精品解析：江西省三新协作体2024届高三下学期5月联考数学模拟考试试题

江西省2024年5月三新协作体联考模拟考试数学试卷 出题人：钟大泽 审题人：黄新荣 考试范围：概率统计 解析几何 数列 导数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程，可求得p，进而求得焦点坐标． 【详解】将抛物线方程化为标准方程为 ，可知 所以焦点坐标为 所以选D 【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题． 2. “生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀.”某学校开展书香校园活动，甲、乙两学生统计某一周内的读书时长数据.若学生甲一周内每天的读书时长（单位：小时）分别为，，…，，其均值和方差分别为和，学生乙该周内每天的读书时长均比学生甲多半个小时，则学生乙该周内每天读书时长的均值和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值、方差的性质求新数据集的均值和方差. 【详解】由题意，若学生甲每天的读书时长，则学生乙该周内每天的读书时长， 所以，. 故选：D 3. 设随机变量若则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 根据正态分布的对称性可知： . 故选：C 4. 设，，，则数列，，（ ） A. 是等差数列，但不是等比数列 B. 是等比数列，但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既非等差数列又非等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，再根据对数的运算得到，即可判断、、是等差数列，而，所以、、不是等比数列． 【详解】解：因为，，，所以，，， 而，， 所以，数列、、为等差数列； 而，所以数列、、不为等比数列． 故选：A 5. 已知函数，是的导函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对给定函数求导 ，赋值求出的值，再求出函数值即可. 【详解】函数，求导得， 取，得，， 所以. 故选：A 6. 已知实数x，y满足：，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】令，问题化为与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，联立方程求相切情况下m值，即可得最大值. 【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大， 假设直线与椭圆相切，则，即， 所以，可得，即， 要使在x轴上截距最大，即. 故选：B. 7. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中；结合题中函数图像，判定函数的单调性，进而可得极值点. 【详解】由题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中， 由图像可得，当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 所以有两个极大值点和；有一个极小值点. 故选：D. 【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型. 8. 已知函数（，）在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出，由的取值范围求出的范围，再根据在上只有一个零点得到，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】由题意得，，则，即， 又，解得，∴， 由得，∵，，∴，又， ∵在上只有一个零点，∴，解得， ∴的最大值为. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，，再逐项分析判断作答. 【详解】由，得， 又，得，， 所以，，数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数， 等差数列，公差，A选项正确；，B选项错误；前6项和最大，C选项错误； 由，，有，则，D选项正确. 故选：AD. 10. 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 恰有2个零点 C. 既有最大值，又有最小值 D. 若且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，利用导数求在处的切线斜率，进而得切线方程，A错误；C选项，由的导数推导函数的单调性，利用函数的单调性来判定既无最小值也无既最大值；B选项，由函数的单调性及，可得恰有2个零点；D选项，根据分类讨论，利用得，再根据函数的单调性可得，D正确. 【详解】对于A，当时，由于函数， 所以， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即，故A错误； 对于B、C，因为时，， 所以在区间上单调递减． 时，， 同理可知在区间上单调递减，所以C错误； 又，， 所以恰有2个零点，所以B正确； 对于D，若，，由， 得， 即． 因为在上单调递减，所以，即． 同理可证当，时，命题也成立．故D正确． 故选BD． 11. 设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最大值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】圆心到直线的距离， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得， 当时取得等号， 所以的取值范围为，A正确； 因为， 所以四边形的面积等于， 四边形面积的最小值为，故B错误； 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 设，因为， 整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，C正确； 因为 所以当，即，面积有最大值为， 此时四边形为正方形，则，满足要求， 故D错误， 故选:AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相关系数的定义求解作答. 【详解】因为所有样本点都在直线上，显然直线的斜率， 所以样本数据成负相关，相关系数为. 故答案为： 13. 已知函数，则的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】令，然后求导，找到最大值，当恒成立时，最大值小于等于零，解出. 【详解】令， 有， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最大值，为， 若恒成立，则，即. 故答案为：. 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．随机变量表示在3次活动中甲获胜的次数，则__；__． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，进而可计算在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解．根据二项分布的方差公式求． 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为， 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为； 根据题意可知，， 所以， 故答案为：；． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； 【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况； （2）由题意得在区间上，参变分离，构造函数，求出最小值，得到答案. 【小问1详解】 时，，定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故在处取得极小值，， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 在区间上为减函数， ∴在区间上， ， 令，只需， 显然在区间上为减函数， ， 16. 