第五单元：平行四边形和梯形（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

平行四边形和梯形 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 【相交与垂直】 1、概念：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。 （1）、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。 （2）、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 （3）、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【垂直与平行的特征及性质】 1．垂线的概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 【过直线上或直线外一点作直线的垂线】 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点． 2、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 【四边形的特点、分类及识别】 1．四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角，且内角和是360°． 2．四边形的分类： 任意四边形：图形没有平行的边 平行四边形：图形两组平行的边 梯形：图形只有一组平行的边 3．四边形的识别： 根据分类特地进行识别即可． 【平行四边形的特征及性质】 1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2．平行四边形的性质： 3、主要性质： （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． （3）夹在两条平行线间的平行线段相等． （4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形） （5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形． （6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点． （7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形． 【梯形的特征及分类】 1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形． 2．分类： （1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 （3）一般梯形． 【作梯形的高】 高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高． 典例分析 【典例1】李叔叔装修房屋，需要做一块等腰梯形的纸板．已知这个等腰梯形的周长是100厘米，上底长26厘米，下底长38厘米．它的每条腰长是多少厘米? 【答案】18厘米 【详解】100-38-26＝36(厘米) 36÷2＝18(厘米) 答：它的每条腰长是18厘米。 【典例2】用一根长14分米的铁丝围成了一个平行四边形(如下图)．已知围成的平行四边形的一条边的长度是5分米，与这条边相邻的另一条边的长度是多少分米？(铁丝没有剩余) 【答案】2分米 【详解】14－5×2＝4（分米） 4÷2＝2（分米） 答：与这条边相邻的另一条边的长度是2分米。 【典例3】下面四个小朋友玩“抢足球”的游戏，他们的位置如下图所示，你认为谁最有可能抢到足球？这样站公平吗？为什么？ 【答案】欢欢最有可能抢到足球．这样站不公平．根据从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短可知，欢欢离足球最近． 【详解】操作提示：如图所示 【典例4】在下面的点子图上按要求画图． （1）画一个长是4厘米，宽是3厘米的长方形．它的周长是　 　． （2）画一个边长是3厘米的正方形．它的周长是　 　． 【答案】 (1)14 (2)12 【详解】 ①长方形周长是：（3+4）×2＝14（厘米） ②正方形周长：3×4＝12（厘米） 【典例5】小明用一根细铁丝折成了一个平行四边形(如下图)，现在要用这根细铁丝改折一个等腰梯形，梯形的腰长6cm，下底是12cm，上底是多少厘米？(铁丝无剩余) 【答案】8cm 【详解】(6＋10)×2－6×2－12 ＝32－12－12 ＝8(cm) 答：上底是8厘米。 高频考题 1．木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。你能说出其中的道理吗？ 2．