压轴专题一有理数2024-2025学年人教版数学七年级上册

七年级上册数学人教版压轴专题一有理数 考点1 数轴与有理数 考法1 数轴上的整点与动点问题 典例 【例】利用数轴的相关知识,回答下列问题: (1)数轴上表示整数的点称为整点.若某数轴的单位长度为1 cm,在这条数轴上任意画一条长为2024 cm 的线段AB,则线段AB 盖住的整点的个数是 . (2)若数轴上点 P表示的数是-3,点Q到点P 的距离是5,则点Q表示的数是 . (3)动点 A,B分别从数轴上表示10和—2的两点同时出发,以每秒7个单位长度和每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动,则3s后,点A表示的数是 ,点B表示的数是 ,点A,B 之间的距离为 个单位长度. 针对训练 1.如图,把半径为1的圆放到数轴上,圆上一点 A 与表示一1的点重合,圆沿着数轴滚动一周,此时点 A 表示的数是 ( ) A.-1+2 B.-1+ C.-1-2 或-1+2 D.-1+ 或-1- 2.点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,AC=2,OA=OB.若点C表示的数为a,则点 B 表示的数为( ) A.-a+2 B.-a-2 C. a+2 D. a-2 3.如图,被阴影遮盖住的表示整数的点有 个. 4.如图,在数轴上,点A,B表示的数分别是-8,10,点 P 以 1.2个单位长度/s的速度从点 A 出发,沿数轴向右运动,同时点Q以3个单位长度/s的速度从点 B 出发,沿数轴在点B,A之间做往返运动.当点 P 到达点 B时,点Q表示的数是 . 5.已知点 A 表示的数是-2,一个点从数轴上的点 P 出发,先向左移动1个单位长度,再向右移动5个单位长度,终点到点 A 的距离为3,则点 P 表示的数为 . 6.如图,数轴上点 A 表示的数为-4,点B 表示的数为8,点P 从点A 出发,以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动,当点 P到达点B后立即返回,再以每秒3个单位长度的速度向左运动.设点 P 运动的时间为 t s. (1)当点 P 与点B 重合时,t的值为 ; (2)当t=7时,求点 P 表示的数; (3)当点 P与原点的距离是2个单位长度时,求t的值. 7.如图,甲、乙两人(看成点)分别从数轴上表示-6和9的点的位置开始,沿数轴做移动游戏.移动游戏规则如下:两人先进行“石头、剪刀、布”游戏,而后根据输赢结果进行移动. ①若平局,则甲向东移动1个单位长度,同时乙向西移动1个单位长度; ②若甲赢,则甲向东移动 4 个单位长度,同时乙向东移动2个单位长度; ③若乙赢,则甲向西移动2个单位长度,同时乙向西移动4个单位长度. 前三局结果如下表(提示:剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀): 第一局 第二局 第三局 甲的手势 石头 剪刀 石头 乙的手势 石头 布 布 (1)从如图所示的位置开始,第一局后甲、乙两人在数轴上的位置分别代表的数为 . (2)从如图所示的位置开始,从前五局来看,甲一平两胜两负,这五局游戏结束后乙离原点的距离为 . (3)从如图所示的位置开始,若进行了k局游戏后,甲与乙的位置相距3个单位长度,请直接写出k的值. 考法 2 数轴上的规律探究问题 典例 【例】等边三角形ABC在数轴上的位置如图所示,点A,C对应的数分别为0和一1.若三角形ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B对应的数为1,则连续翻转若干次后,数2024对应的点为 . 针对训练 1.在数轴上点 A 表示的数是-5,点 M从点A 出发,先向左移动1个单位长度,再向右移动2个单位长度,再向左移动3个单位长度,再向右移动4个单位长度……依次操作4 054次后,点M表示的数是 ( ) A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022 2.如图,数轴被折成90 ,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3,先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数字3所对应的点重合,数轴固定,圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动,则与数轴上的数 2 018重合的圆周上的数字是( ) A.3 B.0 C.1 D.2 3.如图,一电子跳蚤在数轴的点 P₀处,第一次向右跳1个单位长度到达点 P₁处,第二次向左跳2个单位长度到达点 P₂处,第三次向右跳3个单位长度到达点 P₃处,第四次向左跳4 个单位长度到达点 P₄处……以此类推,当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点时,点P。在数轴上表示的数为 . 4.一个机器人从数轴原点出发,沿数轴正方向以每前进 3步后退2步的程序运动.设该机器人每秒前进或后退1步,并且每步的距离是1个单位长度,xₙ表示第n s时机器人在数轴上的位置所对应的数.有下列结论:①x₃=3;②x₅=1;③x₁₀₈<x₁₀₄;④x₂₀₂₃>x₂₀24.其中正确的结论是 .(填序号) 考点 2 比较有理数大小常用的方法 针对训练 1.在33,-|-3.5|,-(- ), 中,最小的数是 ( ) A.3 B.-|-3.5| D.0 2.有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示,有下列各数:①-a-1;②|a+1|;③2-|a|;③ -|a|其中在0到1之间的是( ) A.