3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式6题型分类 知识点1 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点2 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点4 利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点5 一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点6 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” （一） 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1-1．（2024高一上·福建·阶段练习）解下列不等式： （1）； （2） 1-2．（2024高一上·江苏南京·期中）解下列不等式： （1）； （2）. 1-3．（2024高二上·西藏林芝·期中）解下列不等式： （1）； （2） （二） 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 题型2：含有参数的一元二次不等式的解法 2-1．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，求关于x的不等式的解集． 2-2．（2024高一·全国·专题练习）已知()． （1）若，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 2-3．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，解关于的不等式． （三） 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 题型3：一次分式不等式的解法 3-1．（2024高一·上海·专题练习）解下列不等式： （1）； （2）. 3-2．（2024高一上·江苏常州·期末）不等式成立的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一上·四川巴中·阶段练习）不等式的解集为 ． 3-4．（2024高一·全国·单元测试）不等式的解集是 ． （四） 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 题型4：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 4-1．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 4-2．（天津市河西区2023-2024学年高二下学期期末数学试题）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 4-3．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）若的解集是，则等于（    ） A．-14 B．-6 C．6 D．14 4-4．（2024高一上·山西）已知实数，满足，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数a的取值范围是 ． （五） 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 题型5：实际问题中的一元二次不等式问题 5-1．（2024·浙江）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则，x 的最小值 5-2．（2024高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 5-3．（2024高一上·广西桂林·开学考试）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点. （1）写出税收（万元）与的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围 5-4．（2024高一上·山东临沂·期中）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，则= ，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为 ． 5-5．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ （六） 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数． 题型6：不等式的恒成立问题 6-1．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）命题“,使”是假命题，则实数的取值范围为 ． 6-2．（2024高一下·上海黄浦·阶段练习）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是 . 6-3．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 6-4．（2024高一上·山东济宁·期末）设函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围. 6-5．（2024高二上·天津滨海新·期末）已知关于的不等式的解集为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（2024高一下·四川绵阳·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2024高一·全国·专题练习）关于的一元二次不等式的解集为（　　） A．或 B． C．或 D． 3．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·黑龙江·阶段练习）二次函数只有一个零点，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2024高一上·黑龙江·阶段练习）在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（    ） A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 6．（2024高一上·福建龙岩·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2024高一下·浙江·期末）若对任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．﹣2a＜2 C．a＞2 D．a＜﹣2或a＞2 8．（2024高二上·山东济宁·期中）已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三·全国·阶段练习）已知二次不等式的解集为，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·浙江湖州·阶段练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二下·重庆沙坪坝·开学考试）下列不等式中解集为的有（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一·全国·专题练习）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2024高一·全国·专题练习）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以为（　　） A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1} 16．（2024高三上·青海西宁·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 17．（2024高一·全国·课后作业）不等式的解集为，则能使不等式成立的的集合为（     ）. A． B． C． D． 18．