3.2 基本不等式9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 3.2 基本不等式9题型分类 知识点1 基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 注：可以变形为：，可以变形为：． 知识点2 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 注：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点3 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 注：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点4 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 注：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． （一） 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 题型1：对基本不等式的理解及简单应用 1-1．（2024高一·全国·课后作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 1-2．（2024高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 1-3．【多选】（2024高一·全国·课后作业）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 （二） 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 题型2：利用基本不等式比较大小 2-1．（2024高一·全国·课后作业）设a＞0，b＞0，给出下列不等式： ①a2＋1＞a；  ②；   ③(a＋b)；  ④a2＋9＞6a. 其中恒成立的是 (填序号). 2-2．（2024高一·上海·专题练习）若，，且，则在中最大的一个是 . 2-3．（2024高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． （三） 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型3：利用基本不等式证明不等式 3-1．（2024高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，求证： （2）设，，为正数，求证： 3-2．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 3-3．（2024高三上·江西新余·期末）已知，，且，证明. (1)； (2) 3-4．（2024高三·全国·专题练习）设非负实数满足，求证： （四） 利用基本不等式求代数式的最值 （1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． （2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 题型4：直接法求最值 4-1．（2024高二下·云南红河·期中）若正数满足，则的最小值是 ． 4-2．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知a、b大于0，，则的最大值是 ． 4-3．（2024高二下·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 题型5：配凑法求最值 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（　　） A．3 B．－3 C．4 D．－4 5-2．（2024高一下·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5-3．（2024高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5-4．（2023版湘教版（2019）必修第一册名师精选卷第三单元等式与不等式、基本不等式及其应用）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 题型6：“1”的代换求最值 6-1．（2024高一上·甘肃临夏·期末）若，，，则的最小值为 ． 6-2．（2024高二下·云南昭通·期末）已知正数x，y满足，则的最大值为 . 6-3．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知正实数、满足，则的最小值是 . 6-4．（2024高二下·山东德州·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 题型7：消参法求最值 7-1．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024高二下·广西北海·期末）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 7-3．（2024高一上·新疆·期末）设，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 （五） 利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 题型8：利用基本不等式求解恒成立问题 8-1．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是 . 8-2．（2024高一上·北京·阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 8-3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （六） 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 题型9：基本不等式在实际问题中的应用 9-1．（2024高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 9-2．（2024高一上·江苏·阶段练习）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm. (1)设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽. 9-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024高一·全国·专题练习）给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·江西·阶段练习）已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 5．（2024高一上·安徽宣城·阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三上·全国·阶段练习）已知，满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，且，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．13 D．16 9．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，若，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C． D． 10．（2024高一下·河南周口·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 11．（2024高二上·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 13．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．不等式恒成立 B．存在实数,使得不等式成立 C．若,,则 D．若,且,则 14．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 15．（2024高三·全国·专题练习）下列推导过程，正确的为（    ） A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2 B．因为x∈R，所以1 C．因为a＜0，所以+a≥2＝4 D．因为，所以 16．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ） A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多 三、填空题 17．