①③④ B.②③④ C.①②③④ D.①②③ 3.若有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列式子中正确的有 .(填序号) ①b<0<a;②|b|<|a|; ③ab>0; ④a-b>a+b. 4.已知a>0,b<0,且|a|<|b|,比较a,b,-a,-b的大小: .(用“<”连接) 考点 3 绝对值的运用 考法 1 绝对值的性质及其运用 典例 【例】解答下列问题: (1)2024-|2023-x|的最大值是 ,此时x= ; (2)若|a-1|=-|b+2|,则 ab= ; (3)若|a-1|+a=1,则a的取值范围是 ; (4)若有理数a,b满足 则表示a,b的点位于数轴上原点的 (填“同侧”或“异侧”). 针对训练 1.若|x-1|+| xy-2|+| xz+3|=0,则5x-y-|z|的值为 ( ) A.-3 B.0 C.1 D.2 2.若|a|=2,b与-3互为相反数,c是绝对值最小的有理数,a<c,则a= ,b= ,c= . 3.我们把M={1,2,x}叫作集合M,其中1,2,x叫作集合M 的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在)、互异性(如x≠1且x≠2)、无序性(即改变元素的顺序,集合不变).若集合N={x,1,2},我们说M=N.已知集合A={2,0,x},集合 若A=B,则x-y的值是 . 4.下列说法正确的是 ( ) A.|x|<x B.当|x-1|+2取最小值时,x=0 C.若x>1>y>-1,则|x|<|y| D.若|x+1|≤0,则x=-1 考法 2 几何意义的运用 典例 【例】我们知道,|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离,我们可以把|x|看作|x-0|,所以|x-3|就表示x在数轴上对应的点到3对应的点的距离,|x+1|=|x-(-1)|就表示x在数轴上对应的点到-1对应的点的距离. 由上面绝对值的几何意义,解答下列问题: (1)求|x-4|+|x+2|的最小值,并写出此时x的取值情况; (2)求|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值,并写出此时x的取值情况; (3)已知|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10,求2x+y的最大值. 针对训练 1.在数轴上有A,B两点,点A 在原点左侧,点B 在原点右侧,点A 对应整数a,点B对应整数b.若|a-b|=2022,则当a 取最大值时,b的值是 ( ) A.2023 B.2 021 C.1 011 D.1 2.式子|x+2|+|x-3|+|x-5|的最小值是 . 3.已知数轴上A,O,B三点对应的数分)别为-3,0,1,P为数轴上任意一点,其表示的数为x. (1)如果点 P 到点A,B的距离相等,那么x= ; (2)若点 P到点A,B的距离之和最小,则x的取值范围是 ; (3)若点 P到点A,O,B的距离之和最小,则最小距离是 ; (4)当点 P 到点A,B的距离之和是6时,求x的值. 4.在数轴上点 A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,b是最小的正整数,且a,c满足 是数轴上一动点,点P表示的数是x,当PA+PB+PC=10时,求x的值. 5.(1)已知m是常数,若式子|x-1|+|x-5|+|x-m|的最小值是6,求m的值; (2)已知(|x+1|+|x-3|)(|y-2|+|y+3|)=20,求x+y的最大值. 考点4 有理数的新定义问题 典例 【例】对于正整数n,定义 其中 f(n)表示n的首位数字与末位数字的平方和.例如, 规定: (k为正整数).例如, .按此定义, 针对训练 1.已知: 观察上面的计算过程,利用规律计算 C60的值为 ( ) A.42 B.210 C.840 D.2 520 2.对于正数x,规定 例如, 利用以上的规律计算: f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)= 3.对于任意有理数a,b,定义运算:a⊙b=a(a+b)-1,等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如,2⊙5=2 (2+5)-1=13. (1)求(1⊙2)⊙ 的值 (2)对于任意有理数m,n,请你重新定义一种运算“⊕”,使得5⊕3=20,写出你定义的运算:m⊕n= .(用含m,n的式子表示) 考点5 有理数的实际应用 典例 【例】送奶员从商店出发开始送奶,他向东行驶了3km到达小红家,继续向东行驶了2.5km到达小铭家,然后向西行驶了9.5km到达小刚家,随后又返回商店. (1)以商店为原点,向东为正方向,1个单位长度表示1km,画出数轴,并标出小红家、小铭家、小刚家的位置.(小红家用点A 表示,小铭家用点 B 表示,小刚家用点 C 表示) (2)小红家与小刚家相距多远? (3)若送奶员行驶过程中每千米耗油1.2L,则这次送奶共耗油多少升? 针对训练 1.某大型汽车厂本周内计划每天生产180辆汽车,由于工人实行轮休,每天上班人数不一定相等,实际每天生产数量与计划产量相比如下表(增产记为正,减产记为负): 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 -5 +6 -3 +8 -4 +9 -15 (1)本周三生产了多少辆汽车? (2)本周总产量与计划产量相比,是增产还是减产? (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆? 