（2024高一上·山西长治·期中）已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为 C．不等式的解集恰好为，那么 D．不等式的解集恰好为，那么 19．（2024高一上·海南海口·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（2024高一·全国·专题练习）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝ ． 21．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）若不等式ax2-bx+c＜0的解集是，则不等式bx2+ax+c＜0的解集是 22．（2024高一下·山东滨州·阶段练习）不等式的解集为 23．（2024高一·全国·专题练习）已知不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为A，不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为B，若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，则a+b＝ ． 24．（2024高二上·吉林辽源·阶段练习）命题“不等式ax2－2ax－3＞0的解集为”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 25．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）二次函数（）的部分对应值如下表： 则关于的不等式的解集为 . 26．（2023-2024学年陕西省长安一中高一上学期期末考试数学）某产品的总成本（万元）与产量(台)之间有函数关系式，其中．若每台产品售价为万元，则生产者不亏本的最低产量为 台． 27．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）不等式的解集是： ． 28．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 29．（2024高一·江苏·假期作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 30．（2024高一下·四川广安·期末）已知关于的不等式， （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 31．（2024高一上·江苏泰州·阶段练习）（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围. 32．（2024高一下·广西钦州·期末）已知不等式的解集为. （1）求，的值； （2）求不等式的解集. 33．（2024高三上·宁夏·阶段练习）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）． 34．（2024高一·全国·课后作业）解下列一元二次不等式： (1)； (2) 35．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s=x+.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 36．（2024高一·全国·专题练习）解不等式：． 37．（2024高三上·广东中山·阶段练习）已知函数， （1）若关于的不等式的解集为或，求的值. （2）若关于的不等式解集中恰好有个整数，求实数的取值范围. 38．（浙江省台州中学2023-2024学年高一上学期10月第一次月考数学试题）已知二次函数. （1）若关于的不等式的解集是，求实数的值. （2）若，解关于的不等式. 39．（2024高一上·河北沧州·期中）当时，解关于的不等式. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式6题型分类 知识点1 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点2 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点4 利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点5 一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点6 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” （一） 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1-1．（2024高一上·福建·阶段练习）解下列不等式： （1）； （2） 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）将原不等式变为，即可得解； （2）将原不等式变为，即可得解. 【详解】（1）不等式可变为， 所以， 所以原不等式的解集为或； （2）不等式可变为， 所以原不等式的解集为. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 1-2．（2024高一上·江苏南京·期中）解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将原不等式变形为，利用二次不等式的解法可求得原不等式的解集； （2）将原不等式变形为，利用二次不等式的解法可求得原不等式的解集. 【详解】（1）由可得，解原不等式可得. 因此，不等式的解集为； （2）由可得，变形得，解原不等式可得或. 因此，不等式的解集为. 1-3．（2024高二上·西藏林芝·期中）解下列不等式： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求对应一元二次方程的根，再结合不等号方向写解集 （2）先化简不等式，再根据对应一元二次方程无解，即可确定不等式解集 【详解】（1）方程中， 原不等式的解集为 （2）原不等式可化为，方程中 原不等式的解集为. 【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. （二） 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 题型2：含有参数的一元二次不等式的解法 2-1．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，求关于x的不等式的解集． 【答案】答案见解析； 【分析】根据一元二次方程两根之间的大小分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以当时，即，由； 当时，即，由； 当时，即，由， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2-2．（2024高一·全国·专题练习）已知()． （1）若，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）由得，解一元二次不等式即可． （2）把不等式化为，再分类讨论a与a3的大小，然后写出解集即可． 【详解】（1）由，又， ∴，可得或， 故实数a的范围为． （2）由可化为，又， ①当或或时，的解集为， ②当时， 若时，，此时的解集为， 若时，，此时的解集为， ③当时， 若时，，此时的解集为， 若时，，此时的解集为， 综上： 当或或时，的解集为， 当或时，的解集为， 当或时，的解集． 2-3．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答即可. 【详解】当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 若，不等式为，解得； 若，解得或； ，解得或. 综上所述，当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是或； 当时，原不等式的解集是或． （三） 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 题型3：一次分式不等式的解法 3-1．