（2024高三·全国·专题练习）已知（），则的最大值是 . 18．（2024高一上·浙江·课后作业）已知都是正实数，且，则与的大小关系是 ． 19．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 20．（2024高一上·贵州遵义·阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 21．（2024高一上·北京丰台·期中）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 22．（2024高一上·上海松江·期末）对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 23．（2024高一下·辽宁沈阳·期末）已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是 ． 24．（2024高一上·天津和平·期中）已知正实数a，b满足则ab的最大值为 . 25．（2024高一下·广东广州·期中）若，，，则的取值范围是 . 26．（2024高二上·福建·期中）若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有 个． 27．（2024高一·全国·课后作业）给出下列不等式： ①；     ②；    ③； ④；   ⑤. 其中正确的是 (写出序号即可)． 28．（2024高一·上海·专题练习）若，且，则中值最小的是 29．（2024高一·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 30．（2024高一上·云南红河·期末）已知，且，则的最小值为 . 31．（2024高三上·天津西青·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 32．（2024高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，，则的最小值为 . 33．（2024高一上·陕西西安·期中）已知，且满足，求的最小值是 . 34．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若，则的最小值为 ． 35．（2024高一上·湖北·期中）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 36．（2024高一上·江苏连云港·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 . 37．（2024高一上·全国·课后作业）对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为 . 38．（2024高一下·浙江宁波·开学考试）已知，，，则的最小值为 . 39．（2024高一上·四川成都·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为 ． 40．（2024高一上·安徽安庆·期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 41．（2024高二下·湖南·阶段练习）若，且，则的最大值为 . 42．（2024高一下·重庆沙坪坝·期中）已知，，，则的最大值为 ． 43．（2024·浙江·二模）已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 44．（2024·辽宁大连·三模）已知，且，则的最小值为 . 45．（2024高二下·浙江丽水·期末）已知实数满足，则的最大值为 ． 46．（2024高一·全国·课堂例题）若正实数满足，则的最大值为 . 47．（2024高一上·北京·阶段练习）已知a>0，b>0，a+b>2，有下列4个结论:①ab>1；②a2+b2>2；③和中至少有一个数小于1；④和中至少有一个小于2，其中，全部正确结论的序号为 . 48．（2024高三·全国·专题练习）若正实数满足.则的最小值为 . 49．（2024高一上·全国·课后作业）正实数满足，则的最小值为 . 50．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 51．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数（），则它的最小值为 . 52．（2024高二下·浙江·阶段练习）若实数，满足，则的最小值为 ． 53．（2024高二下·上海金山·阶段练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 54．（2024高一下·浙江衢州·阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 四、解答题 55．（2024高一上·四川绵阳·阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．    (1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值． 56．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）已知且.求证： (1)； (2). 57．（2024高一上·黑龙江绥化·期中）已知、是正实数，且，证明： (1)； (2). 58．（2024高一上·辽宁·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2)． 59．（2024高一·江苏·专题练习）设，求函数的最大值． 60．（2024高一上·江苏宿迁·期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短? 61．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积． （2）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值． 62．（2024高一上·河北保定·阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．    (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 63．（2024高一下·广东广州·期末）两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元， (1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函数:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小； (2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小， 64．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为， （1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值； （2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值. 65．（2024高一上·广东深圳·阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元. (1)试求关于的函数解析式； (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 66．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）已知求证：； （2），，求证：. 67．（2024高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知、、、是实数，求证： （2）已知，，，且，求证： 68．（2024高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 69．（2024高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，且． (1)证明：； (2)证明：． 70．（2024高一下·甘肃兰州·期末）已知，，，求证：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 3.2 基本不等式9题型分类 知识点1 基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 注：可以变形为：，可以变形为：． 