第一章 勾股定理 单元测试 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第一章《勾股定理》 综合测试题 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（　　） A．15 B．16 C．17 D．25 2．一个直角三角形的三边分别是6cm、8cm、xcm，则x＝（　　）cm． A．100cm B．10cm C．10cm或2cm D．100cm或28cm 3．以下各组数据为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．12，15，20 B． C．5，8，10 D．3，4，5 4．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 5．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 6．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 7．象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（　　） A．5 B． C． D． 8．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D．2 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则b2﹣a2的值是（　　） A．7 B．14 C．21 D．28 10．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE：AE＝3：1，正方形ABCD的面积为80．连接AC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．12 B．8 C．20 D．16 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝12，若AC＝5，则BC＝　 　． 12．如图，若圆柱的底面周长是9cm，高是12cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 　 　cm． 13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　 　米． 14．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c． （1）已知a＝6，c＝10，求b； （2）已知a＝5，b＝12，求c； （3）已知c＝25，b＝15，求a． 17．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长． 18．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4．求BD的长． 19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形网格线的交点上．求△ABC的周长及AB边上的高． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D． 求：（1）CD的长； （2）BD的长． 21．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，．求证：△ABC是“梦想三角形”． （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长． 22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级 （1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为30米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为50米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想将风筝沿CD方向下降24米至M点，求他应该往回收线的长度． 23． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 24．如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB＝DE，AB，DE交于点F，且AB⊥DE． （1）判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由； （2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，利用此图证明勾股定理． 25．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， （1）线段AC＝　 　； （2）当t＝1秒时，求△BPQ的面积； （3）当AP＝CP时，CQ＝　 　； （4）若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，直接写出t的值． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．ACDBD． 6-10．BACCD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．． 12．15． 13．24． 14．． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，其中a＝6，c＝10， ∴b8； （2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，其中a＝5，b＝12， ∴c13； （3）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，其中c＝25，b＝15， ∴a20． 17．解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝12， ∴CD9， 在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12， ∴BD5， ∴BC＝CD+BD＝9+5＝14． 18．解：（1）在Rt△AOB中， 由勾股定理得，OA24， ∵AC＝4． ∴OC＝OA﹣AC＝24﹣4＝20； 在Rt△COD中， 由勾股定理得，OD15， ∴BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8． 19．解：由题意可得BC＝3， 由勾股定理可得AC，AB5， ∴△ABC的周长为3+58， 设AB边上的高为 h，则5h＝3×3，h， ∴AB边上的高是． 20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20， 由勾股定理可得，AB25， ∴AB的长是25； ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴AC•BC＝AB•CD， ∵AC＝20，BC＝15，AB＝25， ∴20×15＝25CD， ∴CD＝12， ∴CD的长是12． （2）∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°， 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12， 由勾股定理可得，BD9， ∴BD的长为9． 21．（1）证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是BC边上的中线，， 由勾股定理得：， ∴AD＝BC， ∴△ABC是“梦想三角形”． （2）解：如图，若Rt△ABC是“梦想三角形”，有两种情况： ①当AC边上的中线时，， 此时，， ②当BC边上的中线AE＝BC时，， 此时，AC2＝AE2﹣CE2，即， 解得：BC＝4， 综上所述，BC＝3或4． 22．解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，（米）， 所以CE＝CD+DE＝40+1.6＝41.6（米）； （2）由题意得，CM＝24， ∴DM＝16， ∴（米）， ∴BC﹣BM＝50﹣34＝16（米）， ∴他应该往回收线的长度为16米． 23． 解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4， 整理得，c2＝a2+b2； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵， ∴CD； （3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴c2＝13，（b﹣a）2＝1， ∴a2+b2﹣2ab＝1， ∴2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25， 即（a+b）2的值为25． 24．解：（1）DA＝CE+BC． 理由如下： ∵AC⊥BC，AC⊥AD， ∴∠DAE＝∠ACB＝90°． 又∵AB⊥DE， ∴∠DFA＝∠EFA＝90°． ∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3． 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． ∴AC＝DA，BC＝EA． 又∵AC＝CE+EA， ∴DA＝CE+EA＝CE+BC． （2）∵， ， ∴， ∴a2+b2＝c2． 25．解：（1）∵∠B＝90°， ∴AC10， 故答案为：10； （2）∵AP＝2t＝2，BQ＝3t＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6， ∴S△BPQ9； （3）设AP＝CP＝x， 在Rt△BCP中，由勾股定理得， CP2﹣BP2＝BC2， ∴x2﹣（8﹣x）2＝62， ∴x， ∴t2， ∴点Q在AC上， ∴CQ＝5×（2）， 故答案为：； （4）（6+8+10）10，24﹣10＝14， 当0＜t＜2时，BP+BQ＝10时， 8﹣2t+3t＝10， ∴t＝2（舍去）， 当BP+BQ＝14时， 8﹣2t+3t＝14， ∴t＝6（舍去）， 当2≤t＜4时， 当AP+AQ＝10时， 2t+10﹣5（t﹣2）＝10， ∴t， 当AP+AQ＝14时， 2t+10﹣5（t﹣2）＝14， ∴t＝2， 综上所述：t＝2或 。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$