（2024高一·上海·专题练习）解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）原不等式可转化为； （2）将原不等式可化为，即成2(x－1)(x＋1)<0. 【详解】（1）原不等式可转化为， 解不等式组可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为． （2）移项并整理，可将原不等式可化为，即成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为． 3-2．（2024高一上·江苏常州·期末）不等式成立的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义分析判断即可 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集为， 对于A，因为，所以是不等式成立的既不充分也不必要条件，所以A错误， 对于B，因为，所以是不等式成立的充分不必要条件，所以B正确， 对于C，因为不等式的解集，所以是不等式成立的充要条件，所以C错误， 对于D，因为，所以是不等式成立的必要不充分条件，所以D错误， 故选：B 3-3．（2024高一上·四川巴中·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式运算求解. 【详解】∵，则， 等价于，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 3-4．（2024高一·全国·单元测试）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】化为整式不等式求解. 【详解】不等式等价于，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： （四） 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 题型4：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 4-1．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解. 【详解】由题意可知，关于的方程的两根分别为、，则，可得， 故所求不等式为，即，解得. 故选：A. 4-2．（天津市河西区2023-2024学年高二下学期期末数学试题）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集求得的值，把不等式化为，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 可得和是一元二次方程的两个实数根， 所以，解得，， 所以不等式化为，即， 解得，即不等式的解集为． 故答案为：． 4-3．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）若的解集是，则等于（    ） A．-14 B．-6 C．6 D．14 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a、b，即可得. 【详解】∵的解集为， ∴-5和2为方程的两根， ∴有，解得， ∴. 故选：A. 4-4．（2024高一上·山西）已知实数，满足，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因式分解求的解集，再根据解集中恰有个整数解可求得区间端点满足的不等式再列式求解即可. 【详解】关于的不等式即 化简得 ∵的解集中的整数恰有3个， 故二次函数开口向上， 又因为，所以即， 方程的两根为， 所以不等式的解集为， 因为所以， 所以解集里的整数是三个. 所以， 所以化简得， 因为，所以， 所以 所以实数a的取值范围是 故答案为：. （五） 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 题型5：实际问题中的一元二次不等式问题 5-1．（2024·浙江）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则，x 的最小值 【答案】20 【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解. 七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2. 所以一月份至十月份的销售总额为: 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2, 所以xmin=20. 5-2．（2024高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可． 【详解】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 5-3．（2024高一上·广西桂林·开学考试）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点. （1）写出税收（万元）与的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围 【答案】（1）；（2）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式； （Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围． 试题解析： （1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担, 收购总金额为万元. 依题意有 （2）原计划税收为万元 依题意有 化简得 . 的取范围是. 点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 5-4．（2024高一上·山东临沂·期中）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，则= ，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为 ． 【答案】 100 【分析】把代入，求得，再解不等式，注意定义域． 【详解】由题意，当时，，所以． 由， 得，所以． 又因为，所以． 故答案为100；． 【点睛】本题考查函数的应用题．解题关键是列出函数解析式，再根据函数的性质求解． 1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点． (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 5-5．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． 【分析】由题意列不等式求解后判断， 【详解】由题意得，对于甲车，， 即，而，解得， 甲车未超过规定限速， 同理对于乙车，， ，而，解得， 乙车超过规定限速． 答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． （六） 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数． 题型6：不等式的恒成立问题 6-1．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）命题“,使”是假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得“，使”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案. 【详解】由题意命题“，使”是假命题， 故“，使”是真命题， 当时, 成立， 故，则且,解得， 综合得， 故答案为: 6-2．（2024高一下·上海黄浦·阶段练习）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， ，解得. 故答案为：. 6-3．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出满足题意的充要条件为，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以应有， 解得. 