第21章《一元二次方程》综合测试卷 2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十一章《一元二次方程》综合测试卷 (时间：90 分钟 满分：100 分 ) 一、选择题(本大题共 12 个小题 ，每小题 3 分 ，共 36 分 ) 1. 如果方程(m-1)+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，那么 ( ) A. m=1 B. m=-3 C. m=1或-3 D. m=-1 2. 下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是 ( ) A. 若x2=4，则x=2 B. 若x2=2x，则x=2 C. 若x2-x-k=0的一个根是-1，则k=2 D. 若分式的值为零，则x=2或0 3. 用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为 ( ) A. (x-3)2= B. 3(x-1)2= C. 3(x-1)2= D. (x-1)2= 4. 股票每天的涨跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是 ( ) A. (1+x)2= B. (1+x)2= C. 1+2x= D. 1+2x= 5. 若x=-2是关于x的一元二次方程x2+ax-a2=0的一个根，则a的值是 ( ) A. -1或4 B. -1或-4 C. 1或-4 D. 1或4 6. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0的两个实数根，且x1+x2=3，x1·x2=1，则a+b的值是 ( ) A. -2 B. 4 C. - D. - 7. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为 ( ) A. 10 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 16 cm 8. 已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况是 ( ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的负实数根 C. 有两个不相等的正实数根 D. 有两个异号实数根 9. 已知3是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为 ( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 10. 若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 已知关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是 ( ) A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 2 12. 已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，则+的值是 ( ) A. 7 B. -7 C. 11 D. -11 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13. 将方程2(x-1)2=(x+)(x-)化为一般形式是 . 14. 若关于x的一元二次方程kx2-6x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 . 15.如图，将一些半径相同的小圆按规律摆放，则第 个图中有94个小圆. 16. 设m，n分别为一元二次方程x2+5x-2024=0的两个实数根，则代数式m2+8m+3n的值为 . 17.已知关于x的方程x2-(2+3m)x+2m2+5m-4=0的两个实数根恰好是斜边等于2的直角三角形的两直角边长，则m的值为 . 18.如图，实数a,n,m,b满足a＜n＜m＜b，数轴上表示这四个数的点分别是A，N，M，B，若AM2=BM·AB，BN2=AN·AB，则称m为a,b的“大黄金数”，n为a,b的“小黄金数”.当b-a=2时，a,b的“大黄金数”与“小黄金数”之差m-n的值是 . 三、解答题(本大题共6个小题，共46分) 19. (本小题满分6分) 已知a,b为实数，规定一种新运算a*b=a2-b2，若(2x+9) * (3-x)=12x，求x的值. 20. (本小题满分6分) 已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0(k为常数). (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，求方程的两个实数根及k的值. 21. (本小题满分 8 分) 某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，每天可销 售 48 件.为尽快减少库存，该商场决定降价促销. (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求每次下降的百分率. (2)经调查，如果该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么 每天要想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？ 22. (本小题满分8分) 已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若2x1+2x2-=2，求|x1-x2|的值. 23. (本小题满分 8 分) 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD⊥BC 于点 D，BD=2， DC=3，求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题. (1) 分别以 AB，AC 为对称轴，画出△ABD，△ACD 的对称图形，点 D 的对称点分别为 E，F，延长 EB，FC 相交于点 G.求证：四边形 AEGF 是正方形； (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. 24. (本小题满分 10 分) 如图，在平面直角坐标系中，以原点O，A(0，2)，C(6，0)为顶点作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向匀速移动，同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向匀速移动.设移动时间为t秒. (1)写出P，Q两点的坐标(用含t的代数式表示). (2)当t为何值时，△BPQ是直角三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.A 13. x2-4x+5=0 14. k≤且k≠0 15. 9 16. 2009 17. 18. 2-4 19. 由题意可得(2x+9)2-(3-x)2=12x， 整理，得x2+10x+24=0， 解得x1=-4,x2=-6. 20. (1)证明：∵Δ=(-6)2-4×(-k2)=36+4k2， 且k2≥0，∴Δ=36+4k2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； (2)解：由根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=-k2， 由 解得 21. 解： (1)设每次下降的百分率为x.由题意可得40(1-x)2=32.4， 解得x1=0.1,x2=1.9(不合题意，舍去). 答：每次下降的百分率为10%. (2)设每件应降价a元.由题意可得(40-a-30)(48+×4)=510， 整理，得4a2-16a+15=0， ∴每件应降价1.5元或2.5元. ∵要尽快减少库存， ∴每件应降价2.5元. 答：每件应降价2.5元. 22.解：(1)∵此一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴解得k＞-且k≠0； (2)由题意，得x1+x2=-，x1x2=-. 又∵2x1+2x2-=2， ∴-+k=2，即k2-2k-8=0， 解得k1=4，k2=-2(不合题意，舍去)， ∴原方程为4x2+4x-3=0， ∴|x1-x2|===2. 23.解： (1)证明：由轴对称性质可得△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD， ∴∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC， ∴∠EAF=2∠BAC=90°. 又∵AD⊥BC， ∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， ∴四边形AEGF为矩形， 又∵AE=AD=AF， ∴四边形AEGF为正方形； (2)解：∵AD=x，∴AE=EG=GF=x. ∵BE=BD=2，CF=DC=3， ∴BG=x-2，CG=x-3. ∵在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2， ∴(x-2)2+(x-3)2=52， 解得x1=6，x2=-1(不合题意，舍去)，即x的值为6. 24. 解: (1)点P的坐标为(t，t)，点Q的坐标为(2t，0). (2)∵P(t，t)，Q(2t，0)，B(6，2)， ∴BP2=(6-t)2+(2-t)2，BQ2=(6-2t)2+22，PQ2=(2t-t)2+t2=2t2. ①当∠BQP=90°时，PQ2+BQ2=BP2， 即2t2+(6-2t)2+22=(6-t)2+(2-t)2，整理可得4t2-8t=0， 解得t1=2，t2=0(不合题意，舍去)； ②当∠PBQ=90°时，BP2+BQ2=PQ2， 即(6-t)2+(2-t)2+(6-2t)2+22=2t2，整理可得t2-10t+20=0， 解得t1=5+，t2=5-； ③当∠QPB=90°时，PQ2+BP2=BQ2， 即2t2+(6-t)2+(2-t)2=(6-2t)2+22，整理可得8t=0， 解得t=0(不合题意，舍去). 综上所述，当t=2或5+或5-时，△BPQ是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$