3.2.1 双曲线的标准方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线的标准方程 【学习目标】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程； 2．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 【温顾·习新】 一、双曲线的定义 思考　取一条拉链，拉开一部分；在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ (4)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线吗？ (5)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线吗？ 填空　平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于 (小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的 ． 做一做　(1)已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．不存在 D．一条射线 (2)已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【研讨·拓展】 二、双曲线的标准方程 思考　(1)类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ (2)设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 填空 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 F1F2＝ a，b，c的关系 c2＝ 做一做　若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5 B．±3 C．5 D．9 【例1】(1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2＝(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 (2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 【变式1-1】在△ABC中，已知A(－2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sin B－sin A＝sin C，求顶点C的轨迹方程． 【例2】根据下列条件，分别求双曲线的标准方程． (1)经过点P，Q； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 【变式2-1】分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)； (3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)． 【变式2-2】已知F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|＝10，过F2的直线交双曲线的一支于A，B两点，当|AB|＝5，△AF1B的周长等于26时，求此双曲线的标准方程． 【例3】给出曲线方程＋＝1． (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． 【变式3-1】若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则实数m的取值范围是________． 【变式3-3】(多选)已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是(　　) A．若mn>0，则C为双曲线 B．若m>0且m＋n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C．若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D．若m>0，n>0，则C为两条直线 【例4】如图，已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积． 【变式4-1】已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 【变式4-2】设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝(　　) A． B． C． D． 【变式4-3】已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为双曲线C上的一点．若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积等于________． 【例5】已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．9 B．2＋6 C．10 D．12 【变式5-1】(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离可能为(　　) A．17 B．7 C．22 D．2 【变式5-2】已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A． B．5＋4 C．5－4 D．＋4 【例6】已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形． 【变式6-1】动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式6-2】已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3,0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为________． 【例7】已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点． (1)设<m<4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程． 【例8】2021年9月17日神舟“十二号”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角． 【变式8-1】如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km． 【变式8-2】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为(　　) A．2π B．3π C．2π D．4π 【总结提炼】 1．牢记2个知识点：(1)双曲线的定义；(2)双曲线的标准方程． 2．掌握求标准方程的2种方法：(1)待定系数法；(2)定义法． 3．注意1个易错点：忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·6· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$