11.2与三角形有关的角讲义 2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.2与三角形有关的角-数学八年级上册人教版 ( 知识梳理 ) 考点卡片 1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 3．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． ( 典例分析 ) 1．（2024春•定陶区期末）如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠ABD＝35°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数． 【解答】解：∵∠A＝35°，∠ABD＝35°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°， ∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°， ∴∠DCE＝∠ACB＝40°， ∴∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝70°+40°＝110°． 2．（2023秋•泾阳县期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线． （1）当∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，∠D＝　115　°，∠P＝　65　°； （2）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由． 【解答】解：（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°， ∴，， ∵∠D+∠CBD+∠BCD＝180°， ∴∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣（30°+35°）＝115°； ∵∠EBC+∠ABC＝180°，∠FCB+∠ACB＝180°， ∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°， ∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线， ∴，， ∵∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（60°+55°）＝65°， 故答案为：115，65； （2）当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不发生变化， 理由如下： ∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴，， ∵∠D+∠CBD+∠BCD＝180°， ∴， ∵∠EBC+∠ABC＝180°，∠FCB+∠ACB＝180°， ∴∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝180°﹣∠ACB， ∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线， ∴，， ∵∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴， ∴， ∴当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不发生变化． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024•路南区开学）在一个三角形中，如果最小的一个内角大于45°，那么这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 2．（2024•路南区开学）一个三角形三个内角度数的比是5：3：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 3．（2024•西乡塘区校级开学）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C＝62°，则∠DAE的度数是（　　） A．5° B．6° C．7° D．8° 4．（2023秋•林芝市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 5．（2024•陕西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2024春•江阴市校级月考）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 7．（2023秋•湖里区期末）如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（　　） A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF 8．（2024•长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•长沙期末）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，∠B＝45°，则∠A＝　 　． 10．（2024春•建邺区校级期中）在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是　 　三角形． 11．（2024•南岗区校级开学）已知△ABC中，∠ACB＞90°，AD为∠BAC的角平分线，AE为BC边上的高，∠ACB﹣∠B＝90°，若∠CAE：∠CAD＝5：4，则∠B＝　 　． 12．（2024•凉山州）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　 　． 13．（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　 　°． 14．（2024春•香坊区期末）如图，BP和CP是∠ABC和∠ACB的平分线，∠A＝88°，则∠BPC的度数为　 　． 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•泰和县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 16．（2024春•兴隆县期末）如图，在△ABC中，AN是△ABC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°，求∠C的度数． 17．（2023秋•惠来县期末）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数． 18．（2023秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数． 19．（2024春•灞桥区校级月考）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：∠3＝∠C； （2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数． 11.2与三角形有关的角-数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•路南区开学）在一个三角形中，如果最小的一个内角大于45°，那么这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【解答】解：由分析可知，如果一个三角形最小的一个内角大于45°，则三角形的最大角小于90°． 所以另外两个角一定是锐角． 故选：A． 2．（2024•路南区开学）一个三角形三个内角度数的比是5：3：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【解答】解：∵一个三角形三个内角度数的比是5：3：2， ∴设这个三角形三个内角的度数分别是5x，3x，2x，则由三角形内角和为180°得到 5x+3x+2x＝180°，解得x＝18°， ∴这个三角形三个内角的度数分别是90°，54°，36°， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 3．（2024•西乡塘区校级开学）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C＝62°，则∠DAE的度数是（　　） A．5° B．6° C．7° D．8° 【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵AD是△ABC的BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝62°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝28°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝35°﹣28°＝7°， 故选：C． 