知识点2 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 注：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点3 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 注：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点4 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 注：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． （一） 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 题型1：对基本不等式的理解及简单应用 1-1．（2024高一·全国·课后作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【答案】B 【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即. 故选：B. 1-2．（2024高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 1-3．【多选】（2024高一·全国·课后作业）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【答案】ABD 【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的条件，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确； 对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确； 对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误； 对于D，，则，且， 又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确. 故选：ABD （二） 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 题型2：利用基本不等式比较大小 2-1．（2024高一·全国·课后作业）设a＞0，b＞0，给出下列不等式： ①a2＋1＞a；  ②；   ③(a＋b)；  ④a2＋9＞6a. 其中恒成立的是 (填序号). 【答案】①②③ 【分析】利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论. 【详解】由于a2＋1－a＝，故①恒成立； 由于＝＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立； 由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝， 那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题. 2-2．（2024高一·上海·专题练习）若，，且，则在中最大的一个是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式和不等式的基本性质判断. 【详解】因为， 所以，且， 由不等式的基本性质得， 所以在中最大的一个是 故答案为： 2-3．（2024高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 【答案】/ 【分析】确定，，，得到答案. 【详解】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： （三） 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型3：利用基本不等式证明不等式 3-1．（2024高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，求证： （2）设，，为正数，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用分析法证明即可； （2）利用基本不等式证明即可. 【详解】证明：（1）由于，则，， 于是要证， 即证， 即证， 由于，即证，而显然成立， 故 （2）因为，，为正数， 由基本不等式可得，，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 3-2．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式乘“1”法即可求解， （2）根据作差法即可求解. 【详解】（1）证明：由于，都是正数， ， 当且仅当时等号成立.所以. （2）证明： . 因为，，所以，，所以成立. 3-3．（2024高三上·江西新余·期末）已知，，且，证明. (1)； (2) 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式，证明不等式； （2）首先将不等式左边变形为，再利用基本不等式证明. 【详解】（1）， 因为，，则，则，当时等号成立， 所以； （2） 而，当时等号成立， 所以 3-4．（2024高三·全国·专题练习）设非负实数满足，求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用基本不等式即可求证结果. 【详解】因为，，，， 所以， . 当时，等号成立， 所以，即. （四） 利用基本不等式求代数式的最值 （1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． （2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 题型4：直接法求最值 4-1．（2024高二下·云南红河·期中）若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】，，，（当且仅当时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 4-2．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知a、b大于0，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的变形可得答案. 【详解】因为，所以，当且仅当时取到最大值， 故答案为：. 4-3．（2024高二下·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 题型5：配凑法求最值 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（　　） A．3 B．－3 C．4 D．－4 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴当时，y的最小值为4. 故选：C 5-2．（2024高一下·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】由知，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：A 5-3．（2024高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 5-4．（2023版湘教版（2019）必修第一册名师精选卷第三单元等式与不等式、基本不等式及其应用）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 题型6：“1”的代换求最值 6-1．（2024高一上·甘肃临夏·期末）若，，，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】运用代“1”法，结合基本不等式进行计算即可. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故答案为：9 6-2．（2024高二下·云南昭通·期末）已知正数x，y满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据乘“1”法，即可利用基本不等式求解. 【详解】∵正数x，y满足，∴.当且仅当，即时取等号，则，其最大值为. 故答案为： 6-3．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知正实数、满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为：. 6-4．（2024高二下·山东德州·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/1.125 【分析】因为，再利用基本不等式即可得出结果. 【详解】因为，所以 ，当且仅当，即最取到等号. 故答案为：. 题型7：消参法求最值 7-1．