1.2.12 数轴 动点问题专项训练 2024--2025学年人教版七年级数学上册

七上重难点专题（三）数轴动点问题拔高专项训练 2024-2025学年人教版七上 1．（2022秋•越秀区校级期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为－1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． （1）若点P为AB的中点，则x的值为 　　； （2）若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 　 ； （3）某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数． 2．（2023秋•工业园区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数－1的点重合，则此时表示数4的点与表示数　 　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　 　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA＋PB＝12时，直接写出x的值． 3．（2023秋•西华县校级月考）如图，数轴上有三点A，B，C．请回答： （1）将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中哪个点表示的数最小？最小是多少？ （2）若以B点为原点，则点A，B，C所表示的数各是多少？ （3）若要使点A，C都移动到B点，则点A，C应怎样运动？ （4）怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点所表示的数相同，有几种移动方法？ 4．（2023秋•桐柏县校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与－1表示的点重合，则－2表示的点与数 　　表示的点重合； （2）若－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 　 　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为12（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 5．（2022秋•澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为－10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）点A到点C的距离为 　 　； （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； （3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值． 6．（2022秋•望花区期末）如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为－10，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍． （1）数轴上点B对应的数是 　　； （2）若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为 　　；点C表示的数与点A表示的数之间的关系是 　 　； （3）若点A与点D之间的距离表示为AD，点B与点D之间的距离表示为BD，请在数轴上找一点D，使AD＝3BD，请求出BD的长． 7．（2022秋•鄄城县期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　　，点P表示的数是 　 　（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 8．（2023秋•榆树市校级期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是－3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 9．（2023秋•思明区校级月考）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的k倍，且k为正整数，（即PM＝kPN），则称点P是“[M，N]整k关联点”．如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为－2，4． （1）原点O　 　（填“是”或“不是”）“[A，B]整k关联点”； （2）若点C是“[A，B]整2关联点”，则点C所表示的数xC＝　 ； （3）点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“[A，Q]整2关联点”，记为A′，作“[Q，B]整3关联点”，记为B'；，且满足A'，B'分别在线段AQ和BQ上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子mQA'＋nQB'为定值，直接写出m，n满足的数量关系 　　． 10．（2022秋•广州期末）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为－1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若AP＝BP，则x＝　 　； （2）若AP＋BP＝8，求x的值； （3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP－AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 11．（2023秋•河西区期中）（Ⅰ）在数轴上，如果点A表示数－3，将A点向右移动2个单位长度到达点B，那么点B表示的数是 　 ，且A，B两点间的距离为 　 　； （Ⅱ）如果点C表示数3，将C点向左移动7个单位长度到达点D，再将点D向右移动5个单位长度到达点E，那么点E表示的数是 　　，且C，E两点间的距离为 　 　； （Ⅲ）一般地，如果F点表示数为m，将F点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度到达点M．那么如何用m，n，p表示点M表示的数？点F，M之间的距离为多少？在数轴上，到点F和点M的距离相等的点如何用m，n，p表示？ 12．