3.2.2 双曲线的几何性质导学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 【学习目标】 1．了解双曲线的简单几何性质； 2．会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等； 3．知道椭圆与双曲线几何性质的区别． 【温顾·习新】 一、双曲线的简单几何性质 思考　椭圆中长轴长大于短轴长，双曲线中实轴长一定大于虚轴长吗？ 填空　 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性 质 图形 焦点 焦距 范围 对称轴 对称中心 顶点 轴 实轴：线段A1A2，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ；实半轴长： ，虚半轴长： 离心率 e＝∈ 渐近线 做一做　双曲线－＝1的离心率为(　　) A． B． C． D． 【研讨·拓展】 【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 【变式1-1】求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 【例2】分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 【变式2-1】根据下列条件分别求双曲线的标准方程： (1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)； (2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)； (3)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6． 【变式2-2】已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程． 【例3】已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(　　) A．4＋2 B．－1 C． D．＋1 【变式3-1】设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________． 【变式3-2】(多选)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为(　　) A． B． C． D．2 【变式3-3】若双曲线－＝1与－＝－1(a>0，b>0)的离心率分别为e1，e2，则必有(　　) A．e1＝e2 B．e1e2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【变式3-4】已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率为 ． 【例4】设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于(　　) A． B． C． D． 【变式4-1】设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 【变式4-2】已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 二、等轴双曲线 思考　双曲线x2－y2＝1的实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程是什么？ 填空　(1)实轴和虚轴 的双曲线叫作等轴双曲线． (2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝ ； ②等轴双曲线的渐近线方程为y＝ ，它们互相 ． 【例5】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　) A． B．2 C． D．2 【变式5-1】(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 三、直线与双曲线的位置关系 思考　(1)类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ (2)当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？ 填空　把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有 切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 交点． 【例6】已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 【变式6-1】已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 四、弦长公式及中点弦问题 【例7】已知双曲线的渐近线方程 为y＝±2x，且过点(－3，4)． (1)求双曲线的方程； (2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求弦AB的长． 【变式7-1】如图，过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|． 【例8】已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为(　　) A．3 B．4 C．6 D．6 【变式8-1】已知双曲线的方程为x2－＝1．试问：双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 【变式8-2】直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　) A．(1,2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2,1) 【例9】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(3，)在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，若△OEF的面积为2，求直线l的方程． 【例10】设双曲线－＝1(a>b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________． 【变式10-1】设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【变式10-2】设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 【总结提炼】 1．牢记双曲线的9个性质 2．掌握3种方法：(1)求双曲线方程的方法；(2)求离心率的方法；(3)公式法求弦长． 3．注意2个易错点：(1)忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错． (2)混淆双曲线与椭圆的离心率的范围而致误． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·2· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$