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为， 由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D 7-2．（2024高二下·广西北海·期末）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由已知可得代入中化简配方可求得其最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：. 7-3．（2024高一上·新疆·期末）设，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】先将目标函数化简，得到，再利用均值定理即可求得其最小值. 【详解】由题意，所以，所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 故选：A （五） 利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 题型8：利用基本不等式求解恒成立问题 8-1．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：，， 不等式恒成立， 恒成立 ，当且仅当，即时取等号， ，即 故答案为： 8-2．（2024高一上·北京·阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】采用常数分离法转化为恒成立，只需求的最小值即可. 【详解】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立， 因为，当且仅当即时取“＝”. 所以 故答案为： 8-3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则. 故选：A. （六） 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 题型9：基本不等式在实际问题中的应用 9-1．（2024高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 【答案】，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元． 【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为泳池的长为x米，则宽为米． 则总造价， 整理得到， 当且仅当时等号成立． 故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元． 9-2．（2024高一上·江苏·阶段练习）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm. (1)设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽. 【答案】(1) (2)队徽的长和宽分别为 【分析】（1）在直角三角形ADE中，由勾股定理得出DE的长度； （2）由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题意可得，且，可得，由， 在直角三角形ADE中，可得， 即，化简可得； （2） ， 当且仅当时，即队徽的长和宽分别为，可得△ADE的面积取得最大值. 9-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】(1) (2)6万元 【分析】（1）依题意求解即可； （2）由结合基本不等式求解即可. 【详解】（1） ． 因为，所以 （2）因为 ． 又因为，所以， 所以（当且仅当时取“”） 所以 即当万元时，取最大值30万元． 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对每个选项，分析所给条件，结合基本不等式来判断. 【详解】A中，∵a，b为正实数，∴，则， 当且仅当时等号成立，故A正确； B中，∵，当时，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； C中，由，得，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C不正确； D中，对任意的，都有，即， 当且仅当时等号成立，所以D不正确． 故选：A 2．（2024高一·全国·专题练习）给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导. 【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 4．（2024高一上·江西·阶段练习）已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由已知得到，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值. 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 5．（2024高一上·安徽宣城·阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 6．（2024高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 7．（2024高三上·全国·阶段练习）已知，满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后代入方程，进而根据“法”解得答案. 【详解】由题意，设，代入方程得：， 所以，即的最小值为：. 故选：D. 8．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，且，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．13 D．16 【答案】C 【分析】由可得，从而将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意，，得， 故， 由于，故， 当且仅当即时取等号，即， 故的最小值是13， 故选：C 9．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，若，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为，，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：D. 10．（2024高一下·河南周口·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案. 【详解】由 （当且仅当时取等号）， 又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有， 可得的最小值为32． 故选：D． 11．（2024高二上·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案． 【详解】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误； 对：， 当且仅当，即时取等号， 但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，， 当且仅当，即时取等号，故的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：. 12．（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【详解】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 二、多选题 13．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．不等式恒成立 B．存在实数,使得不等式成立 C．若,,则 D．若,且,则 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”判断ABC的正误,用 “1”的代换判断D的正误. 【详解】解:不等式只有在a,b都为非负数的时候才恒成立, 故A错误; 当时,, 故B正确; 若, 则由基本不等式得, 当且仅当即时,等号成立, 故C正确; 因为,,且, 所以, 所以 当且仅当且时取等号,即时取等号; 故D正确. 故选:BCD. 14．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】BCD 【分析】根据题意和基本不等式，求得，由恒成立，得到，结合选项，即可求解. 【详解】由 ，且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为不等式恒成立，所以， 结合选项，可得选项B、C、D符合题意. 故选：BCD. 15．