已知正项数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用可得数列是等差数列，即可求出通项公式； （2）由裂项相消法可求出. 【详解】解：(1)由， 又有，，两式相减得， 因为，所以， 又，，解得，满足， 因此数列是等差数列，首项为，公差为， 所以， (2) 所以. 17. 为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱． （1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率； （2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可； （2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可. 【小问1详解】 设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”， 则，， 所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 【小问2详解】 设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题， ，， ，， 18. 某公园有一个矩形地块（如图所示），边长千米，长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线是以为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点（异于，两点）铺设一条直线隔离带，点分别在边，上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点到边的距离为（单位：千米），的面积为（单位：平方千米）． （1）请以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式； （2）是否存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米？并说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由： 因为， 所以， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值， 所以不存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米. 【解析】 【分析】（1）由题意设抛物线方程为，然后将点的坐标代入可求出，则可求得抛物线的方程，再利用导数的几何意义求出切线的方程，从而可求出两点坐标，进而可表示出的面积； （2）利用导数求出的最大值与2比较即可. 【小问1详解】 如图建立平面直角坐标系，则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线为抛物线的切线， 因为点到边的距离为，所以切点的坐标为， 由，得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 即 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，然后表示出的面积，再利用导数求其最大值，考查数学计算能力和分析问题的能力，属于较难题. 19. 公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） （1）求的通项公式; （2）求证:对于任意正整数依次成等差数列; （3）试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由. 【答案】（1）； （2） 显然，， 由已知及（1）得，，，，， 并且，因此， 所以对于任意正整数依次成等差数列. （3）能；理由： 因为，， 则，，并且， 因此， ， 所以，对任意正整能构成等比数列. 【解析】 【分析】（1）利用圆内接正多边形的意义，结合直角三角函数求解作答. （2）（3）利用（1）的结论及已知，借助三角恒等变换、等差数列、等比数列定义推理作答. 【小问1详解】 如图，等腰中，，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2024年5月三新协作体联考模拟考试数学试卷 出题人：钟大泽 审题人：黄新荣 考试范围：概率统计 解析几何 数列 导数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. 2. “生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀.”某学校开展书香校园活动，甲、乙两学生统计某一周内的读书时长数据.若学生甲一周内每天的读书时长（单位：小时）分别为，，…，，其均值和方差分别为和，学生乙该周内每天的读书时长均比学生甲多半个小时，则学生乙该周内每天读书时长的均值和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设随机变量若则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则数列，，（ ） A. 是等差数列，但不是等比数列 B. 是等比数列，但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既非等差数列又非等比数列 5. 已知函数，是的导函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知实数x，y满足：，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 7. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 8. 已知函数（，）在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中最大 D. 10. 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 恰有2个零点 C. 既有最大值，又有最小值 D. 若且，则 11. 设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最大值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数_________． 13. 已知函数，则的取值范围为_______ 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．随机变量表示在3次活动中甲获胜的次数，则__；__． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； 16. 已知正项数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱． （1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率； （2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率． 18. 某公园有一个矩形地块（如图所示），边长千米，长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线是以为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点（异于，两点）铺设一条直线隔离带，点分别在边，上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点到边的距离为（单位：千米），的面积为（单位：平方千米）． （1）请以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式； （2）是否存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米？并说明理由． 19. 公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） （1）求的通项公式; （2）求证:对于任意正整数依次成等差数列; （3）试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $