3.1.2 椭圆的几何性质(第2课时)导学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的几何性质(第2课时) 【学习目标】 1．进一步掌握椭圆的简单几何性质； 2．会判断直线与椭圆的位置关系； 3．能利用弦长公式解决相关问题． 【温顾·习新】 一、点与椭圆的位置关系 填空　(1)点与椭圆的位置关系 (2)点与椭圆的位置关系的判断方法：根据椭圆的定义判断点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系如下(F1，F2为两焦点)，且有如下结论： PF1＋PF2与2a关系 位置关系 与方程关系 PF1＋PF2 2a 点P在椭圆内 ＋ 1 PF1＋PF2 2a 点P在椭圆上 ＋ 1 PF1＋PF2 2a 点P在椭圆外 ＋ 1 做一做　已知椭圆C：＋＝1，点A(1，1)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　) A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 【研讨·拓展】 二、直线与椭圆的位置关系 思考　类比直线与圆的位置关系，想一想直线与椭圆有怎样的位置关系？ 填空　直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 解 Δ 0 相切 解 Δ 0 相离 无解 Δ 0 做一做　直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系是________． 【例1】如图，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＋＝1．m为何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？ 【变式1-1】若直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个公共点，则m的取值范围是________． 【变式1-2】直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-3】若经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0 【变式1-4】若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是_________． 【变式1-5】若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________． 三、弦长公式 思考　直线与圆相交求弦长的两种方法？ 填空　设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)， 直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝， 所以AB＝ 或AB＝ ． 做一做　过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB＝________． 【例2】已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【变式2-1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 四、中点弦问题 思考　已知椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？ 梳理　点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 【例3】在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程． 【变式3-1】设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标． 【变式3-2】过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________． 【例4】已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程． 【变式4-1】已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为________________． 【例5】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为和． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且，求直线l的方程． 【例6】(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．< D．> 【变式6-1】如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为(　　) A． B． C． D． 【变式6-2】如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)． (1)求“挞圆”的方程； (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值． 【例7】已知过圆锥曲线＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1．过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为(　　) A．x－y－3＝0 B．x＋y－2＝0 C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0 【例8】已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 【总结提炼】 1．牢记3个知识点：(1)点与椭圆的位置关系；(2)直线与椭圆的位置关系．(3)弦长公式． 2．掌握3种方法：(1)设而不求法；(2)公式法求弦长；(3)点差法． 3．注意1个易错点：直线与椭圆相交时，不要忽略消元后的方程Δ>0，避免所求值无意义． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·6· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$