精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2024届高三上学期第一次月考数学试卷

鹤岗一中2023-2024学年高三上学期9月考试 数学试题 分值：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，40分） 1. 用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解方程组得，即得解. 【详解】解方程组得. 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2. “a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1． 【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行， 反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1， 所以，必要性不成立， ∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件． 故选A． 【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3. 某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏．某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积（单位：）与经过的时间（单位：月）的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到．那么要使该植物在水面的覆盖面积达到，至少要经过的时间约为（ ）（参考数据：．） A. 16.54个月 B. 17.54个月 C. 18.54个月 D. 19.54个月 【答案】C 【解析】 【分析】先根据1个月面积达到，求出，，得到，求出. 【详解】由题意得：，解得：， 故，令，即，， 两边取常用对数得：， 故， 故至少要经过的时间约为18.54个月. 故选：C 4. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数满足，可得，所以. 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以根据当时的函数解析式求出当时的函数解析式，然后取求出，再然后分为、、三种情况依次进行讨论，分别求解，最后与相结合，即可得出结果. 【详解】令，则，， 因为， 所以，， 即当时，， 取，则，， 当时，，此时无解； 当时，，此时无解； 当时，， 若，则，解得， 故即，解得，实数的取值范围为， 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，若给出当时的函数解析式，可令，则，写出的解析式，再将转化为即可，考查计算能力，考查分类讨论思想，是中档题. 6. 正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取棱中点，连接，故，进而得形成的几何体为两个底面重合的圆锥，其底面圆的半径为，顶点为点，顶点到底面圆的距离均为，再计算圆锥的体积即可得答案. 【详解】解：根据题意，取棱中点，连接， 因为正四面体的棱长为1，则， 所以当正四面体绕着旋转时，形成的几何体为两个底面重合的圆锥， 其底面圆的半径为，顶点为点，顶点到底面圆的距离均为， 故所求几何体的体积为. 故选：C 7. 2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分三种情况讨论，再结合独立事件的乘法公式即可得出答案． 【详解】4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种： ①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人， ②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B， ③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B， 故所求概率P． 故选：D． 8. 已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ） A. -1 B. 2 C. -3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解. 【详解】解：，所以 因为函数在处取极小值，所以，所以，，， 令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以. 故选：B 二、多选题（每题6分，24分） 9. 年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则 A. 2014~2018年，国内生产总值增长率连续下滑 B. 2014~2018年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用 C. 第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致 D. 2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50% 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据表格中数据，结合选项进行逐一分析即可. 【详解】对：年国内生产总之增长率相对年上涨，故错误； 对：从图表中可知，随着第三产业增加值的增长，国内生产总值的在不断增长，故正确； 对：年第三产业的增长率相对年在增大，而国内生产总值的增长率在下降，故错误； 对：年第三产业的增加值超过万亿元，而当年的国内生产总值有90万亿元，故占比超过，故正确； 故选：BD. 【点睛】本题考图表数据的分析，属基础题. 10. 设抛物线的焦点为F. 点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】焦点为，准线为，由中点坐标公式可得，，由抛物线定义可列方程解得，即可依次求得、. 【详解】由题意得，焦点为，准线为， 设B的坐标为，由B为FM的中点得 ，，即 由点B到抛物线准线的距离为得，解得， 则抛物线为，，则，故， 故M的坐标为或 故选：BC 11. 已知圆，直线交圆C于点A，B，线段AB的中点为M，则以下各点在点M的轨迹上的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件及圆的标准方程，利用点与圆M方程的位置关系的判断即可求解. 【详解】由题意可知，如图所示 点M的轨迹是以点和点为直径的圆，且在圆C内的部分.点M的轨迹方程是（点和点之间的优弧，不含端点）. 对于A,将点 代入中，得，所以点在点M的轨迹上，故A正确； 对于B,将点代入中，得，所以点在点M的轨迹上，故B不正确； 对于C，将点代入中，得，所以点在点M的轨迹上，故C正确； 对于D，点不在点M的轨迹上，故D不正确. 故选：AC. 12. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 令则，可得： ，， 利用对数的换底公式计算可判断选项A，验证是否正确可判断选项B，由于，比较可判处选项C，利用基本不等式可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】令则，可得： ，， 对于选项A：， 若则，因为，所以，故选项A不正确； 对于选项B：由可得，即， 因为， 所以，即，故选项B正确； 对于选项C：，因为，所以， 因为，所以，即，即，故选项C正确； 对于选项D：， ， 因为，因为所以等号不成立， 所以，即， 所以，根据“或”命题的性质可知选项D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令则，可得： ，，再利用对数的运算性质以及换底公式化简每一个选项的等式，注意利用基本不等式时等号能否成立. 三、填空题（每题5分，20分） 13. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再根据数量积的定义求出，最后由及数量积的运算律计算可得. 【详解】解：因为，所以，又且向量与的夹角为， 所以， 所以 . 故答案为： 15. 已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出椭圆的长半轴长以及半焦距长，再由双曲线和椭圆的定义求出的长度，利用余弦定理即可求解. 【详解】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义：， 所以，， 由余弦定理可得，， 整理得， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，正确解题的关键是要熟练掌握椭圆及双曲线的定义，注意在三角形中建立等量关系式. 16. 