（2024高三·全国·专题练习）下列推导过程，正确的为（    ） A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2 B．因为x∈R，所以1 C．因为a＜0，所以+a≥2＝4 D．因为，所以 【答案】AD 【分析】对于A、D：利用基本不等式直接证明；对于B、C：取特殊值进行否定. 【详解】对于A.因为a，b为正实数，所以，所以≥2＝2.故A正确； 对于B.当x=0，有1.故B错误； 对于C.当a=-1时，左边+a=-5，右边2=4，所以+a≥2＝4不成立，故C错误. 对于D. 因为，， 所以.故D正确. 故选：AD. 16．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ） A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多 【答案】BC 【分析】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解. 【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为：； 方案乙：两次涨幅后的价格为：； 方案丙：两次涨幅后的价格为：； 因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立， 故，因为，所以，， 所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多， 故选：. 三、填空题 17．（2024高三·全国·专题练习）已知（），则的最大值是 . 【答案】/1.5 【分析】凑配基本不等式即可解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值是. 故答案为： 18．（2024高一上·浙江·课后作业）已知都是正实数，且，则与的大小关系是 ． 【答案】． 【分析】由基本不等式化简即可求得与的范围，进而得出结果. 【详解】，．而，．． 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式在比较大小中的应用，考查应用能力，属于基础题. 19．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】，，，恒成立， （当且仅当，即时取等号）， ，解得：，则的最大值为. 故答案为：. 20．（2024高一上·贵州遵义·阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先把不等式恒成立转化为求的最小值，再解关于的不等式即可． 【详解】两个正实数，满足，， ， 当且仅当，即，时等号成立，， 若不等式恒成立，则应，解得，， 故答案为：． 21．（2024高一上·北京丰台·期中）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将变形为，化简整理得到，进而结合均值不等式得到的最小值为9，从而可以求出结果. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9， 因此， 故答案为：. 22．（2024高一上·上海松江·期末）对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数为，由基本不等式求得的最大值即得． 【详解】由题意得恒成立， 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 23．（2024高一下·辽宁沈阳·期末）已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求最小值，结合已知不等式恒成立求参数范围即可. 【详解】由得：， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为27， 又恒成立，故. 故答案为： 24．（2024高一上·天津和平·期中）已知正实数a，b满足则ab的最大值为 . 【答案】5 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【详解】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号， 解得， 则的最大值5． 故答案为：5． 25．（2024高一下·广东广州·期中）若，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的取值范围是. 故答案为：. 26．（2024高二上·福建·期中）若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有 个． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合不等式性质，以及基本不等式，即可容易判断. 【详解】，则，，. ，（1）中的不等式正确； ，则，（3）中的不等式错误； ，（2）中的不等式错误； ，则， 由基本不等式可得，（4）中的不等式正确. 综上所述，正确的是（1）（4） 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用不等式性质以及用基本不等式比较大小，属基础题. 27．（2024高一·全国·课后作业）给出下列不等式： ①；     ②；    ③； ④；   ⑤. 其中正确的是 (写出序号即可)． 【答案】② 【分析】利用特殊值排除错误的不等式，利用基本不等式证明正确的不等式. 【详解】当时，，所以①不正确； 因为与同号，所以，所以②正确； 当时，，所以③不正确； 当时，，所以④不正确； 当时，，所以⑤不正确． 故答案为：② 【点睛】本小题主要考查基本不等式，属于基础题. 28．（2024高一·上海·专题练习）若，且，则中值最小的是 【答案】 【分析】先由均值不等式有：，，再比较与的大小， 作差比较大小可得最小的数. 【详解】由，，且，根据均值不等式有：，， 又， 因为，所以，则， 所以，即. 故答案为：. 29．（2024高一·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 【答案】 【分析】求得关于的表达式，结合基本不等式比较出两者的大小. 【详解】依题意， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为： 30．（2024高一上·云南红河·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】10 【分析】根据基本不等式灵活运用“1”即可. 【详解】因为，所以，所以 又因为，，所以，，由基本不等式得： 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：10 31．（2024高三上·天津西青·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解． 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 32．（2024高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 33．（2024高一上·陕西西安·期中）已知，且满足，求的最小值是 . 【答案】18 【分析】利用“1”的妙用，转化，展开后，利用基本不等式， 即可求解. 【详解】， 当且仅当，即， 联立，得， 所以的最小值是. 故答案为： 34．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值. 【详解】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 35．（2024高一上·湖北·期中）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以不等式可化为， 设，，则，则， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，所以， 故答案为： 36．（2024高一上·江苏连云港·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再利用不等式恒成立进行求解. 【详解】因为，，且， 所以 （当且仅当，即时取“=”）， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 37．（2024高一上·全国·课后作业）对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为对任意，为正实数，都有， 所以恒成立，也即， 因为（当且仅当时，也即时等号成立） 所以，则实数a的最大值为， 故答案为：. 38．（2024高一下·浙江宁波·开学考试）已知，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，用含y的式子表示x，再利用均值不等式求解作答. 