4．（2023秋•林芝市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 【解答】解：∵BE为△ABC的高， ∴∠AEB＝90° ∵∠C＝70°，∠ABC＝48°， ∴∠CAB＝62°， ∵AF是角平分线， ∴∠1＝∠CAB＝31°， 在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°． ∴∠3＝∠EFA＝59°， 故选：A． 5．（2024•陕西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：因为∠BAC＝90°， 所以△ABC是直角三角形． 因为AD是BC边上的高， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 6．（2024春•江阴市校级月考）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 7．（2023秋•湖里区期末）如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是（　　） A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF 【解答】解：A、∠ACD是△ABC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意； B、∠AEB是△ABE内角，不是△ABE的外角，不符合题意； C、∠AEF是△ABE的外角，符合题意； D、∠CEF是△EBC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意； 故选：C． 8．（2024•长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠C＝70°， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•长沙期末）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，∠B＝45°，则∠A＝　65°　． 【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠B＝45°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣45°＝65°． 故答案为：65°． 10．（2024春•建邺区校级期中）在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是　直角　三角形． 【解答】解：∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 11．（2024•南岗区校级开学）已知△ABC中，∠ACB＞90°，AD为∠BAC的角平分线，AE为BC边上的高，∠ACB﹣∠B＝90°，若∠CAE：∠CAD＝5：4，则∠B＝　25°　． 【解答】解：∵∠CAE：∠CAD＝5：4，AD为∠BAC的角平分线， 设∠CAE＝5x，∠CAD＝4x， ∴∠ACB＝5x+90°，∠CAB＝8x， ∵∠ACB﹣∠B＝90°， ∴∠B＝5x， ∴8x+5x+90°+5x＝180°， 解得：x＝5°， ∴∠B＝5×5°＝25°， 故答案为：25°． 12．（2024•凉山州）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　100°　． 【解答】解：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°， ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB＝20°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°， 故答案为：100°． 13．（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　56　°． 【解答】解：如图， ∵△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠3+∠4+∠1＝180°，∠5+∠6+∠2＝180°， ∴2∠3+∠1＝180°，2∠5+∠2＝180°， ∴∠1﹣∠2＝2∠5﹣2∠3， ∵∠5＝∠3+∠B， ∴2∠5＝2∠3+2∠B， ∴∠1﹣∠2＝2∠B＝2×28°＝56°． 故答案为：56． 14．（2024春•香坊区期末）如图，BP和CP是∠ABC和∠ACB的平分线，∠A＝88°，则∠BPC的度数为　134°　． 【解答】解：∵∠A＝88°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣88°＝92°， ∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝46°， ∴∠BPC＝180°﹣46°＝134°， 故答案为134° 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•泰和县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝35°． 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵在△ABD中∠BAD＝90°﹣∠B＝25°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°． 16．（2024春•兴隆县期末）如图，在△ABC中，AN是△ABC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°，求∠C的度数． 【解答】解：∵∠ANC＝∠B+∠BAN，∠B＝50°，∠ANC＝80°． ∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°， ∵AN是∠BAC角平分线， ∴∠BAC＝2∠BAN＝2×30°＝60°， 在△ABC中，∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°． 17．（2023秋•惠来县期末）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数． 【解答】（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠1＝∠DAE， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DAE+∠2＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵AD∥EF，∠2＝140°， ∴∠DAE＝180°﹣∠2＝180°﹣140°＝40°， ∵AB∥DG， ∴∠1＝∠DAE＝40°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠ADC＝2∠1＝2×40°＝80°， ∵∠B+∠BAD＝∠ADC， ∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°． 18．（2023秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数． 【解答】解：∵CE为∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴，． ∵∠DCE是△BCE的外角，∠ACD是△ABC的外角， ∴， ∴∠1＝2∠2＝2×25°＝50°． ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴，， ∴， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2＝90°+25°＝115°． 19．（2024春•灞桥区校级月考）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：∠3＝∠C； （2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AD∥EF， ∴∠2＝∠DAC， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠DAC， ∴AC∥GD， ∴∠3＝∠C． （2）解：∵∠2＝2∠3，∠1＝∠2， ∴∠1＝2∠3， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠1+∠3＝3∠3＝90°， ∴∠3＝30°，∠1＝60°， ∴∠1＝∠DAC＝60°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$