2.小明妈妈在某玩具厂工作,厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个,平均每天生产20个,但由于种种原因,实际每天生产量与计划量相比有出入.小明妈妈某周的生产情况如下表(增产记为正,减产记为负): 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +10 -12 -4 +8 -1 +6 0 (1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 个. (2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 个. (3)该厂实行“每日计件工资制”,每生产一个玩具可得工资 5元.若超额完成任务,则超过部分每个另奖3元;少生产一个则倒扣2元.小明妈妈这一周的工资是多少元? 专题集训一 1.如图,数轴上一点 A 向左移动2个单位长度到达点 B,再向右移动5个单位长度到达点C.若点 A 表示的数为1,则点 C表示的数为( ) A.5 B.4 C.3 D.-1 2.已知a+b+c=0,则a,b,c这三个数在数轴上的对应点的位置不可能是 ( ) 3.点A,B在数轴上的位置如图所示,其对应的数分别是a和b.甲、乙、丙得出的结论如下:甲:b-a<0;乙:a+b>0;丙:|a|>|b|.其中正确的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.都不对 4.一个大于1的正整数a,与其倒数 ,相反数-a比较,大小关系正确的是 ( 5.观察下列算式: 32,…,则 的末尾数字是 ( ) A.5 B.7 C.9 D.11 6.如图,四个有理数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个有理数中,绝对值最小的是 . 7.若|a|<|b|<|c|,且a<0,b>0,c<0,比较a,-a,b,-b,c,-c的大小; .(用“<”连接) 8.有下列结论:①若|x|+x=0,则x为负数;②若-a不是负数,则a为非正数;(-a) ;④若|a|=-b,|b|=b,则a=b.其中正确的结论有 .(填序号) 9.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题: (1)数轴上表示 3 和 2 的两点之间的距离是 ,表示—2和1的两点之间的距离是 ,一般地,数轴上表示数 m和数n 的两点之间的距离等于|m-n|. (2)若|x+1|=2,则x= . (3)若|a-3|=4,|b+2|=3,且数a,b在数轴上的对应点分别是点 A、点B,则A,B两点之间的最大距离是 ,最小距离是 . (4)若数轴上表示数a 的点位于表示—3和5的两点之间,则|a+3|+|a-5|= . (5)当a= 时,|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小,最小值是 . 10.如图1,一只甲虫在5 5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动.它从A 处出发去看望B,C,D处的其他甲虫,规定:向上、向右爬行为正,向下、向左爬行为负.如果从A到B记为A B(+1,+3),从C到D记为C D(+1,-2),其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向,那么图中: (1)A C( , ),B A( , ); (2)若这只甲虫的爬行路线为A B C D,请计算该甲虫爬行的路程; (3)假如这只甲虫从A处去P 处的爬行路线依次为(+2,+3),(+1,-1),(-2,+3),(+4,-5),请在图2中标出点 P 的位置. 11.观察下列各式: 第1个等式: 第 2个等式: 第3个等式: 请回答下列问题: (1)按照以上规律,第5个等式: 第n个等式: (其中n为正整数). (2)求 的值. 12.“十一”黄金周期间,某景区在7 天假期(10月 1 日至 10 月 7 日)中每天的游客人数(单位:万人)变化如下表(正号表示人数比前一天多,负号表示人数比前一天少),若9 月 30日的游客人数为4.2万人. 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 人数变化 +1.8 -0.6 +0.2 -0.7 -1.3 +0.5| -2.4 (1)10月 4 日的游客人数为 万人; (2)七天中游客人数最多的一天比最少的一天多 万人; (3)如果每万人带来的经济收入约为100万元,那么该景区黄金周七天的旅游总收入约为多少万元? 13.如图,A,B为数轴上的两点,点A对应的数为-20,点 B 对应的数为 100. (1)求出与 A,B两点距离相等的点 M 所对应的数. (2)现有一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发,以6个单位长度/s的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点 A 出发,以4 个单位长度/s的速度向右运动.设两只电子蚂蚁在数轴上的点 C 处相遇,则点 C对应的数是多少? (3)若电子蚂蚁 P 从点 B 出发,以6个单位长度/s的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A 出发,以4个单位长度/s的速度也向左运动,请问:当它们运动多长时间时,两只电子蚂蚁间的距离为 20 个单位长度? 学科网(北京)股份有限公司 $$