椭圆定义及性质题型归纳训练-2025届高三数学一轮复习

椭圆定义及性质题型归纳 考点1.椭圆定义 1．方程所表示的曲线为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2.如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（　　） A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 3. （多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（　　） A． B． C． D． 4. 已知椭圆1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是　 　． 5. 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（　　） A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 二、解析式 1. “方程表示椭圆”的一个必要不充分条件是 （　　） A． B． C． D．且 2. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、椭圆方程 1.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 2. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 3. 已知两圆C1：（x﹣4）2+y2＝169，C2：（x+4）2+y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 4. 已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆C的标准方程是（　　） A． B． C． D． 6.已知椭圆C：，四点，，，中恰有三点在椭圆上，则椭圆C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 7. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（　　） A． B．或 C． D．以上均不正确 三、焦点三角形 1．设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且P到两焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．钝角三角形 2.椭圆C：y2＝1（a＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意的点PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F的周长是（　　） A．2（） B． C． D．4 3.已知椭圆的左、右焦点分别是、，点在椭圆上.若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（　　） A． B． C． D．或 4.（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（　　） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 5.（多选） 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点.下列结论中，正确的有（　　） A．椭圆的长轴长为8 B．满足的面积为4的点恰有4个 C．的的最大值为16 D．直线与直线斜率乘积为定值 6.（多选）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（　　） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 四、定义式中的最值问题 设F1，F2分别是椭圆1的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（﹣1，3），则|PM|+|PF1的最大值为　　． 2．已知点P是椭圆1上一动点，Q是圆（x+3）2+y2＝1上一动点，点M（6，4），则|PQ|﹣|PM|的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2＝2和椭圆y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　） A．5 B． C．7 D．6 4．椭圆1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　　． 五、离心率求值或范围 1. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2. 已知直线与椭圆：交于两点，是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率的值为（　　） A． B． C． D． 3.已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4.已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 5. 已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（　　） A． B． C． D． 6.设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 六、性质综合 1．（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点.下列结论中，正确的有（　　） A．椭圆的长轴长为8 B．满足的面积为4的点恰有4个 C．的的最大值为16 D．直线与直线斜率乘积为定值 2．（多选）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（　　） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 3．（多选）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（　　） A．周长为14 B．面积最大值为12 C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形 4．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 5．（多选）椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．，满足的点P有两个 B．，满足的点P有四个 C．的面积的最大值 D．的周长小于 6．（多选）已知是椭圆：上任意一点，是圆：上任意一点，，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，则（　　） A．使为直角三角形的点共有4个 B．的最大值为4 C．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 D．当最大时， 七、椭圆性质应用题 1.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（　　）. A． B． C． D． 2.2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（　　） A． B． C． D． 3. 班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题： 已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（　　） A． B． C． D． 4.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（　　） A．