选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足. 故选：C. 6-4．（2024高一上·山东济宁·期末）设函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得； （2）由得，问题可转化为存在，使得成立.，不等式可以成立，时由二次不等式有解可得的范围． 【详解】解：（1）由题意可知：方程的两根是，1 所以 解得 （2）由得 存在，成立，即使成立， 又因为，代入上式可得成立. 当时，显然存在使得上式成立； 当时，需使方程有两个不相等的实根 所以 即 解得或 综上可知的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与轴交点横坐标． 6-5．（2024高二上·天津滨海新·期末）已知关于的不等式的解集为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用方程的实数根，即可求出的值，代入不等式，当是否为0进行讨论，结合判别式小于0即可得结果. 【详解】不等式可化为， ∵不等式的解集为， ∴为方程， 即，解得， 即对于,不等式恒成立， 当时，显然成立， 当时，则，解得， 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的问题，含有参数的一元二次不等式在实数集上恒成立问题，属于中档题. 一、单选题 1．（2024高一下·四川绵阳·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集的性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有， 故选：B 2．（2024高一·全国·专题练习）关于的一元二次不等式的解集为（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】不等式可化为，解得， 所以，不等式的解集为. 故选：B． 3．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集. 【详解】不等式等价于， 利用数轴标根法可得或，所以不等式解集为.    故选：C 4．（2024高一上·黑龙江·阶段练习）二次函数只有一个零点，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题意可得，求出，然后再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】二次函数只有一个零点， 则，解得或（舍去）， 所以不等式化为，解得或. 故答案为：D 5．（2024高一上·黑龙江·阶段练习）在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（    ） A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 【答案】B 【分析】根据定义可得(x＋2)(x－1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案. 【详解】根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 故选:B. 6．（2024高一上·福建龙岩·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由不等式的解集为,可得的根为，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可. 【详解】的解集为,则 的根为，即，， 解得， 则不等式可化为，即为， 解得或， 故选：A. 7．（2024高一下·浙江·期末）若对任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．﹣2a＜2 C．a＞2 D．a＜﹣2或a＞2 【答案】A 【分析】把不等式化为a＜x，求出x的最小值，即可求得实数a的取值范围． 【详解】当x＞0时，不等式x2﹣ax+2＞0化为x2+2＞ax， 即a＜x； 又x22， 当且仅当x，即x时取“＝”； 所以实数a的取值范围是a＜2． 故选：A． 8．（2024高二上·山东济宁·期中）已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解. 【详解】不等式①等价于， 解得，则不等式①解集为， 不等式②等价于， 解得，则不等式②解集为， 记不等式①和不等式②解集的交集为，则， 满足不等式①②的也满足不等式③， 当时，恒成立，即恒成立， 又当时，， . 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题. 9．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由不等式的解集为知可用表示，代入中并用参数分离与基本不等式求得的取值范围. 【详解】由不等式的解集为，可知为方程的两个根， 故且，即， 则不等式变为， 由于，则上式可转化为在恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 故. 故选：B. 10．（2024高三·全国·阶段练习）已知二次不等式的解集为，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由一元二次不等式的性质可得，，由基本不等式得出的范围，将表示为关于的二次函数即可得解. 【详解】∵二次不等式的解集为， ∴，即，， ∴，当且时，等号成立， ∴， ∴当时，最小，最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛： （1）由一元二次不等式解的特征得出； （2）由基本不等式得出的范围； （3）将所求结果表示为关于的二次函数. 二、多选题 11．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次不等式解集可知，且方程的两根分别为2，3，结合韦达定理可得之间的等量关系，分别代入各个选项即可得出结果. 【详解】解：因为的解集为， 所以，且方程的两根分别为2，3， 由韦达定理可知：，结合， 解得，所以， 所以选项A、B正确； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D错误. 故选：ABC 12．（2024高一上·浙江湖州·阶段练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误. 【详解】由，分类讨论如下： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或. 故选：AB. 13．（2024高二下·重庆沙坪坝·开学考试）下列不等式中解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合抛物线的开口方向及判别式的值即可判断． 【详解】对于A，由为开口向下的抛物线，且，所以解集不是，不符合题意； 对于B，由为开口向下的抛物线，且，解集为，符合题意； 对于C，由为开口向上的抛物线，且，解集为，符合题意． 对于D，由为开口向上的抛物线，且，解集为，不符合题意. 故选：BC. 14．（2024高一·全国·专题练习）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】把每个选项中的数代入关于x的一元二次不等式x2﹣4x+a≤0验证即可． 【详解】解：当a＝0时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x≤0，解得0≤x≤4，有5个整数解，∴A错； 当a＝1时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+1≤0解得2x≤2，有3个整数解“1，2，3”，∴B对； 当a＝2时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+2≤0，解得2x≤2，有3个整数解“1，2，3”，∴C对； 当a＝3时，一元二次不等式x2﹣4x+a≤0即为x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，有3个整数解“1，2，3”，∴D对； 故选：BCD． 