【详解】由得：，而，，则有， 于是， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 39．（2024高一上·四川成都·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用重要不等式转化变量即可求解. 【详解】因为时取等号， 则,得， 可得，， 即得最小值为, 故答案为： 40．（2024高一上·安徽安庆·期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【详解】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 41．（2024高二下·湖南·阶段练习）若，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】将变为，则可将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，且可得， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 即的最大值为， 故答案为： 42．（2024高一下·重庆沙坪坝·期中）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将化为，继而将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由已知，，， 则， 而，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为： . 43．（2024·浙江·二模）已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题设将目标式化为，应用基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】，仅当时等号成立． 所以目标式最大值为. 故答案为： 44．（2024·辽宁大连·三模）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以           ， （当且仅当时取等号）， 所以的最小值为， 故答案为：. 45．（2024高二下·浙江丽水·期末）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据已知得出，求出的范围结合基本不等式消去，得到关于的二次函数，然后根据二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以， 所以，， 当且仅当时，等号成立. 因为， 所以，当时，该式有最大值，且. 所以，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用基本不等式得出，整体代换得到关于的二次函数. 46．（2024高一·全国·课堂例题）若正实数满足，则的最大值为 . 【答案】54 【分析】将原式转化为，结合三次不等式，化简可求出最大值. 【详解】由题设知，， 所以，即，当且仅当，即，时等号成立. 所以的最大值为54. 故答案为：54 47．（2024高一上·北京·阶段练习）已知a>0，b>0，a+b>2，有下列4个结论:①ab>1；②a2+b2>2；③和中至少有一个数小于1；④和中至少有一个小于2，其中，全部正确结论的序号为 . 【答案】②③④ 【解析】举例说明①错误；利用基本不等式证明②正确；利用反证法说明③④正确. 【详解】因为，满足，但不满足，故①错误； ，故②正确； 若，则由得，与矛盾，故③正确； 若，则由得与矛盾，故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查根据条件判断不等式、反证法应用、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题. 48．（2024高三·全国·专题练习）若正实数满足.则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将化为，然后利用带入可化为，最后妙用“1”可得. 【详解】已知且，整理得...① 而.将①式代入得. 又， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为 故答案为： 49．（2024高一上·全国·课后作业）正实数满足，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】将变为，即可将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数满足，所以， 则 ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为1， 故答案为：1 50．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由已知，，，则，当且仅当，时等号成立. 故答案为：. 51．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数（），则它的最小值为 . 【答案】 【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值． 【详解】由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 则的最小值为. 故答案为：. 52．（2024高二下·浙江·阶段练习）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意设，则，可得，，化简所求利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 即， 令，则， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 53．（2024高二下·上海金山·阶段练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将题给条件转化为，再利用二次函数在给定区间上的值域即可求得的最小值. 【详解】正数、满足，则 则， 又时，，则， 则的最小值为. 故答案为： 54．（2024高一下·浙江衢州·阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【分析】令，进行换元可得，，结合基本不等式运算求解. 【详解】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 55．（2024高一上·四川绵阳·阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．    (1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意得，利用基本不等式求出的最小值及时等号成立； （2）根据题意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【详解】（1）由已知可得，而篱笆总长为． 又∵，当且仅当，即时等号成立． ∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得，又∵， ∴，当且仅当x＝y，即x＝5，y＝5时等号成立． ∴的最小值是． 56．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）已知且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用作差比较法，结合已知不等式进行证明即可； （2）利用基本不等式，结合分式的运算性质进行证明即可. 【详解】（1），，且 ，又，，又， ，即； （2） ，， 当且仅当时取等号，即当且仅当时等号成立， 而由（1）可知，即， 即， ， . 57．（2024高一上·黑龙江绥化·期中）已知、是正实数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式证明出，即可证得结论成立； （2）利用配方法以及提公因式的方法可证得结论成立. 【详解】（1）证明：因为、是正实数，则， 当且仅当时，等号成立，故. （2）证明： ， 当且仅当时，等号成立，故. 58．（2024高一上·辽宁·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）由均值不等式证明， 【详解】（1）由题意得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以，即． 同理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立． 59．（2024高一·江苏·专题练习）设，求函数的最大值． 【答案】2 【分析】根据已知自变量范围应用基本不等式求乘积的最大值即可. 【详解】，且 ==2， 当且仅当，即时取等号， 故最大值为2. 60．