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，李明在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相______（填“垂直”或“平行”）。 （3）李明的成绩分别为420厘米和360厘米，张军的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米，你认为他们俩谁会获胜？说说你的理由。 ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ 3．要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，应该怎样挖？请你在图上画出来。 4．育红小学有一个等腰梯形的花坛，花坛上底长4米，下底长10米，从上底到下底的距离是4米，一条腰长5米，如果在花坛四周围上护栏，那么护栏长多少米？ 5．如图所示，李大爷沿墙用篱笆围了一个等腰梯形形状的花园，篱笆共长18米，则这个花园的一条腰的长是多少米？ 6．小亮要从下图的长方形上剪下一个最大的正方形。 （1）求剩下的图形的周长和面积各是多少？ （2）剪下的图形的周长和面积各是多少？ 7．如图：王力军同学要从A点过人行横道到公路对面，怎样走路线最短？为什么？把最短的路线画出来。 8．学校“凌云广场”有一块平行四边形草地，草场两条相邻的边长分别是15米和10米小玲绕草地周围走4圈， ？（请你提出一个问题并解答） 9．明明把有两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形（如图）。已知梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，梯形的高是3厘米。拼成的长方形的面积是多少平方厘米？ 10．广场有块平行四边形的花坛，我沿相邻的两条边走了112步，走一步的平均长度约是50厘米。这个花坛的周长大约是多少米？ 11．四一班在运动会的开幕式上表演了精彩的方队节目，这是他们的队形示意图。 （1）节目开始的造型是一个长方形，请把这个长方形补充完整，标出长和宽的长度。 （2）站在方队外边的A点是一位领队表演者，他与第一排同学中的B同学的距离最近吗？如果不是，请画出距离A同学最近的同学的位置。（保留作图痕迹） 12．小河边有一个药厂，要在河上修一座桥。怎样修才能使药厂到河对岸的距离最短？请你画一画并说明原因。 13．如图，一根彩带可以围成一个长18厘米、宽10厘米的长方形，如果把它拉成一个腰长10厘米的等腰梯形，则这个等腰梯形的下底为多少厘米？ 14．妈妈在墙上挂一幅画，林芳用下图中的方法检测画框是否挂正（挂正的标准：画框的底边和地面平行），请你解释一下，她这样做的道理是什么？ 15．小明用4个完全相同的长方形纸片拼成了一个边长为30厘米的正方形（如图）。中间形成的空白部分也是一个正方形，它的边长是6厘米。每个长方形纸片的长和宽各是多少厘米？ 16．一个平行四边形的纸板沿4厘米的高剪开，再拼成一个长方形，拼成的长方形的周长是多少厘米？ 17．一个平行四边形苹果园，相邻两边长度分别是100米和75米。现在要给苹果园四周围上篱笆，篱笆至少长多少米？ 18．一块菜地是等腰梯形，这块菜地的周长是58米，它的上底是12米，下底是26米，这块菜地的腰长是多少米？ 19．市民广场有一块平行四边形的花坛，丽丽沿相邻的两条边走了120步(如图)。她走一步的平均长度是55厘米，这个花坛的周长大约是多少米？ 20．在点子图上画一个平行四边形ABCD,并量一量四条边的长度，你发现了什么?(每个小格代表1cm) 21．平行四边形相邻两边分别长12厘米和16厘米．把两个这样的平行四边形拼成一个大平行四边形，这个大平行四边形的周长是多少？ 22．一头牛去河边喝水，它怎么走才能尽快喝到水呢？在图中标出路线，并说明理由． 23．把两个完全相同的梯形（如左图）拼成一个平行四边形（如右图）,平行四边形的周长比原来（两个梯形的周长）减少了多少厘米？(单位：厘米）              24．小兔子和小乌龟在同一渡口A处摆渡，同时用相同的速度向对岸驶去，小兔子的船在B码头靠岸，小乌龟的船向C码头驶去．你认为哪个先到岸？为什么？ 25．小明家门前有一个平行四边形的鱼塘，鱼塘两条邻边的长分别是80米和60米，爷爷每天绕鱼塘走3圈，他每天走多少米？ 26．某小区要在小区的三面围上铁栅栏(如图)．已知铁栅栏每米的成本是150元，围这三面铁栅栏需要多少钱？ 27．一个平行四边形纸片相邻两边的长分别是3厘米和2厘米，小明用这样的纸片拼图(如图)，拼成的这个图形的周长是多少厘米？ 28．福州东部花海公园要开辟一块平行四边形的地用来种植向日葵以供市民观赏．如图,现在要绕着平行四边形地(其中一边靠着墙)修一条观赏小道,这条小道长多少米? 29．一个梯形,上底是6厘米,如果将上底延长3厘米,那么该梯形可以变成一个正方形．这个梯形的下底和高各是多少厘米？ 30．如图，一块庄稼地ABCD是个平行四边形．