15．（2024高一·全国·专题练习）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以为（　　） A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1} 【答案】BC 【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a、b和c的关系，判断a＜0，再代入不等式ax2+（b﹣2a)x+a﹣b+c＜0中求出关于x的不等式即可． 【详解】因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}， 所以方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和2，且a＜0， 由根与系数的关系知，， 解得b＝﹣a，c＝﹣2a， 所以不等式ax2+(b﹣2a)x+a﹣b+c＜0可化为ax2﹣3ax＜0，且a＜0， 化简得x2﹣3x＞0， 解得x＜0或x＞3， 所以x的取值范围是{x|x＜0或x＞3}． 故选：BC． 16．（2024高三上·青海西宁·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】CD 【分析】结合已知条件，利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】由于不等式的解为：或， 设使不等式成立的一个充分不必要条件为集合， 则或， 结合选项，只有选项CD正确. 答案：CD 17．（2024高一·全国·课后作业）不等式的解集为，则能使不等式成立的的集合为（     ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据不等式的解集为,可得,代入可解得或,根据题意选. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的两根且， 所以，， 所以,, 由，得, 得, 因为,所以, 所以或, 所以不等式的解集为或, .故选BC. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属于中档题. 18．（2024高一上·山西长治·期中）已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为 C．不等式的解集恰好为，那么 D．不等式的解集恰好为，那么 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，再由判别式小于零，可得结果； 对于B，把代入中解不等式组可得结果； 对于C，D，不等式的解集恰好为，而，，因此时函数值都是，从而解方程可得的值，进而可判断C，D 【详解】解：由得，又，所以，从而不等式的解集为，所以A正确； 当时，不等式就是，解集为，当时，就是，解集为，所以B正确； 当的解集为，，即，因此时函数值都是，由当时，函数值为，得，解得或， 当时，由，解得或，不满足，不符合题意，所以C错误； 当时，由，解得或，满足，所以，此时，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法应用，解题的关键是当的解集为时，要先求出，可得，进而得时函数值都是，先将代入求解出的值，再代入可求出的值 19．（2024高一上·海南海口·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，通过讨论与0的大小关系，求出解集即可. 【详解】根据题意，易知． 当时，函数的图象开口向上，故不等式的解集为或． 当时，函数的图象开口向下，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为；若，不等式的解集为． 故选：ABC． 三、填空题 20．（2024高一·全国·专题练习）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝ ． 【答案】1 【分析】根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可． 【详解】∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}， 故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3， 由根与系数的关系可得，∴，∴a+b＝1． 故答案为：1． 21．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）若不等式ax2-bx+c＜0的解集是，则不等式bx2+ax+c＜0的解集是 【答案】（-3，2） 【分析】由题分析得b＞0，且=1，=-6，再解一元二次不等式得解. 【详解】∵不等式ax2-bx+c＜0的解集是（-2，3）， ∴a＞0，且对应方程ax2-bx+c=0的实数根是-2和3， 由根与系数的关系，得， 即=-6，=1, ∴b＞0，且=1，=-6， ∴不等式bx2+ax+c＜0可化为x2+x-6＜0， 解得-3＜x＜2； ∴该不等式的解集为（-3，2）． 故答案为（-3，2）. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．（2024高一下·山东滨州·阶段练习）不等式的解集为 【答案】 【分析】根据解一元二次不等式的方法，直接求解. 【详解】，即， 解得： 所以不等式的解集为. 故答案为： 23．（2024高一·全国·专题练习）已知不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为A，不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为B，若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，则a+b＝ ． 【答案】-5 【分析】分别求出不等式x2﹣3x﹣4＜0和x2﹣x﹣6＜0的解集，得出不等式x2+ax+b＜0的解集，从而求出a、b的值． 【详解】不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x+1）（x﹣4）＜0，解得﹣1＜x＜4， 所以该不等式的解集为A＝（﹣1，4）； 不等式x2﹣x﹣6＜0可化为（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3， 所以该不等式的解集为B＝（﹣2，3）； 若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B＝（﹣1，3）， 则﹣1和3是方程x2+ax+b＝0的解， 由根与系数的关系知， 解得a＝﹣2，b＝﹣3， 所以a+b＝﹣5． 故答案为：﹣5． 24．（2024高二上·吉林辽源·阶段练习）命题“不等式ax2－2ax－3＞0的解集为”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将“不等式ax2－2ax－3＞0的解集为”，转化为“对,恒成立”，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，得无解，即对,恒成立，①当时，显然满足题意，②当时，有，解得：，综上， 故答案为： 【点睛】本题结合二次函数得性质，考查命题的真假，属于容易题. 25．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）二次函数（）的部分对应值如下表： 则关于的不等式的解集为 . 【答案】（或） 【解析】根据表格的数据代入计算的值，然后求解一元二次不等式即可. 【详解】代入，可得，再代入和，可得，得， 所以，解得. 故答案为：或 26．（2023-2024学年陕西省长安一中高一上学期期末考试数学）某产品的总成本（万元）与产量(台)之间有函数关系式，其中．若每台产品售价为万元，则生产者不亏本的最低产量为 台． 【答案】 【分析】利用题设条件求出利润，解不等式可得的最小值. 【详解】设利润为万元，则，其中， 令，则有，也就是， 解得或（舎）， 所以至少生产台. 【点睛】对于数学应用题，我们应根据题设条件选用合适的数学模型（如二次函数、分段函数等），注意根据要求去解数学模型. 