（2024高一上·江苏宿迁·期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短? 【答案】(1) (2)km/h 【分析】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，代入数值，得到，令，则，最后写出分段函数解析式即可； （2）设通过隧道的时间为，则，分当和两种情况，结合幂函数的性质及基本不等式计算可得． 【详解】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则， 所以，所以，          所以，令，则， 所以. （2）设通过隧道的时间为，则． ①当时，． ②当时， ． 当且仅当，即时等号成立． 又， 所以当时用时最短． 答：当速度为时该车队通过该隧道用时最短． 61．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积． （2）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值． 【答案】（1）,（2） 【分析】（1）设这个矩形菜园的长为，则宽为，根据矩形的面积公式求出矩形的面积，再由基本不等式可求出其最大值； （2）设这个矩形菜园的长为，则宽为，求出这个矩形菜园的周长，再由基本不等式可求出其最小值. 【详解】（1）设这个矩形菜园的长为，则宽为，， 则这个矩形菜园的面积，当且仅当，即时，等号成立. 所以这个矩形菜园的最大面积为. （2）设这个矩形菜园的长为，则宽为，， 则这个矩形菜园的周长为， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以所用篱笆的最短值为. 62．（2024高一上·河北保定·阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．    (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 【答案】(1) (2)，118000元 【分析】 （1）根据题意，建立函数关系式即可； （2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，，且，则， 则 （2）由（1）可知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当米时，元. 63．（2024高一下·广东广州·期末）两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元， (1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函数:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小； (2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小， 【答案】（1），当汽车以的速度行驶，能使得全称运输成本最小； （2）. 【分析】（1）计算出汽车的行驶时间为小时，可得出全程运输成本为，其中，代入，，利用基本不等式求解； （2）注意到时，利用基本不等式取不到等号，转而利用双勾函数的单调性求解． 【详解】（1）由题意可知，汽车从地到地所用时间为小时， 全程成本为，. 当，时，， 当且仅当时取等号， 所以，汽车应以的速度行驶，能使得全程行驶成本最小； （2）当，时，， 由双勾函数的单调性可知，当时，有最小值， 所以，汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数解析式，并通过基本不等式进行求解，考查学生数学应用能力，属于中等题． 64．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为， （1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值； （2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值. 【答案】（1）高为，宽为时，可使广告的面积最小为；（2）高为，宽为时，可使广告的面积最小为. 【解析】（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以，表示出广告的面积，利用基本不等式求出最小值即可； （2）由题，，解得，由（1）可得，利用对勾函数的单调性可得出广告面积的最小值． 【详解】（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，所以 广告的高为，宽为(其中) 广告的面积 当且仅当，即时，取等号，此时. 故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为 （2）由题，，解得 由（1）可得 当时，广告的面积最小为 故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为 【点睛】本题考查基本不等式解决实际问题，考查基本不等式和对勾函数求最值，考查学生审题能力，属于中档题． 65．（2024高一上·广东深圳·阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元. (1)试求关于的函数解析式； (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 【答案】(1) (2)正面长度为8米,两侧长度为4米,建造费用最低,最低20000元. 【分析】（1）首先得到正面长度为米，根据题意写出总价即可. （2），利用基本不定式即可求出最值. 【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为米,则应急室正面的长度为米,于是得 （2）， 当且仅当，即时等号成立，此时在内，， 故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，最低20000元. 66．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）已知求证：； （2），，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】(1)利用比较法证明即可，(2)利用基本不等式结合不等式的性质证明. 【详解】（1）因为 ，所以； （2）因为对任意正实数有 三式相加得，当且仅当时取等， 又，故，所以 即 整理得.当且仅当时取等. 67．（2024高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知、、、是实数，求证： （2）已知，，，且，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】对不等式进行化简，利用完全平方公式、基本不等式证明即可； 【详解】证明：（1） ， 当且仅当时，取等号， 对任意实数，，，，成立． （2） 68．（2024高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用基本不等式或权方和不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】（1）方法一：∵，，∴， ∴，即， 同理可的，， 将以上各式相加得：，即. 当且仅当时，取等号. 方法二：，，， 由权方和不等式可得：， 当且仅当，即时，取等号. 方法三：，，， 由柯西不等式可得： ， ∴ ， 当且仅当时，取等号. （2）方法一：∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号. 方法二：∵，，， 由权方和不等式可得：， ∴ 当且仅当时，取等号. 方法三：∵，，， 由柯西不等式可得： ，整理得， 当且仅当时，取等号. 69．（2024高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，且． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）结合综合法以及基本不等式证得结论不等式成立. 【详解】（1） ， 当且仅当时取等号，所以． （2）由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， ∴，同理，， 由题可知上述三式等号不能同时成立． ∴， 即原不等式得证． 70．（2024高一下·甘肃兰州·期末）已知，，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】三次利用基本不等式即可得证. 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 同理：，， 当且仅当，时，等号成立， 以上三式相加得：， 当且当且仅当时，等号成立， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$