（2022秋•正定县期末）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m． （1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是 　　；若以B为原点，则m＝　　； （2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，求m的值． 13．（2022秋•衡东县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并写出A、B、C三点分别表示的数； （2）把点A到点C的距离记为AC，则AB＝　　cm，AC＝　　cm； （3）若点A沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC＝3cm？ 14．（2022秋•江夏区期末）在数轴上有A、B两点，它们对应的数分别是－4和12，线段CE在数轴上运动（点C在点E的左边），且CE＝8，点M为AE的中点． （1）如图1，当线段CE运动到线段AB之间（点C、点E两点均在A、B两点之间）时，CM＝1． ①直接写出AB＝　 ； ②求点C对应的数及线段BE的长； （2）如图2，当线段CE运动到点A在点C、点E两点之间时，画出草图，并求出BE与CM的数量关系． 15．（2022秋•海门市期末）对于数轴上的线段AB与不在线段AB上的点P，给出如下定义：若点P与线段AB上的一点的距离等于a（a＞0），则称点P为线段AB的“a距点”． 已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是m，m＋1． （1）当m＝1时，在－2，－1，2.5三个数中，　　是线段AB的“2距点”所表示的数； （2）若数轴上的点P为线段AB的“a距点”，则a的最大值与最小值的差为 　 　； （3）若数轴上－2所对应的点是线段AB的“a距点”，且a的最大值与最小值的比为2：1，求m的值． 16．（2023秋•巴中期末）如图，在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是6，点B在原点的左侧，且AB＝5AO（点A与点B之间的距离记作AB）． （1）点B表示的数为 　 　； （2）若点P在原点的左侧，且点P到点A、点B的距离满足PA＝2PB，求点P在数轴上表示的数； （3）若动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，以3个单位长度/秒的速度向A点运动；当点M到达B点后，立即以原速返回，到达A点停止运动，当点N到达A点后立即以原速返回，到达B点停止运动，设M点的运动时间为t秒，求t为多少时，点M和点N之间的距离是16个长度单位． 17．（2023秋•大东区期末）问题情景：“综合与实践”课上，老师提出如下问题，如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）发现问题：直接写出数轴上点B表示数是 　 ，点P表示的数是 　 （用含t的式子表示）； （2）拓展延伸：动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度？ 18．（2023秋•宁乡市期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为－2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为xp． （1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数xP＝　 　； （2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数xP的值； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值． 19．（2023秋•苏州期末）【发现猜想】 （1）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝4，AC＝16，则AD的长度为 　 　； 【探索归纳】 （2）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝m，AC＝n，猜想AD的长度（用含m、n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为－4，点A的右侧有三点B、C、D，AB＝9，AC＝25，AD＝21．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 20．（2021秋•嵩县期末）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　　； B：　　； C：　 　． （2）A、B两点间的距离是 　　，A、C两点间的距离是 　 　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 七上重难点专题（三）数轴动点拔高专项训练（含答案） 2024-2025学年人教版七上 1．（2022秋•越秀区校级期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为－1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． （1）若点P为AB的中点，则x的值为 　1　； （2）若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 　5　； （3）某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数． 【解析】（1）∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1，3，点P为AB的中点，其表示的数为x， ∴x1； 故答案为：1； （2）∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1，3， ∴AB＝3－（－1）＝4， ∵点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8， ∴x－3＋x＋1＝8， ∴x＝5， 故答案为：5； （3）设运动时间为t秒，则运动后点A表示：－1＋2t，点B表示3＋0.5t，点P表示：x＝1－6t， ∵点A，B之间的距离为3个单位长度， ∴（3＋0.5t）－（－1＋2t）＝±3， 解得：t或， ∴x＝1－63或x＝1－627； 答：点P表示的数是－3或－27． 2．（2023秋•工业园区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数－1的点重合，则此时表示数4的点与表示数　－4　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　－5　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA＋PB＝12时，直接写出x的值． 【解析】（1）折叠纸面，使表示的点1与－1重合，折叠点对应的数为0， 则表示4的点与表示－4的点重合； 故答案为：－4； （2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合，折叠点对应的数为2， ①设表示9的点与表示y的点重合，于是有2，解得y＝－5， 即表示9的点与表示－5的点重合； 故答案为：－5； ②点A表示的数为23， 点B表示的数为27， 答：A点表示的数是－3，B点表示的数是7； ③∵PA＋PB＝12， ∴|x＋3|＋|x－7|＝12， 当－3≤x≤7时，x＋3－x＋7＝10≠12，不符合题意； 当x＜－3时，－x－3－x＋7＝12， 解得x＝－4； 当x＞4时，x＋3＋x－7＝12， 解得x＝8， 综上所述，x的值为－4或8． 3．（2023秋•西华县校级月考）如图，数轴上有三点A，B，C．请回答： （1）将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中哪个点表示的数最小？最小是多少？ （2）若以B点为原点，则点A，B，C所表示的数各是多少？ （3）若要使点A，C都移动到B点，则点A，C应怎样运动？ （4）怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点所表示的数相同，有几种移动方法？ 【解析】（1）将B点向左移动3个单位长度后，对应的数为－1－3＝－4， ∵－4＜－3＜2， ∴三个点所表示的数中B点表示的数最小，最小是－4； （2）若以B点为原点，则点A所表示的数是－2，点B所表示的数是0，点C所表示的数是3； （3）若要使点A，点C都移动到B点，则点A向右移动2个单位长度，点C应向左移动3个单位长度； （4）共三种移动方法：①移动点B，点C，点B向左移动2个单位长度，点C向左移动5个单位长度； ②移动点A，点C，点A向右移动2个单位长度，点C应向左移动3个单位长度； ③移动点A，点C，点A向右移动5个单位长度，点B向右移动3个单位长度． 4．（2023秋•桐柏县校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与－1表示的点重合，则－2表示的点与数 　2　表示的点重合； （2）若－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 　3　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为12（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【解析】（1）若1表示的点与－1表示的点重合，则折痕为原点， ∴－2表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）若－1表示的点与3表示的点重合，则折痕为1， ①5表示的点与数－3表示的点重合； 故答案为：－3； ②设折痕为点C，则AC＝BC＝6， ∴点A表示的数为1－6＝－5， 点B表示的数为1＋6＝7． 5．（2022秋•澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为－10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）点A到点C的距离为 　25　； （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； （3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值． 【解析】（1）AC＝15－（－10）＝25， ∴点A到点C的距离为25， 故答案为：25； （2）存在，设点P表示的数为x， 当P点在A点的左侧（含A点）时：－10－x＋5－x＝25， 解得：x＝－15， 当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x－（－10）＋5－x＝25， 解得：无解； 当P点在B点的右侧时：x－（－10）＋x－5＝25， 解得：x＝10， ∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x＝－15或10，使得点P到点A、点B的距离之和为25单位长度； （3）由题意得点P到A、B、C的距离和等于PA＋PB＋PC， ∵点P在点A、C之间， ∴PA＋PB＋PC＝AC＋PB＝25＋PB， 当点P与点A重合时，PB最大，此时PB＝5－（－10）＝15， ∴PA＋PB＋PC的最大值为25＋15＝40， 当点P与点B重合时，PB最小，此时PB＝0， ∴PA＋PB＋PC的最小值为25， ∴S的最大值为40，最小值为25 6．（2022秋•望花区期末）如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为－10，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍． （1）数轴上点B对应的数是 　30　； （2）若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为 　10　；点C表示的数与点A表示的数之间的关系是 　互为相反数（或绝对值相等）　； （3）若点A与点D之间的距离表示为AD，点B与点D之间的距离表示为BD，请在数轴上找一点D，使AD＝3BD，请求出BD的长． 【解析】（1）∵点A表示的数为－10， ∴点A到原点O的距离为10， ∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍， ∴点B到原点O的距离为10×3＝30， ∵点A在点B的左侧， ∴数轴上点B对应的数是30， 故答案为：30． （2）∵点C到点A、点B的距离相等，点A表示的数为－10，点B表示的数是30， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数与点A表示的数之间的关系是互为相反数（或绝对值相等）， 故答案为：10；互为相反数（或绝对值相等）． （3）设BD的长为x，则AD＝3x， ①当点D在点A与点B的中间时，AD＋BD＝AB， 则3x＋x＝30－（－10）， 解得x＝10； ②当点D在点B的右侧时，AD－BD＝AB， 则3x－x＝30－（－10）， 解得x＝20， 综上，BD的长为10或20． ． 7．（2022秋•鄄城县期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　－4　，点P表示的数是 　6－6t　（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【解析】（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB－OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为－4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6－6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10＋4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10＋4a－6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10＋4a＋8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 8．（2023秋•榆树市校级期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是－3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 【解析】（1）∵点M表示的数是－3，点N在点M的右侧且MN＝4， ∴点N所表示的数为－3＋4＝1， 答：点N所表示的数为1； （2）因为MN＝5，因此点P不可能在点M、N之间， 当点P在点M的左侧时，设点P所表示的数为x，则PM＝－3－x，PN＝1－x， 由PM＋PN＝5得，－3－x＋1－x＝5， 解得x＝－3.5， 当点P在点N的右侧时，设点P所表示的数为y，则PM＝y＋3，PN＝y－1， 由PM＋PN＝5得，y＋3＋y－1＝5， 解得y＝1.5， 所以当点P到点M，N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是－3.5或1.5； （3）点P从点M向左移动5s后所对应的数为－3－2×5＝－13， 设点Q移动的时间为ts，则点P所对应的数为（－13－2t），点Q所对应的数为（1－3t）， ①当点Q在点P的右侧时，有（1－3t）－（－13－2t）＝2， 解得t＝12， 此时点P所表示的数为－13－2×12＝－37，点Q所表示的数为1－3×12＝－35， ②当点Q在点P的左侧时，有（－13－2t）－（1－3t）＝2， 解得t＝16， 此时点P所表示的数为－13－2×16＝－45，点Q所表示的数为1－3×16＝－47， 答：当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数为－37，－35或－45，－47． 9．（2023秋•思明区校级月考）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的k倍，且k为正整数，（即PM＝kPN），则称点P是“[M，N]整k关联点”．如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为－2，4． （1）原点O　不是　（填“是”或“不是”）“[A，B]整k关联点”； （2）若点C是“[A，B]整2关联点”，则点C所表示的数xC＝　2或10　； （3）点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“[A，Q]整2关联点”，记为A′，作“[Q，B]整3关联点”，记为B'；，且满足A'，B'分别在线段AQ和BQ上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子mQA'＋nQB'为定值，直接写出m，n满足的数量关系 　mn　． 【解析】（1）根据关联点定义应该是OA＝2OB不成立，故不是， 故答案为：不是； （2）∵点C是“[A，B]整2关联点”则CA＝2CB， CB，CA， 则2， ①－2－xC＝8－2xC，解得：xC＝10， ②－2－xC＝－8＋2xC，解得：xC＝2， 综上，xC＝2或10 故答案为：2或10； （3）∵A'足[AQ]整2关联点，AA′＝2A′Q； ∵A′在线段AQ上， A′A＋A′Q＝AQ则3A′Q＝AQAQ， 同理B′Q＝3B′B，B′Q＋B′B＝BQ， 则4B′B＝BQ， ∴B′BBQ， ∴B′QBQ， ∴mQA′＋nQB′mAQnBQ， 设点Q表示的数为xQ，Q在A，B之间运动， 则AQ＝xQ－（2）＝xQ＋2，BQ＝4－xQ， ∴mQA′＋nQB′m（xQ＋2）n（4－xQ）＝（）xQ3n， ∵当Q运动时存在整数m、n，使上式为定值， ∴与xQ取值无天，即不存在含xQ的项，xQ系数为0， ∴0， ∴mn， 故答案为：n． 10．（2022秋•广州期末）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为－1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若AP＝BP，则x＝　1　； （2）若AP＋BP＝8，求x的值； （3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP－AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【解析】（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1； 故答案为：1； （2）∵AP＋BP＝8， ∴若点P在点A左侧，则－1－x＋3－x＝8， ∴x＝－3， 若点P在点A右侧，则x＋1＋x－3＝8， ∴x＝5， ∴x的值为－3或5． （3）BP＝5＋3t－（3＋2t）＝t＋2， AP＝t＋6＋3t＝4t＋6， ∴4BP－AP＝4（t＋2）－（4t＋6）＝2， ∴4BP－AP的值不会随着t的变化而变化． 11．（2023秋•河西区期中）（Ⅰ）在数轴上，如果点A表示数－3，将A点向右移动2个单位长度到达点B，那么点B表示的数是 　－1　，且A，B两点间的距离为 　2　； （Ⅱ）如果点C表示数3，将C点向左移动7个单位长度到达点D，再将点D向右移动5个单位长度到达点E，那么点E表示的数是 　1　，且C，E两点间的距离为 　2　； （Ⅲ）一般地，如果F点表示数为m，将F点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度到达点M．那么如何用m，n，p表示点M表示的数？点F，M之间的距离为多少？在数轴上，到点F和点M的距离相等的点如何用m，n，p表示？ 【解析】（Ⅰ）∵点A表示数－3， ∴将A点向右移动2个单位长度到达点B，点B表示的数是－3＋2＝－1， ∴A，B两点间的距离为|－1－（－3）|＝|－1＋3|＝|2|＝2， 故答案为：－1，2； （Ⅱ）∵点C表示数3， ∴将C点向左移动7个单位长度到达点D，再将点D向右移动5个单位长度到达点E，点E表示的数是3－7＋5＝1， ∴C，E两点间的距离为|1－3|＝|－2|＝2， 故答案为：1，2； （Ⅲ）∵F点表示数为m， ∴将F点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度到达点M，点M表示的数是m＋n－p， ∴点F，M之间的距离为|m＋n－p－m|＝|n－p|，到点F和点M的距离相等的点为． 12．（2022秋•正定县期末）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m． （1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是 　3　；若以B为原点，则m＝　5　； （2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，求m的值． 【解析】（1）∵点A到点B的距离为3，A为原点， ∴数轴上点B所表示的数是3，B为原点， ∴数轴上点B所表示的数是0，点A表示的数是－3，点C表示的数是8， ∴m＝－3＋0＋8＝5， 故答案为：3，5； （2）∵点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，点B到原点O的距离为4， ∴当O在B的左边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为1、4、12， ∴m＝1＋4＋12＝17， 当O在B的右边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为－7、－4、4， ∴m＝－7－4＋4＝－7， 综上所述：m的值为－7或17． 13．（2022秋•衡东县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并写出A、B、C三点分别表示的数； （2）把点A到点C的距离记为AC，则AB＝　5　cm，AC＝　　cm； （3）若点A沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC＝3cm？ 【解析】（1）由题意得：A点对应的数为－4，B点对应的数为1，点C对应的数为， 点A，B，C在数轴上表示如图： （2）∵A点对应的数为－4，B点对应的数为1，，点C对应的数为， ∴，AB＝1－（－4）＝5． 故答案为：5，． （3）①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：． ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：． 综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm． 14．（2022秋•江夏区期末）在数轴上有A、B两点，它们对应的数分别是－4和12，线段CE在数轴上运动（点C在点E的左边），且CE＝8，点M为AE的中点． （1）如图1，当线段CE运动到线段AB之间（点C、点E两点均在A、B两点之间）时，CM＝1． ①直接写出AB＝　16　； ②求点C对应的数及线段BE的长； （2）如图2，当线段CE运动到点A在点C、点E两点之间时，画出草图，并求出BE与CM的数量关系． 【解析】（1）①12－（－4）＝16， 故答案为：16； ②∵CM＝1，CE＝8， ∴ME＝CE－CM＝7， ∵M是AE的中点， ∴AM＝ME＝7， ∵点A所表示的数为－4， ∴点C所表示的数为－4＋7－1＝2， ∴BE＝AB－AE＝16－14＝2， 答：点C所表示的数为2，BE＝2； （2）BE＝2CM，理由如下： 如图，设点C所表示的数为x，则点E所表示的数为x＋8， ∵点M是AE的中点，而点A所表示的数为－4， ∴点M所表示的数为， ∴BE＝12－（x＋8）＝4－x，CM（4－x）， ∴BE＝2CM． 15．（2022秋•海门市期末）对于数轴上的线段AB与不在线段AB上的点P，给出如下定义：若点P与线段AB上的一点的距离等于a（a＞0），则称点P为线段AB的“a距点”． 已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是m，m＋1． （1）当m＝1时，在－2，－1，2.5三个数中，　－1　是线段AB的“2距点”所表示的数； （2）若数轴上的点P为线段AB的“a距点”，则a的最大值与最小值的差为 　1　； （3）若数轴上－2所对应的点是线段AB的“a距点”，且a的最大值与最小值的比为2：1，求m的值． 【解析】（1）当m＝1时，－2到AB的最短距离是3，故不是；2.5到AB的最大距离是1.5，故不是，－1到点A的距离是2，故－1是， 故答案为：－1； （2）当点P在AB的左边时，BP－AP＝AB＝1， 当点P在AB的右边时，AP－BP＝AB＝1， 故答案为：1； （3）当点P在AB的左边时，PB：PA＝2：1， 即（m＋3）：（m＋2）＝2：1， 解得m＝－1； 当点P在AB的右边时， PA：PB＝2：1， （－2－m）：[（－2－（m＋1）]＝2：1， 解得m＝－4， 综上所述m＝－1或m＝－4． 16．（2023秋•巴中期末）如图，在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是6，点B在原点的左侧，且AB＝5AO（点A与点B之间的距离记作AB）． （1）点B表示的数为 　－24　； （2）若点P在原点的左侧，且点P到点A、点B的距离满足PA＝2PB，求点P在数轴上表示的数； （3）若动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，以3个单位长度/秒的速度向A点运动；当点M到达B点后，立即以原速返回，到达A点停止运动，当点N到达A点后立即以原速返回，到达B点停止运动，设M点的运动时间为t秒，求t为多少时，点M和点N之间的距离是16个长度单位． 【解析】（1）∵AO＝6， ∵AB＝5AO＝30， ∴OB＝24， ∴B点表示的数是－24． 故答案为：－24． （2）有两种可能： 点P在B点左边，PA＝PB＋AB， ∵PA＝2PB， ∴PB＝AB＝30， ∴OP＝30＋24＝54 P点在数轴上对应的数－54． 点P在B点右边，PA＋PB＝AB， ∵PA＝2PB， ∴PB＝10． ∴OP＝24－10＝14， P点在数轴上对应的数－14． ∴P点在数轴上对应的数是－54或－14． （3）①第一次相遇前， 2t＋3t＋16＝30． t＝2.8． ②第一次相遇后， 2t＋3t＝30＋16． t＝9.2． ③第二次相遇前，点M还没有到达B，点N返回后，M、N就相距16个单位． 3t－30＋16＝2t t＝14． ④2t＋3t＝90， t＝18， t＝18是第二次相遇， t＝20后，B不动，A动． 2t＝30＋16， t＝23． ∴t为2.8或9.2或14或23秒时，点M和点N之间的距离是16个长度单位． 17．（2023秋•大东区期末）问题情景：“综合与实践”课上，老师提出如下问题，如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）发现问题：直接写出数轴上点B表示数是 　－4　，点P表示的数是 　6－6t　（用含t的式子表示）； （2）拓展延伸：动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度？ 【解析】（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB－OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为－4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6－6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10＋3t， 解得t， 答：当点P运动秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度， 当P不超过Q，则10＋3a－6a＝4，解得a＝2； 当P超过Q，则10＋3a＋4＝6a，解得a； 答：当点P运动2或秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度. 18．（2023秋•宁乡市期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为－2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为xp． （1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数xP＝　1　； （2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数xP的值； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值． 【解析】（1）∵点P为线段AB的中点， ∴AP＝BP， 即xP－（－2）＝4－xP， ∴xP＝1， 故答案为：1； （2）∵AB＝4－（－2）＝6＜10， ∴分两种情况： ①当点P在点A的左侧时， 4－xP＋（－2）－xP＝10， ∴xP＝－4， ②当点P在点A的左侧时， xP－4＋xP－（－2）＝10， ∴xP＝6， ∴点P对应的数xP的值为－4或6； （3）由题意可得：t秒后，点A对应的数为－2＋3t，点B对应的数为4＋t，点P对应的数为5－2t， ∵点P恰好是点A，B的“友好点”， ∴AP＝2PB或BP＝2AP， 即|（5－2t）－（－2＋3t）|＝2|（5－2t）－（4＋t）|或2|（5－2t）－（－2＋3t）|＝|（5－2t）－（4＋t）|， 解得：t＝－5（舍去）或t或t或t， ∴t的值为或或． 19．（2023秋•苏州期末）【发现猜想】 （1）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝4，AC＝16，则AD的长度为 　10　； 【探索归纳】 （2）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝m，AC＝n，猜想AD的长度（用含m、n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为－4，点A的右侧有三点B、C、D，AB＝9，AC＝25，AD＝21．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【解答】（1）解：设AD的长为x， ∵AB＝4，AC＝16， ∴BC＝AC－AB＝12， ∵点D为BC的中点， ∴BC＝2BD＝2（AD－AB）， ∴2（AD－AB）＝AC－AB， ∴2（x－4）＝12， ∴x＝10， 故答案为：10； （2）解：猜想AD， ∵AB＝m，AC＝n， 又∵2（AD－AB）＝AC－AB， ∴2AD＝AB＋AC， ∴AD； （3）解：∵A表示的数是－4，AB＝9，AC＝25，AD＝21， ∴在数轴上B表示的数是5，C表示的数是21，D表示的数是17， ∵由题意可知，B运动t秒以后在数轴上表示的数为：5＋2t，C运动t运动t秒以后在数轴上表示的数为：21－3t，D运动t运动t秒以后在数轴上表示的数为：17－t， 又∵点C运动到A点时，三个点都停止运动， ∴21－3t＝－4， ∴t， ∴t的取值范围为：0≤t， ∴①当点B是线段CD的中点时：2（5＋2t）＝21－3t＋17－t， ∴t， ②当点C是线段BD的中点时：2（21－3t）＝5＋2t＋17－t， ∴t， ③当点D是线段BC的中点时：2（17－t）＝5＋2t＋21－3t， ∴t＝8， 答：当t为：，，8时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点． 20．（2021秋•嵩县期末）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　－6　； B：　1　； C：　4　． （2）A、B两点间的距离是 　7　，A、C两点间的距离是 　10　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【解析】（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是－6、1、4， 故答案为－6、1、4； （2）根据图示知AB＝|－6－1|＝7；AC＝|－6－4|＝10， 故答案为：7；10； （3）∵AC＝10， ∴点B到点A和点C的距离都是5，50．（2023秋•桐柏县校级月考）如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C． （1）写出A，B，C三点表示的数； （2）根据C点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 【解析】根据所给图形可知：（1）A点表示2，B点表示5，C点表示－4，O点表示0； （2）蚂蚁实际上是从原点出发，向原点左侧爬行了4个单位． 学科网（北京）股份有限公司 $$