27．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）不等式的解集是： ． 【答案】 【分析】 首先根据题意得到，再解二次不等式即可. 【详解】，解得. 故答案为： 28．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据判别式确定a的范围，运用求根公式求出方程的根，再根据解的情况确定a的范围. 【详解】由不等式得：，因为解集中只有2个整数，必有 ， 并且，， 由求根公式得方程的解为， ，即不等式的2个整数解必定为1和2， ，解得； 故答案为：. 四、解答题 29．（2024高一·江苏·假期作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】 （1）因式分解可得结果； （2）配方法可得结果； （3）配方法可得结果. 【详解】（1）由，得，得， 所以不等式的解集为. （2）由得，得， 得，得或，即或， 所以原不等式的解集为或. （3）由得，所以. 所以原不等式的解集为. 30．（2024高一下·四川广安·期末）已知关于的不等式， （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解. （2）根据关于的不等式的解集为．又因为 ，利用判别式法求解. 【详解】（1）将代入不等式，可得，即 所以和1是方程的两个实数根， 所以不等式的解集为 即不等式的解集为． （2）因为关于的不等式的解集为． 因为 所以，解得， 故的取值范围为． 31．（2024高一上·江苏泰州·阶段练习）（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出的值，然后就可以解不等式了； （2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式. 【详解】（1）因为的解集为， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得解得 不等式， 即，整理得，解得. 即不等式的解集为. （2）由题意可得，，即，整理得， 解得. 32．（2024高一下·广西钦州·期末）已知不等式的解集为. （1）求，的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题可知，是方程的两根，代入即可计算出的值； （2）根据分式不等式的求法即可求出. 【详解】（1）∵不等式的解集为， ∴，是方程的两根， ∴， 解得：或（舍去）， （2）由（1）知不等式即为， ∴， 解得：， ∴不等式的解集为. 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求解参数值、分式不等式的求解问题；关键是明确一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系. 33．（2024高三上·宁夏·阶段练习）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）． 【答案】答案见解析. 【分析】由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集． 【详解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0； ∵a＞0，∴不等式化为， 令， 解得； ∴当0＜a＜1时，即，原不等式的解集为{x|1＜x}； 当a＝1时，即，原不等式的解集为； 当a＞1时，即，原不等式的解集为． 34．（2024高一·全国·课后作业）解下列一元二次不等式： (1)； (2) 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）因为方程的两根分别为，且对应的抛物线开口向下，所以大于号取“两根之间”，可得答案． （2）通过化简得，， 的图象开口向上，且与x轴只有一个交点，大于号的解集是除以外的所有实数． 【详解】(1)不等式，即，对应抛物线开口向下，不等式解集为“两根之间”，所以解集为 (2)，化简，对应方程，方程的根 所以解集为. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，注意先要判断判别式与零的大小关系． 35．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s=x+.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 【答案】这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h. 【分析】根据题意直接列出一元二次不等式求解即可. 【详解】解：设这两车的刹车前的车速为x km/h 根据题意，有x+≥40 移项整理，得+10x-7200≥0 即（x-80）(x+90)≥0 故得不等式的解集为{x|x≤-90或x≥80} 在这个实际问题中x>0， 所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h. 36．（2024高一·全国·专题练习）解不等式：． 【答案】或 【分析】利用分式不等式的解法，先移项再通分转化为整式不等式即可求解. 【详解】由可得，即 所以，即， 所以， 可得：或， 所以原不等式的解集为或. 37．（2024高三上·广东中山·阶段练习）已知函数， （1）若关于的不等式的解集为或，求的值. （2）若关于的不等式解集中恰好有个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程组，解方程组求得的值. （2）将不等式转化为，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由已知可得方程的两个根为， 由韦达定理可得， 解得：. （2）不等式可化为， 因式分解得， （i）若，即，由题意可得，解得. （ii）若，即，由题意可得，解得. （iii）若，即，不等式的解集为空集，与题意不符. 综上：或 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式，属于中档题. 38．（浙江省台州中学2023-2024学年高一上学期10月第一次月考数学试题）已知二次函数. （1）若关于的不等式的解集是，求实数的值. （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）详见解析 【解析】（1）易知和3是方程的两解，且，结合根与系数关系，可列出等式关系，求出实数的值； （2）原不等式等价于，分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集是， 所以和3是方程的两解，且， 所以，解得. （2）由题意，时，， 若，则不等式可化为，即，所以原不等式的解集为； 若，不等式可化为，令，解得或， 若，则，所以原不等式的解集为； 若，则，即，所以原不等式的解集为； 若，原不等式可化为，所以原不等式的解集为； 若，则，即，所以原不等式的解集为. 综上所述，若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式，考查分类讨论思想的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 39．（2024高一上·河北沧州·期中）当时，解关于的不等式. 【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】先对分两种情况讨论，当时，再分三种情况讨论得解. 【详解】，因为，所以的解为，. 当时，，原不等式的解集为或. 当时，， 若，原不等式的解集为. 若，，原不等式的解集为. 若，，原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为或. 当时，原不等式的解集为. 当时，原不等式的解集为. 当时，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：解一元二次不等式，一般先讨论二次项的系数，再讨论的大小，再讨论两个根的大小.注意分类讨论思想的灵活应用. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$