2.4.1 直线与圆锥曲线的交点课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版 数学 选择性必修第一册 第二章　圆锥曲线 4.1　直线与圆锥曲线的交点 课标定位 素养阐释 1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系. 2.掌握求解有关直线与圆锥曲线问题的方法. 3.加强数形结合思想方法的训练与应用,培养学生的直观想象和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、直线与圆锥曲线的交点 【问题思考】 1.(1)联立直线方程与椭圆方程得到二次方程,讨论其判别式时是否需要讨论x2项的系数是不是零?为什么? 提示:不需要,因为x2项的系数恒大于零. (2)联立直线方程与双曲线方程或抛物线方程得到二次方程,讨论其判别式时是否需要讨论x2项的系数是不是零?为什么? 提示:需要讨论,因为x2项的系数可能等于零. 提示:3条. 3.直线l:x-y+2=0与双曲线C:x2-4y2=4的交点坐标为　　　　　　　　　　.  二、直线与圆锥曲线的位置关系 【问题思考】 1.(1)若直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切.正确吗? 提示:正确. (2)若直线与抛物线有一个公共点,则直线与抛物线一定相切吗? 提示:不一定.当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一个交点. 2.直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线M的方程为f(x,y)=0,则由 (1)当a≠0时有: (2)当a=0时,方程ax2+bx+c=0只有一个解,即直线与圆锥曲线只有一个公共点,此时该直线与圆锥曲线不是相切,而是相交. 位置关系 公共点个数 方程 相交 2 Δ > 0 相切 1 Δ = 0 相离 0 Δ < 0 表2-4-1 3.已知直线y=kx-1与椭圆 相切,则k,a之间的关系式为(　　). A.4a+4k2=1 B.4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1 答案:D 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)平面内到定点与到定直线距离的比为常数的点的轨迹是圆锥曲线. (　　) (3)若直线与圆锥曲线只有一个公共点,则直线与圆锥曲线必相切.(　　) (4)直线与椭圆有一个公共点的充要条件是它们组成的方程组有唯一解. (　　) × × × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 直线与圆锥曲线的交点 【例1】 已知双曲线的焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3). (1)求该双曲线的标准方程; (2)若直线l经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线l与双曲线的交点坐标. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 判断直线与圆锥曲线是否有交点,可以利用判别式,而要求出交点坐标,则只能联立方程组,通过解方程组来求解. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 答案:C 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 根据交点个数求参数的取值范围 【例2】 (1)判断直线l:y= x+2和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点. (2)当k为何值时,直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C: (1)有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点,此时直线l与抛物线C相交; ②当Δ=0,即k=1时,直线l与抛物线C有一个公共点,此时直线l与抛物线C相切; ③当Δ<0,即k>1时,直线l与抛物线C没有公共点,此时直线l与抛物线C相离. 综上所述, (1)当k=1或k=0时,直线l与抛物线C有一个公共点; (2)当k<1且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点; (3)当k>1时,直线l与抛物线C没有公共点. 探究一 探究二 探究三 规范解答 2.已知直线l:y=kx+2,双曲线C:x2-4y2=4,求当k为何值时: (1)直线l与双曲线C无公共点; (2)直线l与双曲线C有唯一的公共点; (3)直线l与双曲线C有两个不同的公共点. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系,当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交;当Δ=0时,直线与圆锥曲线相切;当Δ<0时,直线与圆锥曲线相离. 2.联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是不是零. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练2】 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的取值范围. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 圆锥曲线中的最值 探究一 探究二 探究三 规范解答 答图2-4-1 探究一 探究二 探究三 规范解答 求圆锥曲线中范围、最值的两种方法 (1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来求解. (2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值、范围. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练3】 设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A,B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范解答 直线与椭圆位置关系的应用 图2-4-1 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查,解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等,然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化,这其中要注意利用判别式来确定参数的限制条件. 探究一 探究二 探究三 规范解答 随堂练习 1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有(　　). A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:易知点(2,4)在抛物线上,从而这样的直线有2条,1条为切线,1条与x轴平行. 答案:B A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:因为直线过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆必相交. 答案:A 答案:BD 答案:6 6.已知椭圆x2+4y2=4,直线l:y=x+m. (1)若直线l与椭圆x2+4y2=4有一个公共点,求m的值; (2)若直线l与椭圆x2+4y2=4相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. (3)过点(2,0)能作几条和双曲线=1仅有一个交点的直线? 2.已知直线C1:F(x,y)=0,圆锥曲线C2:G(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点⇔ 解析:由得3x2+16x+20=0,解得x1=-,x2=-2,则y1=x1+2=-, y2=x2+2=0,故两交点坐标为(-,-),(-2,0). 答案:,(-2,0) 消去y,可得ax2+bx+c=0. =1 解析:由得(4k2+a)x2-8kx+4-4a=0.因为直线y=kx-1与椭圆 =1相切,所以Δ=(-8k)2-4(4k2+a)(4-4a)=0,即16a(4k2+a-1)=0.因为a>0,所以4k2+a-1=0,即4k2+a=1. (2)对于双曲线=1,右支上的点满足“平面内到定点F(4,0)与到定直线l:x=的距离的比等于”,左支上的点不满足.(　　) 解:(1)由题意设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). 由已知可得左、右焦点F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),则|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1, 又因为c=2,所以b=, 所以双曲线的标准方程为x2-=1. (2)由题意可知,直线l的方程为y=x-2, 联立消去y,得2x2+4x-7=0,解得x=或x=,所以直线l与双曲线的交点坐标为()和(). 【变式训练1】 直线y=x+1被椭圆=1截得的线段的中点坐标是(　　). A.() B.() C.(-) D.(-,-) 解析:设截得的线段两端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),中点为(x0,y0),由消去y,整理得3x2+4x-2=0,则Δ=42+4×6>0,x1+x2=-, 所以x0==-,y0=x0+1=. 故所求中点坐标为(-). 解:(1)由 得2x2+3=6,即x2+2x+6=0. Δ=(2)2-4××6=24-60=-36<0. 因此直线与椭圆没有公共点. (2)由得2x2+3(kx+2)2=6,即(2+3k2)x2+12kx+6=0,Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48. 当Δ=72k2-48>0,即k>或k<-时,直线和椭圆有两个公共点; 当Δ=72k2-48=0,即k=或k=-时,直线和椭圆有一个公共点; 当Δ=72k2-48<0,即-<k<时,直线和椭圆没有公共点. 解:直线l的方程与抛物线C的方程联立得得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*) 当k=0时,方程变为-4x+1=0,x=,此时y=1, 故直线l与抛物线C只有一个公共点,此时直线l平行于x轴. 当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k. 解:将y=kx+2代入双曲线C的方程并整理,得(1-4k2)x2-16kx-20=0.① 当1-4k2≠0时,Δ=(-16k)2-4(1-4k2)·(-20)=16(5-4k2). (1)当即k<-或k>时,直线l与双曲线C无公共点. (2)当1-4k2=0,即k=±时,方程①只有一个解; 当1-4k2≠0且Δ=0,即k=±时,方程①有两个相同的解.故当k=±或k=±时,直线l与双曲线C有唯一的公共点. (3)当即-<k<且k≠±时,方程①有两个不同的解,此时直线l与双曲线C有两个不同的公共点. 解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1, 化简整理得y2=2(|x|+x). 故点M的轨迹C的方程为y2= (2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2). 由方程组 可得ky2-4y+4(2k+1)=0.① 当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(,1). 当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).② 设直线l与x轴的交点为(x0,0), 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③ 当x0≤0时,Δ<0,由②③解得k<-1,或k>. 即当k∈(-∞,-1)∪(,+∞)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 当x0>0时,Δ=0,由②③知,k不存在. 综上所述,当k∈(-∞,-1)∪(,+∞)∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 【例3】 设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,一个外切. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程; (2)已知M(),F(,0),且P为轨迹L上的一个动点.求||MP|-|FP||的最大值. 解:(1)设两圆的圆心分别为A(-,0),B(,0),半径均为2,设圆C的半径为r. 由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2或|CA|=r+2,|CB|=r-2,两式相减得|CA|-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4<|AB|=2. 则圆C的圆心轨迹为双曲线,其中2a=4,c=,b2=1.故圆C的圆心轨迹L的方程为-y2=1. (2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点,如答图2-4-1, 连接MF并延长交双曲线于一点P,此时 |MP|-|FP|=|MF|为||MP|-|FP||的最大值.又因为|MF|==2, 所以||MP|-|FP||的最大值为2. (1)证明:a2>; (2)若=2,求△OAB面积的最大值. (1)证明:由题意,知直线l显然不平行于坐标轴,将y=k(x+1)化为x=y-1. 将x=y-1代入x2+3y2=a2,消去x,得(+3)y2-y+1-a2=0.① 因为直线l与椭圆相交于两个不同的点, 所以Δ=-4(+3)(1-a2)>0, 化简整理得a2>. (2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知C(-1,0). 由(1),知y1+y2=.② 因为=(-1-x1,-y1),=(x2+1,y2), 由=2,得y1=-2y2.③ 由②③联立,解得y2=. △OAB的面积为|OC|·|y1-y2|=|y2|=,当且仅当=3|k|,即k2=时,上式等号成立,此时,△AOB的面积的最大值为. 【典例】 如图2-4-1,已知椭圆E:=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由. 分析 (1)由椭圆经过点(0,)及离心率e=,再结合a2=b2+c2即可求出a,b,c的值,从而可得椭圆E的方程. (2)判断点与圆的位置关系,只需判断的符号,若=0,则点G在圆上;若>0,则点G在圆外;若<0,则点G在圆内. 规范展示　(1)由已知得,解得 故椭圆E的方程为=1. (2)点G在以线段AB为直径的圆外. 理由:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1+,y1),=(x2+,y2). 由得(m2+2)y2-2my-3=0,则y1+y2=,y1y2=-,从而=x1+x2++y1y2=my1+my2++y1y2= =(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+>0,所以 cos<>>0.又因为不共线,所以∠AGB为锐角. 故点G-,0在以线段AB为直径的圆外. 2.直线y=kx-k+1与椭圆=1的位置关系为(　　). 3.(多选题)双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2.若直线上存在点P,使|PF2|=|PF1|+6,则满足条件的直线有(　　). A.5x-3y=0 B.x-y-4=0 C.5x-3y-52=0 D.4x-3y+15=0 4.若直线kx-y+3=0与椭圆=1有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是　 .  解析:由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个不同的公共点. 答案:(-∞,-)∪(,+∞) 5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则的最大值为　　　　　.  解析:由=1可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x≤2,则= x2+x+y2 =x2+x+3(1-)=x2+x+3=(x+2)2+2, 所以当x=2时,取得最大值,且最大值为6. 解:(1)由消去y,并整理得5x2+8mx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆x2+4y2=4有一个公共点, 所以Δ=80-16m2=0,解得m=±. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1+y2=x1+x2+2m,y1y2=(x1+m)(x2+m), 所以|PQ|= , 由(1)知x1+x2=-m,x1x2=, 则|PQ|==2,故m=±. $$