直角三角形边角关系求值与证明..........................8 【题型8】直通中考..................................................9 【题型9】拓展延伸..................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用轴对称的特征求解与证明 【例1】（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点分别交于点． （1）连接，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【变式1】（2024九年级下·广东东莞·学业考试）点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是 【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（    ） A． B． C． D．4 【题型2】利用“三线合一”求值与证明 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【题型3】利用等腰三角形的性质与判定求值与证明 【例3】（23-24八年级上·陕西渭南·期末）△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，． （1）如图1，当和如图摆放，连接，其中与相交于点F．那么与之间存在着怎样的位置关系，请说明理由； （2）如图2，当和如图摆放，F为的中点，连接，并在的延长线上取一点C，连接，使．求证：． 【变式1】（2022·河南郑州·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【变式2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明 【例4】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， （1）求证：； （2）若时，求的度数． 【变式1】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【题型5】利用勾股定理及其逆定理进行求值与证明 【例5】（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 【变式1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：一根竹子原本高12尺，从处折断，竹梢触地处离竹根的距离尺，试问折断处与地面的距离（    ）尺． A． B． C．4 D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【题型6】利用直角三角形全等的判定求值与证明 【例6】（22-23九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． （1）求证：①； ②； （2）若，，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 【题型7】利用直角三角形边角关系求值与证明 【例7】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点． （1）求证：． （2）若，试判断的形状并说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在 中，，M是斜边的中点，以为边作正方形．若 ，则（   ）    A． B． C．25 D．20 【变式2】（22-23八年级上·广东中山·期末）如图，，点P是上一点，点Q与点P关于对称，于点M，若，则的长为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 2、拓展延伸 【例1】（2024·贵州贵阳·一模）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点， (1)【问题解决】如图①，当平分时，则 度； (2)【问题探究】如图②，当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，时，求的长．（在备用图中作出满足题意的图形并完成解答） 【例2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 特殊三角形（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】轴对称图形 （1）轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. （2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 （3）轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 【知识点2】等腰三角形 （1）等腰三角形的性质：  ①等腰三角形两腰相等； ②等腰三角形两底角相等(等边对等角)； ③等腰三角形顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线三线重全，简称：三线合一）； ④等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有1条或3条。  （2）等腰三角形的判定：  ①有两条边相等的三角形是等腰三角形； ②有两内角相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对等边）。  【知识点3】等边三角形 （1）等边三角形的性质：  ①等边三角形各条边相等，各内角相等，且都等于60。；三线合一在每边上都成立。 ②等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。  （2）等边三角形的判定：  ①有三条边相等的三角形是等边三角形； ②有两个角都是60。的三角形是等边三角形； ③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。  【知识点4】直角三角形 （1）直角三角形的性质：  ①直角三角形两锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2  ④30°角所对的直角边等于斜边的一半。  （2）直角三角形的判定：  ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形； ④一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形. （3）直角三角形全等的判定：  【斜边直角边公理】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。    【知识点5】主要数学思想方法：  （1）分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中所求的边、角、周长等）  （2）方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长  （3） 等面积法  （4）解决几何问题时，主要从几何图形边、角、线三方面入手，分别从题中、图中找已知条件. 【题型目录】 【题型1】利用轴对称的特征求解与证明................................3 【题型2】利用“三线合一”求值与证明................................6 【题型3】利用等腰三角形的性质与判定求值与证明......................9 【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明........................13 【题型5】利用勾股定理及其逆定理进行求值与证明......................17 【题型6】利用直角三角形全等的判定求值与证明........................19 【题型7】利用直角三角形边角关系求值与证明..........................23 【题型8】直通中考..................................................26 【题型9】拓展延伸..................................................28 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用轴对称的特征求解与证明 【例1】（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点分别交于点． （1）连接，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 解：（1）∵点P与点M关于对称， ∴． 同理：． ∴的周长； （2）∵，Q、R为，的中点， ∴，， ∴． 又∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴， ∴平分． 【变式1】（2024九年级下·广东东莞·学业考试）点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于，此时的周长最小，最小值为，连、、，根据轴对称的性质得出，即可得出，，由根据三角形内角和定理即可得出． 解：作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于、， 此时四点共线，此时的周长最小，最小值为，连、、， 由轴对称的性质可知， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是运用排除法进行解题．连接，由轴对称的性质可得，，在中，可有，即，结合均为定值，可知当与重合时，取最小值，此时，结合题意可得，然后根据三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案． 解：如下图，连接， ∵，点是关于直线的对称点， ∴，， 在中，可有，即， ∵均为定值， ∴当与重合时，取最小值，此时， ∵的最小值是2，即有， ∴， 如下图， ∵为锐角， ∴为钝角， ∴，即， ∵， ∴选项A错误，不符合题意； 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴选项C、D错误，不符合题意． 综上所述，选项B符合题意． 故选：B． 【题型2】利用“三线合一”求值与证明 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，构建合适的辅助线是解本题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，推出，，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，最后利用角的和差即可求解． 