已知它的周长是80米，长边是25米，它的短边是多少? 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．平行线间的距离处处相等 【思路分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；两条平行线间的所有垂线段都相等；依此解答。 【详解】木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。那是因为平行线间的距离处处相等。 2．（1）图见详解过程 （2）平行 （3）我认为李明会获胜，根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜（答案不唯一） 【思路分析】（1）把踏跳板看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行； （3）本题答案不唯一，结合李明和张军跳远的成绩进行解答即可。 【详解】（1）两次跳远的距离如图所示： （2）所画的两条线段互相平行。 （3）我认为李明会获胜，根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜。（答案不唯一） 【名师点评】本题主要考查点到直线的距离、垂直以及平行的定义在实际生活中的应用。 3．从幸福小区到小河作垂线段；画图见详解 【思路分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段。 【详解】要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段；画图如下： 【名师点评】本题考查了学生对垂线段最短的掌握情况，同时检查了学生的作图能力，及利用数学知识解决实际问题的能力。注意垂线段最短。 4．24米 【思路分析】求护栏的长度，即是求该梯形花坛的周长，梯形的周长等于上底、下底及两腰的长度之和，据此列式计算即可解答。 【详解】4＋10＋5＋5 ＝14＋5＋5 ＝19＋5 ＝24（米） 答：护栏长24米。 【名师点评】解答本题理解周长的含义，了解等腰梯形的特点，从而解决问题。 5．7米 【思路分析】两腰相等的梯形叫做等腰梯形；因此用篱笆的总长度减去4米后，再除以2即可，依此计算。 【详解】18－4＝14（米） 14÷2＝7（米） 答：这个花园的一条腰的长是7米。 【名师点评】熟练掌握等腰梯形的特点是解答此题的关键。 6．（1）24厘米；32平方厘米 （2）32厘米；64平方厘米 【思路分析】（1）剩下图形是一个长为8厘米，宽为12－8＝4厘米的长方形，再根据长方形的周长和面积公式计算即可解答； （2）剪下的正方形的边长为8厘米，再根据正方形的周长和面积公式计算即可解答。 【详解】（1）（8＋12－8）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 8×（12－8） ＝8×4 ＝32（平方厘米） 答：剩下的图形的周长是24厘米，面积是32平方厘米。 （2）8×4＝32（厘米） 8×8＝64（平方厘米） 答：剪下的图形的周长是32厘米，面积是64平方厘米。 【名师点评】从长方形中剪下一个最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，这是解答本题的关键。 7．见详解 【思路分析】根据直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，过A点作公路对面的垂线段，沿垂线段走最短。 【详解】沿A点到公路对面的垂线段走路线最短，因为直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，图如下： 【名师点评】熟练掌握垂线段知识是解答本题的关键。 8．4圈一共走了多少米；200米 【思路分析】平行四边形的对边平行且相等，知道了平行四边形的两邻边长度可求出平行四边形的周长。绕草地周围走4圈，可提出问题：4圈一共走了多少米。 【详解】提出的问题：4圈一共走了多少米？ （15＋10）×2×4 ＝25×2×4 ＝50×4 ＝200（米） 答： 4圈一共走了200米。 【名师点评】准确求出平行四边形的周长是解答此题的关键。 9．30平方厘米 【思路分析】长方形的面积＝长×宽；此题中长方形的宽是3厘米，长方形的长是4＋6＝10（厘米），依此计算即可。 【详解】长方形的宽是3厘米； 4＋6＝10（厘米） 3×10＝30（平方厘米） 答：拼成的长方形的面积是30平方厘米。 【名师点评】此题考查的是平面图形的拼接，长方形的面积的计算，熟练掌握梯形的特点是解答此题的关键。 10．112米 【思路分析】由平行四边形的性质对边相等，得出其它两条边的长，平行四边形的周长等于四边之和。 【详解】112×50＝5600（厘米） 平行四边形的周长＝5600×2＝11200（厘米） 11200厘米＝112米 答：这个花坛的周长大约是112米。 