已知直三棱柱的底面为正三角形，是侧棱上一点，且，则三棱锥外接球的体积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，运用空间向量的运算得到点D的位置，取的中点，由可知，为的外心，进而结合球的性质确定出球心的位置，然后算出球的半径解得答案即可. 【详解】在正三棱柱中，由， 设， 则， 根据题意可知，，而， 于是， ， 即点D为的中点. 取为的中点， 因为，所以为的外心. 取的中点E，因为分别是的中点， 所以， 而为的中点，于是. 取点满足，而，所以， 于是，，则四边形是平行四边形， 故. 因为平面，平面，所以，易知， 且平面，所以平面， 于是平面，故三棱锥外接球的球心在直线上. 易得，， 设，则， 得或，得， 即三棱锥外接球的半径， 所以，该三棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 四、解答题 17. 甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局． （1）求恰好比赛局，比赛结束的概率； （2）求甲校以获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分两种情况讨论：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜；②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：恰好比赛局，比赛结束的情况有： 甲校获胜，概率为， 乙校获胜，概率为， 恰好比赛局，比赛结束的概率． 【小问2详解】 解：甲校以获胜的情况有： ①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜， 概率为：； ②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜， 概率为， 甲校以获胜的概率． 18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）; （2）; （3）； 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，然后根据向量的数量积求解直线夹角； （2）求解面的法向量，然后根据距离公式求解； （3）根据面与面的法向量，求解二面角的余弦值； 【小问1详解】 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系, 则，,,,， ,, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设面的法向量为，, 则，解得： 令，可得， 因为,所以 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 面，所以面的法向量为， 设面的法向量为， 又， ， 则，解得：， 令，可得， 所以二面角的余弦值为. 19. 如图，已知椭圆，焦距为 ，其离心率为， ，分别为椭圆 的上、下顶点，过点的直线 分别交椭圆于 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积是的面积的倍，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由，联立求解即可； （2）联立直线，和椭圆可求解得到，，利用点到直线距离公式可得到的距离为，，，换元法求解的最大值即可 【详解】（1）由题意，解得， ，椭圆方程为 （2） 由题意，， ，故直线方程为：， ，故直线方程为： 联立，得 得两根，故 所以到的距离 由直线方程为，联立，得 得两根，故 , ， 令,则 当且仅当,即等号成立, 所以的最大值为． 20. 设等差数列的前项和为，若，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】分析：⑴根据可以求出，再由可以求得，可以得到的值，从而求出等差数列的通项公式 ⑵求出的表达式，然后求和 详解：（1），，故， ∴； （2） . 点睛：本题考查了求等差数列的通项公式及等比数列的前项和，在题目条件中推广得，为奇数，可以直接运用． 21. （1）化简:； （2）已知，，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可； （2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，， 所以， ， 所以. 22. 已知函数． （1）若且仅存在两个整数，使得，求的取值范围； （2）讨论零点的个数． 【答案】（1） （2） 当时，函数无零点； 或时，函数f(x)有1个零点； 当或时，函数f(x)有2个零点． 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数确定函数的单调性，再结合函数的整数点列不等式求解即可； （2）把零点转化为两个函数的交点问题，分类讨论得出零点个数. 【小问1详解】 令，其中， 则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 且当时，；当时， 由可得，作出函数，的图象如下图所示： 因为有且只有两个整数，使得， 则满足不等式的整数只有两个， 所以即，解得． 【小问2详解】 考查当直线与函数相切时，实数的值， 设切点坐标为，则切线斜率为， 所求切线方程为，即， 所以，解得或 当时，；当时，． 当或时，直线与函数的图象有2个公共点； 当或时，直线与函数的图象只有1个公共点； 当时，直线与函数的图象无公共点． 综上所述，当时，函数无零点； 或时，函数f(x)有1个零点； 当或时，函数f(x)有2个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤岗一中2023-2024学年高三上学期9月考试 数学试题 分值：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，40分） 1. 用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏．某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积（单位：）与经过的时间（单位：月）的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到．那么要使该植物在水面的覆盖面积达到，至少要经过的时间约为（ ）（参考数据：．） A. 16.54个月 B. 17.54个月 C. 18.54个月 D. 19.54个月 4. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ） A. -1 B. 2 C. -3 D. 4 二、多选题（每题6分，24分） 9. 年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则 A. 2014~2018年，国内生产总值增长率连续下滑 B. 2014~2018年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用 C. 第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致 D. 2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50% 10. 设抛物线的焦点为F. 点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆，直线交圆C于点A，B，线段AB的中点为M，则以下各点在点M的轨迹上的有（ ） A. B. C. D. 12. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，20分） 13. 若，则______. 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则______. 15. 已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________. 16. 已知直三棱柱的底面为正三角形，是侧棱上一点，且，则三棱锥外接球的体积为_______________． 四、解答题 17. 甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局． （1）求恰好比赛局，比赛结束的概率； （2）求甲校以获胜的概率． 18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值. 19. 如图，已知椭圆，焦距为 ，其离心率为， ，分别为椭圆 的上、下顶点，过点的直线 分别交椭圆于 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积是的面积的倍，求的最大值． 20. 设等差数列的前项和为，若，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 21. （1）化简:； （2）已知，，，求的值. 22. 已知函数． （1）若且仅存在两个整数，使得，求的取值范围； （2）讨论零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $