第二十二章 二次函数 单元测试卷 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数综合测试卷 （测试时间100分钟 总分120分） 一．选择题（共20小题，满分60分，每小题3分） 1．（3分）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x C．y＝（x+2）2﹣x2 D． 2．（3分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+2 3．（3分）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 4．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 5．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 6．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（　　） A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D 8．（3分）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案1或方案2 D．方案3 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有 ①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t（s），正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段AB的长是（　　） A．6 B．8 C． D． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 11．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标为 　 　． 12．（3分）二次函数y＝x2﹣3x+m+2的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 　 　． 13．（3分）如图1是莲花由景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为yx2，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为 　 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣3，则x2的最大值是 　 　． 15．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断： ①二次函数y1有最大值； ②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称； ③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0； ④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1； 其中正确的是　 　． 三．解答题（共16小题，满分150分） 16．（9分）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1． （1）当m为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 17．（9分）已知二次函数yx2﹣3x+4，将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 18．（9分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 19．（9分）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16m，入口最高处OC为12.8米． （1）求抛物线解析式； （2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式； （3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？ 20．（9分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）这个二次函数的解析式是 　 　； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当﹣3＜x≤3时，y的取值范围为 　 　． 21．（9分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售橙子．已知该种类橙子的成本为6元/kg，销售价格不高于16元/kg，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）写出y与x的函数解析式 　 　； （2）当每千克橙子的销售价格定为多少元时，销售这种橙子日获利最大，最大利润为多少元？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE，如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）． 23．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点，顶点为D（1，3），对称轴与x轴交于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接BC，P是抛物线第一象限图象上的动点，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，求5PF+PQ的最大值； （3）已知是对称轴上的一个定点，过点K的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题，满分60分，每小题3分） 1．解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意； B、y＝22﹣2x＝4﹣2x，是一次函数，故B不符合题意； C、y＝（x+2）2﹣x2＝x2+4x+4﹣x2＝4x+4不是二次函数，故C不符合题意； D、y，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：A． 2．解：y＝x2﹣6x+2 ＝x2﹣6x+9﹣9+2 ＝（x﹣3）2﹣7， 故选：B． 3．解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 4．解：抛物线的对称轴为直线x2， ∵a＝﹣3＜0， ∴x＝﹣2时，函数值最大， 又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小， ∴y3＜y1＜y2． 故选：B． 5．解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴对称轴为直线x＝1， ∵a＝1＞0， ∴抛物线的开口向上， ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y＝﹣1， 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2， ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2， 故选：D． 6．解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1， ∴把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：D． 7．解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x位于y轴的右侧，故符合题意， D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 8．解：方案一，设长方形长为x，则宽为（10﹣x），则长方形的面积， 则最大值为25； 方案二，设等腰直角三角形两直角边长为a，则2a2＝100， ∴，则等腰直角三角形的面积为； 方案三，设扇形的半径为r，扇形的弧长为10， ∴，则， ∴扇形的面积为， ∴方案三的面积最大， 故选：D． 9．解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0， ∴a＜0，0，c＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∵函数与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②错误； ∵1， ∴2a＜b，故③错误； 当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0； 当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0； ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；故④正确； ∵x时，y＞0， ∴ab+c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故⑤正确； 故选：C． 10．解： 当S＝6时，DP． ∵∠C＝90°，CD， ∴CP＝2． 即BC＝2． ∴抛物线经过点（2，6）． ∵抛物线的顶点坐标为（4，2）， ∴设抛物线的解析式为S＝a（t﹣4）2+2（a≠0）． ∴6＝4a+2． 解得：a＝1． ∴s＝（t﹣4）2+2． 当s＝18时，18＝（t﹣4）2+2． 解得：t1＝0（不合题意，舍去），t2＝8． ∵点P的运动速度为1个单位， ∴点P的运动路程为8． ∴AB＝8﹣2＝6． 故选：A． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 11．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标为 　（0，﹣9）　． 解：令抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5中x＝0， 即y＝﹣4﹣5＝﹣9， 则抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标是（0，﹣9）， 故答案为（0，﹣9）． 12．（3分）二次函数y＝x2﹣3x+m+2的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 　　． 解：令x2﹣3x+m+2＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4（m+2）＝1﹣4m， 当抛物线与x轴只有1个交点时，1﹣4m＝0， 解得m， 故答案为：． 13．（3分）如图1是莲花由景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为yx2，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为 　24m　． 