第一章 特殊的平行四边形单元测试卷2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章《特殊平行四边形》 综合测试题 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　） A．邻角互补 B．对角线相等 C．对角相等 D．四边相等 2．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 3．如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A．3 B． C． D．4 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为（　　） A．6 B．5 C．2 D．3 5．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么CD的长为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 6．如图，已知△OAB的顶点A，B在坐标轴上，A（4，0），∠BAO＝60°．矩形OCDE的顶点C，E分别在坐标轴上，且E（﹣1，0）．将矩形OCDE向右平移2个单位长度，点C恰好落在线段AB上，此时点D的对应点D′的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，含30°角的直角三角尺△ABC的斜边AB与矩形直尺EFGH的边FG在同一直线上，此时直尺的另一边EH与直角三角尺的直角边BC的交点D恰好是BC的中点，若HG＝1，则AB的长为（　　） A．4 B． C． D． 9．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的点，AE＝AF，且AE＜ED，过点E作EH⊥BC于点H，过点F作FG⊥CD于点G，EH，FG交于点O，连接OB，OD，BD．设AE＝a，ED＝b，BD＝c，给出下面三个结论：①；②；③．述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．面积为24的菱形的一条对角线长为6，则这个菱形的边长为 　 　． 12．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝　 　． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝　 　． 14．已知正方形ABCD，E为射线DC上一点（点D除外），点F为点D关于AE的对称点，若△FCB是等腰三角形，则∠DFA的度数是 　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在x轴、y轴正半轴上滑动．顶点P、Q在第一象限，若MN＝4，PN＝2．在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图是矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，求这个矩形ABCD的周长和对角线BD的长． 17．如图，▱ABCD中，E是AD的中点，△BCE是等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形． 18．如图所示，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：AE＝CE． 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC⊥BD．求证：四边形ABCD是菱形． 20．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）请添加一个条件，使四边形BFDE为菱形．（不需要说明理由） 21．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：BD＝2AC； （2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？ 22．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ的长． 23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长． 24．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 25．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　°（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积． （3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 　 　（直接写出结果不写解答过程）． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-4．DACCB． 6-10．BDCDA． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．5． 12．． 13．． 14．75°或60°或15°． 15．2+2． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：如图所示，连接BD， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4， ∴∠C＝90°，BC＝AD＝4，这个矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝12， ∴． 17．证明：∵△BCE是等边三角形， ∴CE＝BE，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝60°，∠DEC＝∠DCE＝60°． ∴∠AEB＝∠DEC， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE． ∴在△AEB与△DEC中， ， ∴△AEB≌△DEC（SAS）， ∴∠A＝∠D． 又∠A+∠D＝180°， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 18．证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE． 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE． 19．解：∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵对角线AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 20．（1）证明：∵▱ABCD， ∴AB＝CD，∠A＝∠C， ∵AE＝CF ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （2）解：当BF＝FD时，四边形BFDE是菱形． 理由：∵▱ABCD， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BF＝FD， ∴四边形BFDE是菱形． 21．（1）证明：∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点， ∴EABD＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B， ∴∠AEC＝∠C， ∴AE＝AC， ∴BD＝2AC； （2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5， 由勾股定理得，AB12， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25． 22．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP， ∴∠CPQ＝∠A， ∵PQ⊥CP， ∴∠A＝∠CPQ＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠CPQ＝90°， 在Rt△CDQ和Rt△CPQ中， ， ∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）， ∴DQ＝PQ， 设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x， 在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2， ∴x2+32＝（9﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AQ的长是4． 23．（1）证明：∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∵∠ABO＝∠ACE， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴AO⊥OB， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4， ∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝2， ∴∠AOB＝90°， ∴OA6， ∴AC＝2OA＝12， ∵CE⊥AB， ∴OEAC＝6． 24．（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4． 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4， ∴OCAC＝2， ∴OD2， ∴矩形OCED的面积是22＝4． 25．（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣90°＝270°， ∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE， ∴，， ∴， ∴∠EAF＝180°﹣135°＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：过点A作AG⊥EF于G， ∵AE平分∠BEF，AB⊥EB，AG⊥EF， ∴AB＝AG， 同理可得AD＝AG， ∴AB＝AD， ∵AB⊥BC，AD⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②∵AG⊥EF， ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝GE＝3， 同理可得DF＝GF， 设DF＝GF＝x， ∴EF＝3+x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝3+3＝6， ∴CD＝AB＝AG＝6， ∴CF＝6﹣x， 在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2， ∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝2， ∴EF＝3+2＝5， ∴； （3）解：如图2所示，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G， 由折叠可得PD＝PH＝PM＝7，QD＝QH＝3，MR＝HR，∠DPQ＝∠HPQ，∠MPR＝∠HPR，∠D＝∠PHQ＝90°，∠M＝∠PHR＝90°， ∴∠DPM＝2∠HPQ+2∠HPR＝2（∠HPQ+∠HPR）＝2∠QPR＝90°， ∴∠D＝∠DPM＝∠M＝90°， ∴四边形PMGD是矩形， ∵PD＝PM， ∴四边形PMGD是正方形， ∴DG＝MG＝PD＝7， ∴GQ＝DG﹣QD＝7﹣3＝4， 设MR＝HR＝a，则QR＝3+a，GR＝7﹣a， 在Rt△GQR中，GQ2+GR2＝QR2， ∴42+（7﹣a）2＝（3+a）2， 解得a＝2.8， ∴HR＝2.8， 故答案为：2.8。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$