3.3.2 抛物线的几何性质(第2课时 几何性质应用)讲义-2024-2025学年高二上学期苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质(第2课时 几何性质应用) 【学习目标】 1．了解抛物线的简单应用； 2．能运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题． 【温顾·习新】 一、直线与抛物线的位置关系 思考　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 填空　直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． (1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，此时直线与抛物线 ；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线 ；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点，此时直线与抛物线 ． (2)当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有1个公共点，直线与抛物线 ． 做一做　已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 【研讨·拓展】 【例1】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 【变式1-1】已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－1，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 二、弦长问题 思考　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图．如何求弦AB的长度？ 填空　(1)一般弦长：设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则AB＝|x1－x2|＝ 或AB＝|y1－y2|＝ (k≠0)． (2)焦点弦长：已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：AF＝x1＋，AB＝ ． 做一做　过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 【例2】过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度． 【变式2-1】已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　) A． B． C． D．25 【变式2-2】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为_______，直线l的方程为_______． 【变式2-3】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在直线的方程． 【变式2-4】设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝，则p等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．12 【例3】已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________． 【变式3-1】(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　) A．抛物线的准线方程为x＝－1 B．若＋＋＝0，则2||＝||＋|| C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若AC＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 【变式3-2】已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为______，此时点P的坐标为_______． 【例4】如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积． 【变式4-1】已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________． 【变式4-2】求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． 【变式4-3】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若AO＝AF＝． (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值． 【变式4-4】如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F． (1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 【例5】过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　) A． B．2 C．2 D．3 【例6】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A(2,4)，过点F的动直线l与抛物线分别交x轴上方与x轴下方于M，N两点，点M在y轴上的射影为点B，则|MA|＋|MB|的最小值为________，设直线KM，KN的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________． 【例7】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．现有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________． 【总结提炼】 1．牢记1个知识点：直线与抛物线的相交弦问题． 2．掌握3种方法：(1)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦长的求法：AB＝x1＋x2＋p＝(AB为焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角)． (2)一般弦长的求法：AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|(AB为弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线AB的斜率，k≠0)． (3)求定值问题常见的方法． 3．注意2个易错点 (1)涉及弦长时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错． (2)忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·6· ·5· 学科网（北京）股份有限公司 $$