解：∵AB＝36米， ∴当x＝18时，y182＝﹣9， 当水位上升5米时，y＝﹣4， 把y＝﹣4代入抛物线表达式得：﹣4x2， 解得x＝±12， 此时水面宽CD＝24（m）， 故答案为：24m． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣3，则x2的最大值是 　5　． 解：∵点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上，x1的最小值是﹣3，点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，1）， ∴当顶点在点（1，1）时，x2取得最大值，此时x2＝1+[1﹣（﹣3）]＝5， 故答案为：5． 15．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断： ①二次函数y1有最大值； ②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称； ③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0； ④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1； 其中正确的是　②④　． 解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上， ∴二次函数y1有最小值，故①错误； 观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称，故②正确； 当x＝﹣2时，二次函数y1的值小于0，故③错误； 当x＜﹣3或x＞﹣1时，抛物线在直线的上方， ∴m的取值范围为：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正确． 故答案为：②④． 三．解答题（共16小题，满分150分） 16．（9分）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1． （1）当m为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 解：（1）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是一次函数， ∴m（m+2）＝0且m≠0， 解得：m＝﹣2； 当m＝﹣2时，此函数是一次函数； （2）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是二次函数， ∴m（m+2）≠0， 解得：m≠﹣2且m≠0， 当m≠﹣2且m≠0时，此函数是二次函数． 17．（9分）已知二次函数yx2﹣3x+4，将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 解：原二次函数可化为：y（x﹣3）2；开口方向向上，顶点坐标（3，），对称轴：直线x＝3； 18．（9分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 解：（1）由题意，将A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c得 ∴ ∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣2． （2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0）， 又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴，． ∴． 又CO＝2， ∴n＝2CO＝4． 由m2+m﹣2＝4， ∴m1＝﹣3，m2＝2 （舍去）． ∴点P坐标为 （﹣3，4）． 19．（9分）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16m，入口最高处OC为12.8米． （1）求抛物线解析式； （2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式； （3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？ 解：（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C（0，12.8），A（﹣8，0）， 故设抛物线解析式为 y＝ax2+12.8， 把A点坐标代入解析式得：64a+12.8＝0， 解得a＝﹣0.2， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+12.8； （2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8m， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.2（x+2）2+9.8＝﹣0.2x2﹣0.8x+9； （3）（2）中的建议不符合要求，理由： 令y＝﹣0.2x2﹣0.8x+9中的y＝0， 则﹣0.2x2﹣0.8x+9＝0， 整理得x2+4x﹣45＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣9， ∴|x2﹣x1|＝9+5＝14， ∵14＜15， ∴（2）中的建议不符合要求． 20．（9分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）这个二次函数的解析式是 　y＝x2+2x﹣3　； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当﹣3＜x≤3时，y的取值范围为 　﹣4≤x≤12　． 解：（1）设这个二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c， 把点（﹣3，0），（﹣2，﹣3），（0，﹣3）代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是y＝x2+2x﹣3； （2）如图，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：根据题意得：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴当x＝﹣1时，y取得最小值，最小值为﹣4， 当x＝﹣3时，y＝0，当x＝3时，y＝12， ∴当﹣3＜x≤3时，y的取值范围为﹣4≤x≤12． 故答案为：﹣4≤x≤12． 21．（9分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售橙子．已知该种类橙子的成本为6元/kg，销售价格不高于16元/kg，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）写出y与x的函数解析式 　y＝﹣100x+3000　； （2）当每千克橙子的销售价格定为多少元时，销售这种橙子日获利最大，最大利润为多少元？ 解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵该函数图象经过点（8，2200）和点（14，1600）， ∴， 解得：， ∴y与x的函数解析式为y＝﹣100x+3000； （2）设销售销这种橙子日获利w元， 根据题意，得，w＝（x﹣6）（﹣100x+3000） ＝﹣100x2+3600x﹣18000 ＝﹣100（x﹣18）2+14400， ∵销售价格不高于16元/kg， ∴6＜x≤16， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝18， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝16时，w有最大值为14000元， ∴当销售单价定为16时，销售这种橙子日获利最大，最大利润为14000元． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE，如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）． 解：由题意得，， 解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴点D（﹣1，4）． ∵A（﹣3，0），D（﹣1，4）， ∴设AD的表达式为y＝kx+b， 则， 解得k＝2，b＝6， ∴AD的表达式为y＝2x+6． 设P（x，2x﹣6）， 则S△APE（﹣x）（2x+6）＝﹣x2﹣3x， 答：S与x之间的函数关系式是S＝﹣x2﹣3x． 23．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点，顶点为D（1，3），对称轴与x轴交于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接BC，P是抛物线第一象限图象上的动点，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，求5PF+PQ的最大值； （3）已知是对称轴上的一个定点，过点K的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c顶点为D（1，3）， ∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣1）2+3． 代入点，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）对于，令y＝0，则， 解得x＝﹣1或3． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． ∴OB＝3． ∵， ∴． ∴． 如图，过点P作PL∥y轴，交BC于点L． ∴∠PLF＝∠BCO． ∴sin∠PLF＝sin∠BCO． ∴． ∴． 设， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 将B（3，0），代入解析式得：， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． ∴． ∴． ∴． 由抛物线的对称性可知， ∴PQ＝t﹣（2﹣t）＝2t﹣2． ∴， ∵﹣3＜0， ∴当时，5PF+PQ取得最大值，最大值为． （3）是定值，EM•EN＝9．理由如下： ∵直线GH过点， ∴可设直线GH的函数表达式为． 设，， 联立， 整理，得9x2+（12k﹣18）x﹣12k﹣7＝0． ∴，． ∵直线DG，DH均过点D（1，3）， ∴设直线DG的函数表达式为y＝m（x﹣1）+3，直线DH的函数表达式为y＝n（x﹣1）+3． 又∵点G在直线GH上， ∴点G坐标也可表示为． 将代入y＝m（x﹣1）+3，可解得． 对于y＝m（x﹣1）+3，令y＝0，则， ∴． 同理可得，． ∵E（1，0）， ∴，． ∴． 而， 又∵，， ∴． ∴． ∴EM•EN＝||＝||＝9， ∴EM•EN＝9，为定值． 第8页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$