11.1与三角形有关的线段讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.1与三角形有关的线段-数学八年级上册人教版 ( 知识梳理 ) 1．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 2．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 3．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． ( 典例分析 ) 1．（2023秋•蜀山区校级期中）在△ABC中，AB＝7，BC＝2． （1）求AC的取值范围； （2）若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周长为多少？ 【解答】解：（1）由题意知，7﹣2＜AC＜7+2， 即5＜AC＜9； （2）∵5＜x＜9， ∴AC的值是6或7或8， ∴△ABC的周长为：7+2+6＝15（舍去）． 或7+2+7＝16或7+2+8＝17（舍去） 即该三角形的周长是16． 2．（2023春•和平区校级期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 【解答】解：∵（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0， ∴， 解得， ∵a为方程|a﹣3|＝2的解， ∴a＝5或1， 当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7， 不能组成三角形，故a＝1不合题意； ∴a＝5， ∴△ABC的周长＝5+5+7＝17， ∵a＝b＝5， ∴△ABC是等腰三角形． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024•衡南县校级开学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，6 B．6，9，17 C．5，12，18 D．2，2，4 2．（2024•船山区校级开学）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形周长可能是（　　） A．13cm B．14cm C．15cm D．20cm 3．（2024•新华区一模）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（　　） A．5m B．15m C．20m D．30m 4．（2023秋•五华区期末）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 5．（2023秋•景县期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024春•揭阳月考）如图所示的图形中具有稳定性的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②③ 7．（2024•双城区校级开学）若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是（　　） A．AB＝BC B．BD＝DC C．AD平分BC D．BC＝2DC 8．（2024•沅江市校级开学）将周长是12cm的三角形三条边展开，展开图正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•盐湖区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　 　． 10．（2023秋•陇西县期末）一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是 　 　． 11．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为　 　． 12．（2023秋•江州区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣1|+（b﹣6）2＝0，c为整数，则c＝　 　． 13．（2024春•蒸湘区校级期末）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 14．（2024春•西安期末）如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　 　． 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•金安区校级期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a． （1）求a的取值范围； （2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 16．（2024春•兴隆台区校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边长，且b，c满足（b﹣5）2+＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 17．（2024春•船营区校级期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 18．（2023秋•邵阳期末）已知a，b，c满足|a﹣2|+（c）2＝0． （1）求a，b，c的值； （2）以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 19．（2024春•榆树市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11． （1）求AB、AC的长； （2）求BC边的取值范围． 11.1与三角形有关的线段-数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•衡南县校级开学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，6 B．6，9，17 C．5，12，18 D．2，2，4 【解答】解：A、3+4＝7＞6，能组成三角形； B、9+6＜17，不能组成三角形； C、5+12＜18，不能够组成三角形； D、2+2＝4，不能组成三角形． 故选：A． 2．（2024•船山区校级开学）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形周长可能是（　　） A．13cm B．14cm C．15cm D．20cm 【解答】解：由三角形三条边的关系可得7﹣3＜第三边长＜7+3， 即4＜第三边长＜10， ∵3+7＝10， ∴14＜周长＜20， 只有C符合， 故选：C． 3．（2024•新华区一模）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（　　） A．5m B．15m C．20m D．30m 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12， 即4＜AB＜28， 30m不可能． 故选：D． 4．（2023秋•五华区期末）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 5．（2023秋•景县期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和2，5，6和3，5，6； 只有2，5，6和3，5，6能组成三角形． 故选：B． 6．（2024春•揭阳月考）如图所示的图形中具有稳定性的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②③ 【解答】解：图①是两个三角形构成的图形，它具有稳定性，此项正确，符合题意； 图②是由一个三角形和一个矩形构成的图形，它不具有稳定性，此项错误，不符合题意； 图③是由三个三角形构成的图形，它具有稳定性，此项正确，符合题意； 图④是由二个四边形构成的图形，它不具有稳定性，此项错误，不符合题意． 综上所述，具有稳定的性的图形是①③． 故选：B． 7．（2024•双城区校级开学）若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是（　　） A．AB＝BC B．BD＝DC C．AD平分BC D．BC＝2DC 【解答】解：A．AD是△ABC的中线不能得出AB＝BC，故本选项错误，符合题意； ∵AD是△ABC的中线，则有BD＝DC，AD平分BC，BC＝2DC，故B、C、D正确，不符合题意． 故选：A． 8．（2024•沅江市校级开学）将周长是12cm的三角形三条边展开，展开图正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由2+4＝6，不符合题意； B、由3+3＝6，不符合题意； C、由3+2＜7，不符合题意； D、由5+2＞5，符合题意， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•盐湖区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　三角形具有稳定性　． 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 10．（2023秋•陇西县期末）一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是 　2＜a＜12　． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为5、7， ∴第三边a的取值范围是则2＜a＜12． 故答案为：2＜a＜12． 11．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为　9　． 【解答】解：设第三边长x． 根据三角形的三边关系，得7＜x＜11． ∴三角形的周长l的取值范围是：18＜l＜22． 又∵三角形的周长为偶数，因而满足条件的数有20． ∴第三边长为20﹣2﹣9＝9． 故答案为9． 12．（2023秋•江州区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣1|+（b﹣6）2＝0，c为整数，则c＝　6　． 【解答】解：∵|a﹣1|+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣6＝0， 解得：a＝1，b＝6， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴5＜c＜7， ∵c为整数， ∴c＝6， 故答案为：6． 13．（2024春•蒸湘区校级期末）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　 cm． 【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 14．（2024春•西安期末）如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　112.5°　． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝BD，DE是△ABD的中线， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴∠BED＝90°， ∵BF是△BDE的角平分线， ∴∠EBF＝∠EBD＝22.5°， ∴∠BFD＝∠BED+∠EBF＝90°+22.5°＝112.5°， 故答案为：112.5°． 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•金安区校级期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a． （1）求a的取值范围； （2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 【解答】解：（1）∵三角形的第三边大于两边之差小于两边之和， ∴三角形的两边长分别是5、7， 则第三边长a的取值范围是2＜a＜12； （2）∵a为整数， ∴当a＝11时，组成的三角形的周长最大， 最大值是5+7+11＝23． 16．（2024春•兴隆台区校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边长，且b，c满足（b﹣5）2+＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 【解答】解：∵（b﹣5）2+＝0， ∴， 解得， ∵a为方程|a﹣3|＝2的解， ∴a＝5或1， 当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7， 不能组成三角形，故a＝1不合题意； ∴a＝5， ∴△ABC的周长＝5+5+7＝17． 17．（2024春•船营区校级期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3 ∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12或15． 18．（2023秋•邵阳期末）已知a，b，c满足|a﹣2|+（c）2＝0． （1）求a，b，c的值； （2）以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵a，b，c满足|a﹣2|+（c）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0， 解得：a＝2，b＝5，c＝3； （2）∵a＝2，b＝5，c＝3， ∴a+c＝2+3＞5， ∴以a、b、c为边能构成三角形， 周长为2+5+3＝5+5． 19．（2024春•榆树市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11． （1）求AB、AC的长； （2）求BC边的取值范围． 【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1， 即AB﹣AC＝1①， 又AB+AC＝11②， ①+②得．2AB＝12， 解得AB＝6， ②﹣①得，2AC＝10， 解得AC＝5， ∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5； （2）∵AB＝6，AC＝5， ∴1＜BC＜11． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$