2.1.2两条直线平行与垂直的判定导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---02两条直线平行和垂直的判定 1、 问题导学： 1.平面中两条直线有几种位置关系？ 2.当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？ 3.当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？ 二、知识构建 知识点一　两条直线平行的判定 （1）当两条直线 斜率分别为，时， __________________ （2当_______________时，直线的斜率不存在，此时． 知识点二　两条直线垂直的判定 (1) 当两条直线的斜率都存在，_____________． (2) 当一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于____轴时，l1⊥l2. 三、类型剖析 题型一 两条直线平行垂直的概念辨析 题型二 两条直线平行关系的判定 题型三 两条直线垂直关系的判定 题型四 已知两条直线平行求参数 题型五 已知两条直线垂直求参数 题型六 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 四、类型应用 题型一 两条直线平行或垂直的概念辨析 【例1】下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1-1】已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 题型二 两条直线平行关系的判定 【例2】已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 【跟踪训练2-1】判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【跟踪训练2-2】若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 题型三 两条直线垂直关系的判定 【例3】已知，，，，试判断直线与的位置关系． 【跟踪训练3-1】判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【跟踪训练3-2】满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【跟踪训练3-3】判断下列各对直线平行还是垂直： (1)经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2； (2)经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4. 题型四 已知两条直线平行求参数 【例4】已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【跟踪训练4】已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为 . 题型五 已知两条直线垂直求参数 【例5】直线过点，两点，直线过点，两点，若，则 . 【跟踪训练5-1】若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 【跟踪训练5-2】试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： （1）平行；（2）垂直． 【跟踪训练5-3】的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 【跟踪训练5-4】．已知点，. (1)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (2)若点，且点在同一条直线上，求的值. 题型六 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【例6】判断三点是否共线，并说明理由． 【跟踪训练6】如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【例7】已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【跟踪训练7】已知，试判断四边形的形状． 五、素养提升 1. 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 2. 张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 六、随堂检测 1.（2024·北京·高二人大附中校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 3.两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 4.过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 5.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（    ） A．1 B．6 C．0或6 D．0 6.已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7.已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 8.已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 9.已知三点，则△ABC为__________ 三角形. 10.在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 11.判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 12.已知点，，，，试判定四边形的形状． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---02两条直线平行和垂直的判定 1、 问题导学： 1.平面中两条直线有几种位置关系？ 2.当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？ 3.当直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？ 二、知识构建 知识点一　两条直线平行的判定 （1）当两条直线，斜率分别为，时， （2当时，直线的斜率不存在，此时． 如图，若，则与的倾斜角与相等， 由，可得，即． 因此，若，则． 反之，当时，， 由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此． 于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有 由数形结合可得，当时，直线的斜率不存在，此时． 知识点二　两条直线垂直的判定 (1) 当两条直线的斜率都存在，l1⊥l2⇔k1k2＝－1． (2) 当一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴时，l1⊥l2. 设两条直线的斜率分别为，方向向量分别为 则 当直线的倾斜角为0°时，若直线，则的倾斜角为90°，此时直线的斜率不存在． 三、类型剖析 题型一 两条直线平行垂直的概念辨析 题型二 两条直线平行关系的判定 题型三 两条直线垂直关系的判定 题型四 已知两条直线平行求参数 题型五 已知两条直线垂直求参数 题型六 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 四、类型应用 题型一 两条直线平行或垂直的概念辨析 【例1】下列说法中正确的有（    ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例. 【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确； 对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误； 对于③，所有的直线都有倾斜角，正确； 对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.， 故正确的个数为2. 故选：B 【跟踪训练1-1】已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，由直线斜率与直线的位置关系，即可判断. 【详解】不重合的两直线与对应的斜率分别为与， 当时，可得，当时，可得， 故“”是“”的充分必要条件， 故选：C． 题型二 两条直线平行关系的判定 【例2】已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】 【详解】如图2.1-8，由已知可得直线的斜率， 直线的斜率，因为， 所以直线． 【跟踪训练2-1】判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行. 【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可. （2）根据直线的斜率即可判断. （3）求出两直线的斜率即可求解. 【详解】（1）经过，两点，则， 则，可得两直线平行. （2）经过，两点，可得平行于x轴， 平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； （3）经过，两点，， 经过，两点，则， 所以. 【跟踪训练2-2】若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 题型三 两条直线垂直关系的判定 【例3】已知，，，，试判断直线与的位置关系． 【答案】 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以． 【跟踪训练3-1】判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【答案】(1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （2）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （3）根据法向量关系判断两直线是否垂直. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直． 【跟踪训练3-2】满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 【跟踪训练3-3】判断下列各对直线平行还是垂直： (1)经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2； (2)经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4. 【答案】(1)平行 (2)垂直 【分析】 (1)    由题意可得直线l1的斜率，根据直线l1，l2的斜率关系，判断它们的位置关系， (2)    . 由题意可得直线l3的斜率，根据直线l3，l4的斜率关系，判断它们的位置关系， 【详解】（1）由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行； （2）由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直. 题型四 已知两条直线平行求参数 【例4】已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 【跟踪训练4】已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意得，解得. 题型五 已知两条直线垂直求参数 【例5】直线过点，两点，直线过点，两点，若，则 . 【答案】0或5 【分析】根据斜率是否存在分类讨论，再利用直线位置关系列方程求解即可. 【详解】当直线斜率不存在，直线斜率为0时，满足，此时，解得； 当直线斜率存在时，因为，所以，解得； 综上，或. 故答案为：0或5 【跟踪训练5-1】若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出直线l的斜率，利用直线垂直关系列式求出a的值即得. 【详解】依题意，直线的斜率存在且为，由直线l经过点和， 得直线的斜率，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 【跟踪训练5-2】试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： （1）平行；（2）垂直． [解析] ，， （1）因为，所以，即，解得； （2）由，得，得 【跟踪训练5-3】的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 【答案】 【分析】用两直线垂直的定义计算即可. 【详解】由为直角顶点可得为直角，则， 所以， 即，解得. 故值为. 【跟踪训练5-4】．已知点，. (1)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (2)若点，且点在同一条直线上，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，由为直角，得到，结合斜率列出方程，即可求解； （2）根据斜率公式，求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设，则. 因为为直角，所以，可得，解得或， 即点的坐标为或. （2）解：因为，， 因为点在同一条直线上，所以，解得. 题型六 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【例6】判断三点是否共线，并说明理由． 【答案】共线，理由见解析. 【分析】根据直线斜率公式进行求解即可. 【详解】这三点共线，理由如下： 由直线斜率公式可得：， 直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点， 所以这三点共线. 【跟踪训练6】如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】根据直线和直线的斜率以及两直线的位置关系等知识证得结论成立. 【详解】证明：由条件可知，，． 因为，所以，即是直角三角形． 【例7】已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【跟踪训练7】已知，试判断四边形的形状． 【答案】矩形 【分析】根据直线平行、垂直求得正确答案. 【详解】由题意，可得， ∴． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又， ∴直线与垂直，即． ∴四边形为矩形．    五、素养提升 1. 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 2. 张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，可知直线与过点，的直线平行，且斜率都存在，则由斜率相等列出式子即可. 【详解】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：. 故选：B 3.已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 六、随堂检测 1.（2024·北京·高二人大附中校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】计算出两直线的斜率，结合斜率关系可得出结论. 【详解】由题意可知直线的斜率，直线的斜率． 因为，所以，或、重合． 故选：A. 3.两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系得，得到答案. 【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根， ，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直． 故选：. 4.过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据直线斜率公式，结合平行线斜率关系、直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为， 所以， 因此过两点的直线的斜率为， 因为过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为， 所以有， 故选：A 5.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（    ） A．1 B．6 C．0或6 D．0 【答案】D 【分析】求出直线与的斜率，利用两个斜率乘积等于即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，且与垂直， 所以直线斜率存在， 由经过点和，所以直线斜率为， 所以，解得：， 故选：D 6.已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 7.已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由两直线平行，斜率相等，即可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故答案为： 8.已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】 根据两点坐标求直线的斜率，结合两直线的位置关系即可求解. 【详解】设直线斜率为，直线斜率为， 因为直线过，， 所以斜率为， 因为，所以， 所以，即直线的斜率为. 故答案为：. 9.已知三点，则△ABC为__________ 三角形. 【答案】直角 【分析】根据直线斜率关系即得. 【详解】如图，猜想是直角三角形， 由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率， 由，得即， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 10.在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】根据垂直时，斜率乘积为，平行时，斜率相等来列式计算即可. 【详解】由已知， 当时， 所以，解得， 当时， ，解得， 经验证：当时，不重合. 故答案为：；. 11.判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)(I);(II) 【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断； （2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断； （3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解. 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 12.已知点，，，，试判定四边形的形状． 【答案】直角梯形 【分析】根据题意求直线的斜率，利用斜率结合平行、垂直关系分析判断. 【详解】由斜率公式可得：，，，， 因为，可知， 因为，可知与BC不平行， 又因为，可知， 所以四边形ABCD是直角梯形． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$