解：如图，连接， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， 是的一个外角， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可判断选项A；根据等腰三角形三线合一性质可判断选项B；根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可判断选项C；根据三角形角平分线的定义可判断选项D． 解：∵平分， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意； ∵不一定是等腰三角形， ∴不能证明，故选项B的结论错误，符合题意； ∵垂直平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故选项C的结论正确，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得， 则 ∴ 故答案为：或． 【题型3】利用等腰三角形的性质与判定求值与证明 【例3】（23-24八年级上·陕西渭南·期末）△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，． （1）如图1，当和如图摆放，连接，其中与相交于点F．那么与之间存在着怎样的位置关系，请说明理由； （2）如图2，当和如图摆放，F为的中点，连接，并在的延长线上取一点C，连接，使．求证：． 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和，解题的关键是证明； （2）本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 解：（1）解：如下图1中， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）如下图2中，延长到H，使得， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2022·河南郑州·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由题意得，CG为的角平分线，在CB上截取CA1=CA，可得是等腰直角三角形，继而得到CG垂直平分AA1，则A1为点A关于CG的对称点，连接A1D，交CG于点E，此时最小，即A1D的值，利用勾股定理求解即可． 解： 由题意得，CG为的角平分线， 在CB上截取CA1=CA， ， 是等腰直角三角形， ，即CG垂直平分AA1， A1为点A关于CG的对称点， 连接A1D，交CG于点E， ， 此时最小，即A1D的值， ，为边的中点， ， ， 即， 故选：B． 【点拨】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得，，由，，可求，由三角形外角性质可求． 解：是等边三角形， ，， 是边上的中线， ，， ， ，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明 【例4】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， （1）求证：；（2）若时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，，进而可得，再根据角平分线的定义得，即可得到，最后利用即可证明； （）由等边三角形的性质和可得，即得，得到，进而由全等三角形的性质得，即可得，再证明即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 【变式1】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求． 解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故①②正确，符合题意； 故选：C 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案． 解：∵等边， ∴，， 过D点作于M， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴． ∴． 故答案为：2． 【题型5】利用勾股定理及其逆定理进行求值与证明 【例5】（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，连结，由E是的中点，可证明，即知，设，在中，可得，即可解得答案． 解：如图，连接， 由折叠得，， 是的中点， ， ∴ 在长方形中，， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的长为． 【变式1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：一根竹子原本高12尺，从处折断，竹梢触地处离竹根的距离尺，试问折断处与地面的距离（    ）尺． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可． 解：由题意知，尺，尺， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可． 解；如图所示，将圆柱展开， 作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F， 由题意得，，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 【题型6】利用直角三角形全等的判定求值与证明 【例6】（22-23九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． （1）求证：①； ②； （2）若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据条件可证得，然后根据角的关系即可得证；②连接，根据条件可证得，然后根据边长关系等量代换即可得解； （2）由三角形全等的性质可得到，根据等边对等角性质得到，由三角形内角和计算出，然后由即可得解． 解：（1）证明：①，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； ②连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 由①知， ， ； （2）解：， ， 由①知， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三角形内角和等知识，熟练掌握相关知识并采用等量代换的方法是解题关键． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接，直接证明，即可求证③，再利用等腰三角形的性质导角，可以判定，可判断②． 证明：连接， ∵，， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴，故③符合题意； ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，  故②符合题意； 故选：D． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接，过点E作交的延长线于点G，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解题的关键． 解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可证：， ， ， 解得：， ， 故答案：． 【题型7】利用直角三角形边角关系求值与证明 【例7】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点． （1）求证：． （2）若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定： （1）由直角三角形斜边上的中线性质推出，等边对等角，即可得出结论； （2）先证明是的垂直平分线，进而得到，等边对等角，推出，即可得出结论． 解：（1）∵，为的中点， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在 中，，M是斜边的中点，以为边作正方形．若 ，则（   ）    A． B． C．25 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，然后根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵， ∴， ∵中，，M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·广东中山·期末）如图，，点P是上一点，点Q与点P关于对称，于点M，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 如图，连接．构造特殊直角三角形解决问题即可． 解：如图，连接． ∵点Q与点P关于对称， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【例2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 【题型9】拓展延伸 【例1】（2024·贵州贵阳·一模）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点， (1)【问题解决】如图①，当平分时，则 度； (2)【问题探究】如图②，当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，时，求的长．（在备用图中作出满足题意的图形并完成解答） 【答案】(1)22.5 (2)．理由见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的性质可求解； （2）由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 解：（1）），， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：22.5； （2），理由如下： 如图 ①，过点作，交于点， 是直角三角形，，， ， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）情况①：当点在射线上时，如图②． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 情况 ②：当点在射线上时，如图 ③． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 【例2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接，证明，得到，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，即可得出答案． 解：如图：过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 点Q为的中点， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，斜边上的中线，添加辅助线构造全等三角形是解决此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$