2.3.2 抛物线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 3.2　抛物线的简单几何性质 课标定位 素养阐释 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质. 2.通过对抛物线的简单几何性质的学习,进一步体会数形结合思想在解题中的应用,并能应用几何性质解决有关问题. 自主预习 新知导学 抛物线的简单几何性质 【问题思考】 1.类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象(图略),说出抛物线y2=2px(p>0)的下列性质: (1)抛物线y2=2px(p>0)的范围是什么? 提示:x≥0,y∈R. (2)抛物线y2=2px(p>0)的对称轴是什么?是否存在对称中心? 提示:对称轴为x轴,不存在对称中心. (3)抛物线的顶点有几个?顶点坐标是什么? 提示:只有一个顶点,坐标为(0,0). (4)抛物线的离心率是多少? 提示:e=1. 2.抛物线的简单几何性质 表2-3-2 3.若抛物线y2=2px上一点的横坐标为6,这点到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离是(　　). A.4 B.8 C.16 D.32 解析:由抛物线的性质,可知10=6+ ,则p=8. 所以焦点到准线的距离是8. 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)抛物线关于顶点对称.(　　) (2)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　) (3)抛物线的离心率均为1,所以抛物线形状都相同.(　　) (4)焦点与准线间的距离p决定抛物线的张口大小,即决定抛物线的形状. (　　) × √ × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 抛物线的标准方程与几何性质 【例1】 已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2 ,求抛物线的方程. 探究一 探究二 探究三 规范解答 抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练1】 如图2-3-2,正三角形OAB的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长. 图2-3-2 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 抛物线过焦点的弦的问题 【例2】 如图2-3-3,已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)取线段AB的中点M,若|AB|=9,求点M到准线的距离. 图2-3-3 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 若本例题改为:如图2-3-4,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.如何求解? 图2-3-4 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.抛物线过焦点的弦的问题的解法 (1)与过焦点的弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解. (2)与过焦点的弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数的关系求解. (3)求过焦点的弦的长度可以利用两点间的距离公式,也可以利用弦长公式,但由于弦过焦点,因此可结合抛物线的定义得出弦长.以抛物线y2=2px(p>0)为例,过抛物线的焦点F作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦长为x1+x2+p,同时由弦长x1+x2+p≥ +p=2p,当且仅当x1=x2时,取“=”知,通径是所有弦中最短的弦. 探究一 探究二 探究三 规范解答 2.抛物线中过焦点的弦的常见结论 如图2-3-5,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦, 设点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点M(x0,y0),准线为l. (1)以AB为直径的圆必与准线l相切. (2)|AB|= (焦点弦长与中点关系). (3)|AB|=x1+x2+p. (4)若直线AB的倾斜角为α,则 当α=90°时,AB叫作抛物线的通径,是所有过焦点的弦中最短的. (5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2= ,y1y2=-p2. 图2-3-5 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练2】 过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. (1)如果x1+x2=7,求线段AB的长; (2)若直线AB的倾斜角为60°,求线段AB的长. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 抛物线的实际应用 【例3】 如图2-3-6,花坛水池中央有一喷泉,水管|O'P|=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1 m) 答图2-3-6 探究一 探究二 探究三 规范解答 解:如图2-3-5,建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x2=-2py(p>0). 依题意有P'(1,-1)在此抛物线上,将P' (1,-1)的坐标代入 x2=-2py得p= . 故抛物线方程为x2=-y. 答图2-3-5 探究一 探究二 探究三 规范解答 在建立抛物线的方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标 轴建立平面直角坐标系,这样可使得方程不含常数项,形式更为简单,便于计算. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练3】 一条隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段围成,为保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m. 图2-3-7 (1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在 的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图), 求该抛物线的方程; (2)若行车道总宽度|AB|为7 m,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.(精确到0.1 m) 探究一 探究二 探究三 规范解答 解:如答图2-3-6. (1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0), 由图知,因为点C(5,-5)在抛物线上, 所以该抛物线的方程为x2=-5y. (2)设车辆的高为h m, 则|DB|=h+0.5, 故D(3.5,h-6.5), 代入方程x2=-5y, 解得h=4.05, 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m. 答图2-3-6 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范解答 利用抛物线中的对称性求参数的取值范围 【典例】 若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)(m≠0)对称的两点,求实数m的取值范围. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.解答本题需把握三个关键步骤 (1)由题意设出与直线y=m(x-3)(m≠0)垂直且与抛物线y=x2有两个交点的直线方程,联立后得出Δ=1+4m2b>0. (2)利用线段AB的中点既在线段AB上,又在题中所给直线上,用m表示b. (3)代入Δ=1+4m2b转化为关于m的三次不等式. 2.若A,B两点关于直线对称,则线段AB与这条直线垂直,且线段AB的中点在这条直线上,即这条直线是线段AB的垂直平分线.解决对称问题应注意充分利用条件,如斜率和截距等,同时还应注意各量之间的关系. 探究一 探究二 探究三 规范解答 随堂练习 1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　). A.x2=±3y B.y2=±6x C.x2=±12y D.x2=±6y 解析:由题意知抛物线方程为x2=±2py,且 =3,即p=6,因此抛物线方程为x2=±12y. 答案:C 2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线C上一点,|AF|= x0,则x0=(　　). A.1 B.2 C.4 D.8 答案:A 3.已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为(　　). A.(2,1) B.(-2,1) 解析:根据抛物线的定义,点P到焦点的距离等于点P到准线的距离,所以要求点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小,只需求点P到点Q(1,2)的距离与点P到准线的距离之和最小,过点Q(1,2)作准线的垂线,交抛物线于点P,此时距离之和最小,点P的坐标为 答案:D 答案:ACD 5.已知圆(x-2)2+y2=42与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=　　　　　.  答案:4 6.给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a≥0,P是抛物线上一点,试求|PA|的最小值. 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 对称轴 x轴 y轴 顶点坐标 (0,0) 离心率 e=1 开口方向 向右 向左 向上 向下 解:设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),抛物线与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2. 由圆与抛物线的对称性知,y2=-y1,代入上式,得y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px上,点(-1,)在抛物线y2=-2px上,可得p=. 于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x. 解:设正三角形OAB的顶点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则=2px1,=2px2. 由|OA|=|OB|,得, 即(x1+x2)(x1-x2)=2px2-2px1. ∴(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1-x2=0,即x1=x2. 由此可知|y1|=|y2|,即点A,B关于x轴对称, ∴AB⊥x轴,∠AOx=30°,∴=tan 30°=. ∵x1=,∴y1=2p,|AB|=2y1=4p. ∴这个正三角形的边长为4p. 解:(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=.又因为过点F,所以直线l的方程为y=.联立消去y,得x2-5x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5.而|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3=9,则x1+x2=6. 于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以点M到准线的距离为3+. 故当点P的坐标为时,△PAB的面积取得最大值,最大值为. 解:由解得 由题图可知,A(4,4),B(1,-2),则|AB|=3. 设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,则d=|(y0-1)2-9|.∵-2<y0<4, ∴(y0-1)2-9<0.∴d=[9-(y0-1)2]. 从而当y0=1时,d取最大值,且dmax=, 故△PAB面积的最大值为×3. 2+p 2 |AB|=. (6)为定值. 解:(1)由抛物线的方程得=1,则根据抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+1+x2+1=7+2=9. (2)因为抛物线的焦点是(1,0),所以直线AB的方程为y=(x-1),与抛物线方程联立消去y得3x2-10x+3=0,所以x1+x2=,从而|AB|=x1+x2+p=+2=. 点B在抛物线上,将B(x,-2)的坐标代入抛物线方程得x=,即|AB|=,则|AB|+1=+1, 因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5 m, 即水池的直径至少应设计为5 m. 规范展示　设直线l:y=-x+b与y=x2的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 线段AB的中点为M(x0,y0). 由得mx2+x-mb=0. 则Δ=1+4m2b>0,x1+x2=-, 于是x0==-,y0=-+b=+b.因为点M在直线y=m(x-3)上, 所以+b=m, 所以b=--3m-. 又因为Δ=1+4m2b=1+4m2(--3m-)=-12m3-2m2-1>0,所以12m3+2m2+1<0,即(2m+1)(6m2-2m+1)<0.因为6m2-2m+1恒大于0,解得m<-.故实数m的取值范围为. 解析:抛物线C:y2=x的焦点为F,因为A(x0,y0)是抛物线C上一点,|AF|=x0,所以x0=x0+,解得x0=1. C. D. . 4.(多选题)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,O为坐标原点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则(　　). A.C的准线方程为x=-4 B.点F的坐标为(0,4) C.|FN|=12 D.三角形ONF的面积为16 解析:由题意,抛物线的准线方程为x=-,则圆心(2,0)到准线的距离d=2+=4,解得p=4. 解:设P(x,y),则|PA|=. ∵a≥0,x≥0,∴若0≤a<1,即a-1<0, 则当x=0时,|PA|取最小值a; 若a≥1,即 a-1≥0, 则当x=a-1时,|PA|取最小值. 综上,当0≤a<1时,|PA|的最小值为a;当a≥1时,|PA|的最小值为. $$