3.3.2抛物线的几何性质(第3课时 抛物线的焦点弦的应用)学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质(第3课时 焦点弦的应用) 【研讨·拓展】 抛物线的焦点弦性质 抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2； (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)＋＝为定值． 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷． 一、x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 【例1】已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 【变式1-1】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是(　　) A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点A，B位置有关 二、|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 【例2】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 【变式2-1】经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________． 三、 ＋＝的应用 【例3】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 【变式3-1】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C． D． 四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 【例4】求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 【变式4-1】过抛物线y2＝2px的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为(　　) A．15° B．30° C．45° D．不确定 【总结提炼】 1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错． 【拓展强化】 1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A． B．p C．2p D．无法确定 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 3．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是(　　) A．y轴 B．x＝－1 C．x＝－2 D．不存在 4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是(　　) A．1 B．2 C． D． 5．过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于(　　) A．9或6 B．6或3 C．9 D．3 6．已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－2 7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋的值为(　　) A． B． C．1 D．2 8．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于(　　) A． B．2 C． D．1 9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧．若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 10．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A． B． C． D． 11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是(　　) A．x1x2＝ B．·＝－p2 C．∠AMB＝90° D．＋＝ 12．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是(　　) A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥ D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 13．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　) A．抛物线的准线方程为x＝－1 B．若＋＋＝0，则2||＝||＋|| C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 14．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A．·＝－p2 B．四边形ACBD面积的最小值为16p2 C．＋＝ D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－ 15．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______． 16．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为________． 17．过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________． 18．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 19．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B． (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求直线l的斜率． 20．已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合． (1)求抛物线C的标准方程； (2)设定点A(3,2)，当P点在C上何处时，|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标； (3)若弦MN过焦点F，求证：＋为定值． ·2· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$