3.1.1 椭圆的标准方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆的标准方程 【学习目标】 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求其标准方程． 【温顾·习新】 一、椭圆的定义 思考　在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点．如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 填空　平面内到两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的 ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 ． 做一做　思考辨析，判断正误 (1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆．( ) (2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆．( ) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆．( ) (4)平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足MF1＋MF2为常数”是“M的轨迹是椭圆”的充要条件( ) 【研讨·拓展】 二、椭圆的标准方程 思考1　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 思考2　 能否根据你的设定推导椭圆的方程？ 思考3　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 填空　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 图形 a，b，c的关系 做一做　已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【例1】如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．求△AF1B的周长． 【变式1-1】若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 【变式1-2】已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为________． 【例2】分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)． 【变式2-1】求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程． 【变式2-2】求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程． 【例3】(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________． (2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程． 【变式3-1】已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程． 【变式3-2】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且PA＋PB是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程． 【变式3-3】已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹方程． 【变式3-4】(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 【例4】已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点． (1)若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．(2) 若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积． 【变式4-1】如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 【变式4-2】已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，则PF2＝________，∠F1PF2的大小为________． 【变式4-3】P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 【变式4-4】已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则∠PF2F1＝________，PF1－PF2＝________． 【变式4-5】已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a＝________． 【变式4-6】(多选)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　) A．点P的纵坐标为3 B．∠F1PF2> C．△F1PF2的周长为4(＋1) D．△F1PF2的内切圆半径为 【例5】在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________． 【例6】已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若点M关于椭圆C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则 |AN|＋|BN|＝________． 【例7】设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A＝5，则点A的坐标是________． 【总结提炼】 1．牢记2个知识点：(1)椭圆的定义；(2)椭圆的标准方程． 2．掌握求标准方程的2种方法：(1)待定系数法；(2)定义法． 3．注意1个易错点：若焦点位置不确定，一定要分类讨论． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$