3.3.2 抛物线的几何性质(第1课时 几何性质)讲义-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第3章——圆锥曲线与方程 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质(第1课时 几何性质) 【学习目标】 1．了解抛物线的简单几何性质； 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 【温顾·习新】 一、抛物线的几何性质 思考　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些物质？ 填空　 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 对称轴 顶点 离心率 开口方向 做一做　思考辨析，判断正误 (1)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( ) (2)抛物线没有渐近线．( ) (3)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形．( ) 【研讨·拓展】 二、抛物线的焦点弦、通径 填空　抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 弦长公式为AB＝ ，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p称为抛物线的通径长． 【例1】抛物线y＝x2的通径长为________． 【变式1-1】(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝4y 【例2】已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 【变式2-1】已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 【例3】(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________． (2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程． 【变式3-1】抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________． 【变式3-2】抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________． 【例4】已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长为________． 【变式4-1】抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________． 【变式4-2】(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-3】已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为___________． 【变式4-4】在内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 【例5】已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________． 【变式5-1】已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 【例6】已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程． 【例7】已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB． (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB过定点． 【总结提炼】 1．牢记抛物线的7个性质． 2．掌握2种方法：(1)利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质． (2)利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程． 3．注意1个易错点：若P(x，y)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，应注意x≥0，容易因忽略x≥0而导致错误． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 $$