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 B．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 C．卫星向径的取值范围是 D．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间 4.我们通常称离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ， ， ， ， 分别为左､右､上､下顶点， ， 分别为左､右焦点， 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆 为“黄金椭圆”的是（　　） A． B． C． 轴，且 D．四边形 的一个内角为 5.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（　　） A．焦距长约为150公里 B．长轴长约为3988公里 C．两焦点坐标约为 D．离心率约为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆定义及性质题型归纳 考点1.椭圆定义 1．方程所表示的曲线为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：B 解：方程， 表示点到两点的距离之和等于，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 故答案为：B. 2.如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（　　） A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 答案：C 解：点Q在线段BP的垂直平分线l上，，， 又，点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴为4的椭圆. 故答案为：C. 3. （多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（　　） A． B． C． D． 解析：解：选项A：等式表示的是点P（x，y）到点A（0，2），B（0，﹣2）的距离和为4＝|AB|， 根据椭圆的定义可知点P的轨迹不是椭圆，A错误， 选项B：等式表示的是点P（x，y）到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离的和为4＞2， 根据椭圆的定义可得点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故B正确， 选项C：等式化简为：，故C正确， 选项D：等式化简为：3x2+12x﹣y2+16＝0，显然不是椭圆的方程，故D错误， 故选：BC． 4. 已知椭圆1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是　 　． 【解答】解：由椭圆的定义可知，点M到另一个焦点F'的距离|MF'|＝2a﹣2＝2×5﹣2＝8， ∵O为FF'的中点，N是MF的中点， ∴|ON||MF'|＝4， 故答案为：4． 5. 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（　 　） A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 答案：C 解：点Q在线段BP的垂直平分线l上，，， 又，点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴为4的椭圆. 故答案为：C. 二、解析式 1. “方程表示椭圆”的一个必要不充分条件是 （　　） A． B． C． D．且 【答案】C 解：方程表示椭圆，则，解得，且， 由知，是方程表示椭圆的一个必要不充分条件. 故答案为：C. 2. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 解：因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 即实数的取值范围是， 故答案为：B. 三、椭圆方程 1.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 答案：B 2. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 答案：A 3. 已知两圆C1：（x﹣4）2+y2＝169，C2：（x+4）2+y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 解析：设动圆圆心M（x，y），半径为r， ∵圆M与圆C1：（x﹣4）2+y2＝169内切，与圆C2：（x+4）2+y2＝9外切， ∴|MC1|＝13﹣r，|MC2|＝r+3， ∴|MC1|+|MC2|＝16＞8， 由椭圆的定义，M的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆， 可得a＝8，c＝4；则 b2＝a2﹣c2＝48； ∴动圆圆心M的轨迹方程：1． 故选：D． 4. 已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 解析：由题意设椭圆的方程为，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m， 由椭圆的定义知，4m＝2a，得， 故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点，令∠OAF2＝θ（O为坐标原点），则， 在等腰三角形ABF1中，，所以，得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝a2﹣c2＝2， 椭圆c的方程为． 故选：B． 5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆C的标准方程是（　　） A． B． C． D． 答案：B 因为椭圆C的方程为：（）， 由题意可得 ，解得 ， 故椭圆方程为：。 故答案为：B. 6.已知椭圆C：，四点，，，中恰有三点在椭圆上，则椭圆C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 答案：D 根据椭圆的对称性可知，在椭圆上，不在椭圆上，在椭圆上. 将，代入椭圆方程得： ， 解得， 椭圆C的标准方程为。 故答案为：D. 7. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（　　） A． B．或 C． D．以上均不正确 答案：A 设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为。 故答案为：A 三、焦点三角形 1．设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且P到两焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．钝角三角形 解析：由椭圆，得a2＝16，b2＝12，∴c2＝a2﹣b2＝16﹣12＝4， 则F1（﹣2，0），F2（2，0）， 由椭圆的定义得：|PF1|+|PF2|＝2a＝8 ①， 又P到两焦点的距离之差为2， 不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2 ②， 联立①②得：|PF1|＝5，|PF2|＝3， 又|F1F2|＝2c＝4，∴， ∴△PF1F2是直角三角形． 故选：A． 2.椭圆C：y2＝1（a＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意的点PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F的周长是（　　） A．2（） B． C． D．4 【解答】解：依题意，椭圆C：y2＝1（a＞0）的焦点在x轴，作图如下： ∵点M、N分别为PF1，PF2的中点， ∴|OM||PF2|，|ON||PF1|， 又四边形OMPN的周长为2， ∴2（|PF2||PF1|）＝|PF2|+|PF1|＝2， 即2a＝2， ∴a，又b＝1， ∴c，即|F1F2|＝2c＝2， ∴△PF1F2的周长l＝|PF2|+|PF1|+|F1F2|＝22＝2（）． 故选：A． 3.已知椭圆的左、右焦点分别是、，点在椭圆上.若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（　　） A． B． C． D．或 答案：C 【解析】【解答】在椭圆中，，，， 将代入椭圆方程可得，可得， 所以，当或是直角顶点时，点到轴的距离为； 设，，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故必为锐角， 综上所述，点到轴的距离为。 故答案为：C. 4.（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（　　） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 答案：A,C,D 解：对于A，椭圆：，的最大值为3，最小值为1， 由椭圆的几何性质可得：，，故，故A正确； 对于B，的周长为，故B错误； 对于C，若，则， 即，故， 故，故C正确； 对于D，由余弦定理 ， 化简可得，解得， 故，故D正确； 故答案为：ACD. 5.（多选） 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点.下列结论中，正确的有（　　） A．椭圆的长轴长为8 B．满足的面积为4的点恰有4个 C．的的最大值为16 D．直线与直线斜率乘积为定值 答案：A,B,C 解：A选项，由 椭圆 可得a=4，b=2，则 所以椭圆长轴长为：2a=8 B选项，设P(x1，y1)，则， 解得，代入椭圆方程中得 根据椭圆对称性，可知这样的P点有4个； C选项，根据椭圆定义得 则，当且仅当时取等号，故C正确； D选项，A(-4，0)，B(4，0)，设，则代入椭圆方程得 所以，故D错误， 故答案为：ABC. 6.（多选）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（　　） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 答案：A,D 对A，根据椭圆定义可得，则①， 在中，由余弦定理②， 由①②可得，所以的面积为，A符合题意； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，B不符合题意； 对C，由A，的面积为，则，解得，C不符合题意； 对D，设内切圆的半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，D符合题意. 故答案为：AD. 四、定义式中的最值问题 设F1，F2分别是椭圆1的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（﹣1，3），则|PM|+|PF1的最大值为　15　． 解析：由题意F2（3，0），|MF2|＝5，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|＝2a+|PM|＝|PF2|＝10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|＝15， 当且仅当P，F2，M三点共线时取等号， 故答案为：15． 2．已知点P是椭圆1上一动点，Q是圆（x+3）2+y2＝1上一动点，点M（6，4），则|PQ|﹣|PM|的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解析：由椭圆1，得两个焦点分别F1（﹣3，0），F2（3，0）． 由圆（x+3）2+y2＝1，得圆心坐标为（﹣3，0），半径为1， 又点M（6，4）， 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝10， ∴|PQ|≤|PF1|+1＝10﹣|PF2|+1＝11﹣|PF2|， 又， 则|PQ|﹣|PM|≤11﹣|PF2|﹣|PM|＝11﹣（|PF2|+|PM|） ≤11﹣|MF2|＝11﹣5＝6， ∴|PQ|﹣|PM|的最大值为6． 故选：C． 3．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2＝2和椭圆y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　） A．5 B． C．7 D．6 解析：设椭圆上的点为（x，y）， ∵Q为椭圆y2＝1上的点， ∴﹣1≤y≤1， ∵圆x2+（y﹣6）2＝2的圆心为（0，6），半径为， ∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为5， ∴P，Q两点间的最大距离是56． 故选：D． 4．椭圆1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　　． 解析：根据题意，设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：l＝AB+AF+BF＝AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）＝4a+AB﹣（AE+BE）；又由AE+BE≥AB；则AB﹣AE﹣BE＝AB﹣（AE+BE）≤0，即当AB过点E时取等号；又由椭圆1，其中a＝3，b，则c＝2，则当x＝m＝2时，△FAB的周长最大，此时AB＝2， 此时EF＝2c＝4，则S△FAB|EF|×|AB|；故答案为：． 五、离心率求值或范围 1. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案：A 解：根据题意可知：的面积为，因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，即，解得又因为点在椭圆上，所以，即，两边平方可得：，根据 代入整理得：，不等式两边同时除以，可得：，解得：，所以椭圆的离心率取值范围为. 故答案为：A. 2. 已知直线与椭圆：交于两点，是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率的值为（　　） A． B． C． D． 答案：D 解：如图， 取椭圆的左焦点，连接， 由椭圆的对称性可知，， 因为，， 所以在直角三角形ABF 中，， 又因为两点所在直线，即斜率为，故， 所以为等边三角形，故， 由勾股定理得，故， 由椭圆定义可知，即， 故. 故答案为：D. 3.已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案：D 解：设，，则有 ，即， ∵，且， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∵恒成立， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：D. 4.已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 答案：B 解：令直线AB倾斜角为， 如图则在焦点三角形中由余弦定理以及椭圆定义可得 即 整理得 同理得 本题中可以先令，而 则 整理得，即 两边同时平方 则 所以由题可得，则 故答案为：B. 5. 已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（　　） A． B． C． D． 答案：B 由题意，可得，由，则， 又由点M在椭圆上，可得，即，所以. 故选：B. 6.设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案：B 根据双曲线方程可得，其渐近线方程为， 又因为，且渐近线的斜率小于，即； 所以，椭圆的离心率 即离心率e的取值范围是. 故答案为：B 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 答案：B 解：设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且 又， 则 由于，所以 于是可得，，所以椭圆C的离心率. 故答案为：B. 8．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 答案：D 解：在 中， 设 ，则 ， 又由椭圆定义可知 则离心率 ， 故答案为：D. 六、性质综合 1．（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点.下列结论中，正确的有（　　） A．椭圆的长轴长为8 B．满足的面积为4的点恰有4个 C．的的最大值为16 D．直线与直线斜率乘积为定值 答案：A,B,C 解：A选项，由 椭圆 可得a=4，b=2，则 所以椭圆长轴长为：2a=8 B选项，设P(x1，y1)，则， 解得，代入椭圆方程中得 根据椭圆对称性，可知这样的P点有4个； C选项，根据椭圆定义得 则，当且仅当时取等号，故C正确； D选项，A(-4，0)，B(4，0)，设，则代入椭圆方程得 所以，故D错误， 故答案为：ABC. 2．（多选）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（　　） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 答案：A,D 对A，根据椭圆定义可得，则①， 在中，由余弦定理②， 由①②可得，所以的面积为，A符合题意； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，B不符合题意； 对C，由A，的面积为，则，解得，C不符合题意； 对D，设内切圆的半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，D符合题意. 故答案为：AD. 3．（多选）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（　　） A．周长为14 B．面积最大值为12 C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形 答案：B,C,D 因为椭圆E：，所以，则， 对于A，不妨设，则，又， 所以周长为，A不符合题意； 对于B，因为当点在轴上时，点到的距离最大，且最大值为， 所以，即面积最大值为12，B符合题意； 对于C，假设存在点P使得，则， 又，所以，则， 所以是方程的两根，显然，方程有两解， 所以存在点P使得，C符合题意； 对于D，当时，，显然，所以不是直角三角形； 当时，，显然，所以不是直角三角形； 同理：当时，也不是直角三角形； 综上：不可能是等腰直角三角形，D符合题意. 故答案为：BCD. 4．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 答案：B,C,D 根据题意： ， ， ， 的周长为 ，A不符合题意； 面积的为 ，当 在上下顶点时等号成立，B符合题意； 设 ，则 ， ，故 ，C符合题意； ，设 ， ， 则 ，故 的取值范围为 ，D符合题意. 故答案为：BCD. 5．（多选）椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．，满足的点P有两个 B．，满足的点P有四个 C．的面积的最大值 D．的周长小于 答案：A,C,D 记椭圆C的上、下顶点分别为，易知. A中，，，正确； B中，，不存在90°的，错误； C中，面积，正确； D中，周长，正确. 故答案为：ACD 6．（多选）已知是椭圆：上任意一点，是圆：上任意一点，，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，则（　　） A．使为直角三角形的点共有4个 B．的最大值为4 C．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 D．当最大时， 答案：A,D 因为椭圆：，所以， 以为直径的圆的方程，与椭圆有4个交点， 由有：，解得， 所以使为直角三角形的点共有4个，A符合题意； 若为钝角，则点的横坐标的取值范围为，C不符合题意； 由圆：有：，， 设椭圆：上任意一点， 则， 所以 ，故的最大值为，B不符合题意； 如图，当最大时，与圆M相切，由勾股定理有： ，因为，， 所以，D符合题意. 故答案为：AD. 七、椭圆性质应用题 1.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（　　）. A． B． C． D． 答案：C 解：设椭圆标准方程为，则， 可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为， 故离心率， 则，，， 由，则. 故答案为：C. 2.2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（　　） A． B． C． D． 答案：D 解：由题意知即所以 故答案为：D. 3. 班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题： 已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（　　） A． B． C． D． 答案：C 解：由题意可知，椭圆C的方程为，直线l与椭圆C切于点P，且， 由椭圆定义可得， 由光学性质可知，为的角平分线， 所以. 故答案为：C. 4.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（　　） A．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 B．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 C．卫星向径的取值范围是 D．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间 答案：D 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆轨道越扁，A符合题意； 因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B符合题意； 由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，C符合题意； 当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，D不正确， 故答案为：D． 4.我们通常称离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ， ， ， ， 分别为左､右､上､下顶点， ， 分别为左､右焦点， 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆 为“黄金椭圆”的是（　　） A． B． C． 轴，且 D．四边形 的一个内角为 答案：B ∵椭圆 ∴ 对于A，若 ，则 ，∴ ，∴ ，不满足条件，A不符合条件； 对于B， ，∴ ∴ ，∴ ∴ ，解得 或 （舍去），B符合条件； 对于C， 轴，且 ，∴ ∵ ∴ ，解得 ∵ ，∴ ∴ ，不满足题意，C不符合条件； 对于D，四边形 的一个内角为 ，即 即三角形 是等边三角形，∴ ∴ ，解得∴ ，D不符合条件． 故答案为：B． 5.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（　　） A．焦距长约为150公里 B．长轴长约为3988公里 C．两焦点坐标约为 D．离心率约为 答案：D 设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为. 依题意可得月球半径约为 ， ， ， ， ， ， 椭圆的离心率约为 ， 可得结论D项正确，A、B项错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误. 综上可知，正确的为D， 故答案为：D 学科网（北京）股份有限公司 $$