【名师点评】本题主要考查了平行四边形的性质和周长的灵活运用，注意单位的换算。 11．（1）、（2）均见详解 【思路分析】（1）长方形的两组对边分别相互平行，两组对边分别相等，四个角都是直角；依此画图即可。再用测量物体长度的方法测量出长方形的长和宽即可。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；依此判断并画图即可。 【详解】（1） （2）站在方队外边的A点是一位领队表演者，他与第一排同学中的B同学的距离不是最近的，距离A同学最近的同学的位置是（红点处）： 【名师点评】此题考查的是画长方形，及过直线外一点作垂线，熟练掌握垂直的特点是解答此题的关键。 12．见详解 【思路分析】抓住“垂线段最短”，把药厂看做是一个点，过这个点向河的对岸作垂线，据此即可解决问题。 【详解】如图，把药厂看做是一个点，过这个点向河的对岸作垂线，则沿着垂线段架桥，才能使药厂到对岸的距离最短，因为点到直线的所有距离中，垂线段最短。 【名师点评】此题考查了“垂线段最短”的性质及线的画法。 13．26厘米 【思路分析】先求出长方形的周长，减去等腰梯形2个腰的长度，再减去梯形上底的长度即等于下底的长度。 【详解】（18＋10）×2－10×2－10 ＝56－20－10 ＝36－10 ＝26（厘米） 答：这个等腰梯形的下底为26厘米。 【名师点评】熟练掌握长方形、等腰梯形周长知识是解答本题的关键。 14．平行线间垂直线段的长度都相等 【思路分析】两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等。据此解答即可。 【详解】因为平行线间垂直线段的长度都相等，所以当用尺子量出画框底边的任意一点到地面的距离相等时，这个画框的底边就是和地面平行，也就是画框挂正了。 【名师点评】本题主要考查学生对平行的性质的认识和掌握。 15．长18厘米；宽12厘米 【思路分析】由图可知小正方形的边长是6厘米，大正方形的边长是30厘米，那么大正方形的边长减去小正方形的边长是2个长方形的宽；用大正方形的边长减去宽就是长；由此解答。 【详解】宽：（30－6）÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 长：30－12＝18（厘米） 答：每个长方形纸片的长是18厘米，宽是12厘米。 【名师点评】本题考查正方形长方形的概念及特点，通过观察图形进行推理。 16．22厘米 【思路分析】拼成的长方形的长是7厘米，宽是4厘米，根据长方形的周长公式，可求出长方形的周长。 【详解】（7＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 答：拼成的长方形的周长是22厘米。 【名师点评】准确找出长方形的长和宽是解答此题的关键。 17．350米 【思路分析】平行四边形周长等于相邻两边之和再乘2，据此代入数据计算即可。 【详解】（100＋75）×2 ＝175×2 ＝350（米） 答：篱笆至少长350米。 【名师点评】本题考查平行四边形的周长，明白平行四边形的特征就不难理解周长的算法。 18．10米 【思路分析】根据题意可知，菜地是等腰梯形，等腰梯形的两腰相等；又因为梯形的周长＝两腰长度＋上底＋下底，所以腰的长度＝（周长－上底－下底）÷2，代入计算即可解答。 【详解】（58－12－26）÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 答：这块菜地的腰长是10米。 【名师点评】本题考查了等腰梯形的特点以及周长，熟练掌握梯形的周长公式，列式计算即可。 19．132米 【解析】略 20． 平行四边形的对边相等 【解析】略 21．88厘米或80厘米 【详解】如图所示： 16+16+16+16+12+12=88(厘米) 16+16+12+12+12+12=80(厘米) 答：这个大平行四边形的周长可以是88厘米或80厘米． 22． 两点之间垂线段最短 【解析】略 23．8厘米 【详解】4+4=8(厘米） 24．从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，所以小兔子先到岸，因为点到直线的垂直线段最短 【详解】略 25．840米 【详解】（80＋60）×2×3 ＝140×2×3 ＝280×3 ＝840（米） 答：他每天走多少840米。 26．58500元 【详解】120＋90＋180＝390(米) 390×150＝58500(元) 答：围这三面铁栅栏需要58500元． 27．42厘米 【详解】3×5＝15(厘米)　2×3＝6(厘米) (15＋6)×2＝42(厘米) 答：拼成的这个图形的周长是42厘米． 28．42×2+27=111(米) 【解析】略 29．9厘米，9厘米 【解析】略 30．15米 【详解】80-25×2＝30(米) 30÷2＝15(米) 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$