湖南省长沙市长雅中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试卷

1 长沙市 2024 年长雅中学九年级入学检测数学试卷 出题人：刘倚伶 王保力 审题人：九年级数学组 时量：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本 大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各曲线中哪个不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． 10 B． 8 C． 6 D． 2 3．对于二次函数 ( ) 2 1 2y x= − + 的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是 1x = − C．顶点坐标是 ( )1,2 D．最大值是 2 4．下列说法不正确的是（ ） A．点 ( )1,2A − 在第二象限 B．点 ( )2, 3P − − 到 y 轴距离为 2 C．若点 ( )1, 2A a a− − 在 x 轴上，则 1a = D．点 ( )3,2A − 关于 x 轴的对称点 A′的坐标是 ( )3, 2− − 5．某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是 x，经过两次降价后售价由 298 元降到了 268 元，根据题意可列方程为（ ） A． ( )2298 1 268x− = B． ( )2298 1 268x+ = C． ( )298 1 2 268x− = D． ( )2298 1 268x− = 6．将二次函数 ( ) 2 1 2y x= + − 的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的二次函数解析 式是（ ） A． ( ) 2 1 5y x= − − B． ( ) 2 1 1y x= − + C． ( ) 2 3 1y x= + + D． ( ) 2 3 5y x= + − 7．如果二次函数 2y ax c= + 的图象如下左图所示，那么一次函数 y ax c= + 的图象大致是（ ） A． B． C． D． x y O O y x O y x x y O O y x O y x x y O O y x x y O 2 8．如右图，直线 y kx b= + 和直线 y mx n= + 相交于点 ( )3, 2− ，则方程组 y kx b y mx n = +  = + 的解是（ ） A． 3 2 x y = −  = B． 2 3 x y = −  = C． 3 2 x y = −  = − D． 3 2 x y =  = − （第 8 题图） （第 10 题图） （第 14 题图） 9．关于 x 的一元二次方程 2 4 4 0kx x− + = 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A． 1k  且 0k  B． 1k  C． 1k  且 0k  D． 1k  10．如图抛物线 2y ax bx c= + + 交 x 轴于 ( )1,0A − ， ( )3,0B ，交 y 轴的负半轴于 C，顶点为 D．下列结论： ① 2 0a b+ = ；② 2 3c b ；③当 1m  时， 2a b am bm+  + ；④当 ABD 是等腰直角三角形时，则 1 2 a = ；⑤ 当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个．其中正确的有（ ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分） 11．函数 1 x y x = − 的自变量 x 的取值范围是_________． 12．某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为 70 分，综合知识为 80 分，语 言表达为 90 分，如果将这三项成绩按 4：3：3 计入总成绩，则他的总成绩为_________分． 13．若菱形的周长为 24cm，一个内角为 60°，则菱形的面积为_________cm2． 14．如图，抛物线 2y ax bx= + 与直线 y mx n= + 相交于点 ( )3, 6A − − ，点 ( )1, 2B − ，则关于 x 的不等式 2ax bx mx n+  + 的解集为_________． 15．如图，平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 1 2 AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，连接 CE，若 6AD = ，△BCE 的周 长为 14，则 CD 的长为_________． 16．已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 2 3 0x x m+ + = 的两个实数根，且满足 2 2 21 2 6x x m+ = − ，则 m 的值 O y x -2 3 y=mx+ny=kx+b 3-1 D C BA O y x B A O y x O M N E D C BA 3 为_________． 三、解答题（共 9 个小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）计算： ( ) 1 2 014 2 2024 3 −   − + − +    18．（6 分）解一元二次方程： （1） 22 4 1 0x x− − = ； （2） ( ) ( )1 3 1 0x x x− + − = ． 19．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 ( )2 2 2 1 0x m x m− + + − = ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一根为 1，求 m 的值和该方程的另一个根． 4 20．（8 分）为调查了解学校选报引体向上的初三男生的成绩情况，工作人员随机抽测了两个分校区部分选 报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了两幅不完整的统计图．你根据图中的信息， 解答下列问题： （1）计算扇形图中 a 的值，并补全条 形图； （2）分别写出在这次抽测中，测试成 绩的众数为_____个，中位数为_____ 个； （3）若在体育中考在学校选报引体向 上的男生共有 800 人，按照长沙市体 育中考标准，引体向上完成 6 个，该 项即可得到 14 分，请你估计在学校选报引体向上的男生能获得 14 分及以上的有多少人？ 21．（8 分）如图，直线经 y k b= + 过点 ( )4,0A − ， ( )2,6B ． （1）求直线 AB 的解析式； （2）已知直线 : 3 6CE y x= − − ，求直线 CE 与直线 AB 及 y 轴围成的△CDE 的面积． 22．（9 分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元．市场调查发现，这种双肩包每 天的销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）有如下关系： 60y x= − + ( )30 60x  ．设这种双肩 包每天的销售利润为 w 元． （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的 销售利润，销售单价应定为多少元？ -4 2 6 E D C B A O y x 20% 10% 15% a 30% 3个 4个 5个 6个 7个及 以上 人数 60 50 40 30 20 10 0 测试成绩7个及 以上 6个5个4个3个 5 23．（9 分）如图，O 为矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，EF⊥AC 于点 O，交 AD，BC 于点 E，F，连接 AF， CE． （1）求证：四边形 AECF 为菱形； （2）若 2AB = ， 4BC = ，求 AE 的长． 24．如图 1，抛物线 2 4y ax bx= + − 交 x 轴于点 ( )2,0A − 和点 ( )4,0B ，交 y 转于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点 P 是直线 BC 下方抛物线上动点，连接 PC，PB 当△APC 的面积最大时，求点 P 的坐标及面积的 最大值； （3）在（2）的条件下，若点 N 是直线 BC 上的动点，在平面内，是否存在点 Q，使得以 P、B、N、Q 分 别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由． O F E D CB A C BA O y x C BA O y x 6 25．（10 分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函 数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于 x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打 “×”。 ① 2y x= （______）；③ 3 1y x= − （______）． （2）若点 ( )1,A m 与点 ( ), 4B n − 是关于 x 的“H 函数” ( )2 0y ax bx c a= + +  的一对“H 点”，且该函数的对 称轴始终位于直线 2x = 的右侧，求 a，b，c 的值或取值范围． （3）若关于 x 的“H 函数” 2 2 3y ax bx c= + + （a，b，c 是常数）同时满足下列两个条件：① 0a b c+ + = ， ② ( )( )2 2 3 0c b a c b a+ − + +  ，求该“H 函数”截 x 轴得到的线段长度的取值范围．