3.1 不等式的基本性质6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 3.1 不等式的基本性质6题型分类 知识点1 符号法则与比较大小 1.实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 3.比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 注：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识02 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 注：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点3 比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． （一） 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1-1．（2024高一·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 1-3．（2024高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． （二） 作差法比较大小的步骤 题型2：作差（商）法比较两数（式）的大小 2-1．（2024高一上·上海松江·期末）设、为实数，比较两式的值的大小： （用符号或=填入划线部分）． 2-2．（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 2-3．（2024高一上·天津津南·阶段练习）若，，则与的大小关系是 ． 2-4．（2024高一上·广西桂林·阶段练习）设，则与的大小关系为： （用“”、“”、“”填写）. 2-5．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. （三） 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 题型3：利用不等式的性质比较大小 3-1．（上海市宝山区2023-2024学年高一下学期期末数学试题）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一上·上海静安·期中）已知，，则，，由小到大依次排列是 ． 3-3．（2024高一下·湖南·开学考试）如果，那么 （填“>”或“”）. 3-4．（2024高一上·浙江台州·期中）已知，，判断a，b大小关系 .（填“>、=、<”） 题型4：利用不等式的性质判断命题真假 4-1．【多选】（2024高一上·云南昆明·期中）对于任意实数，，，，以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 4-2．【多选】（2024高一上·云南红河·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4-3．（2024高一·全国·单元测试）下列不等式中，不成立的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，若；⑥若，则； ⑦若，，则；⑧若，，则． 4-4．【多选】（2024高一上·四川南充·阶段练习）如果，则下列选项不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （四） 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有；；．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 题型5：利用不等式的性质证明不等式 5-1．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，求证：. 5-2．（2024高一上·北京西城·阶段练习）已知，求证 5-3．（2024高一·全国·课后作业）设，，，，，证明：． 5-4．（2024高一上·全国·课后作业）证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． （五） 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知，要求的范围，不能分别求出的范围，再求的范围，应把已知的“”“”视为整体，即，所以需分别求出的范围，两范围相加可得的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 题型6：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 6-1．（2024高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的取值范围是 . 6-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 6-3．（2024高一下·广东揭阳·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的为（    ） A．与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃” 2．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·黑龙江牡丹江·课后作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2024高二上·广东广州·期末）若实数x，y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是（    ） A．(-∞,5] B．(-∞,7] C．[7,+∞) D．[5,+∞) 6．（2024高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 7．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023版湘教版（2019）必修第一册突围者第2章易错疑难集训）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·福建福州·阶段练习）为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（    ） A．20 B．22 C．26 D．28 11．（2024高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2024高一下·浙江·期中）如果，那么下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 13．（2024高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·广东佛山·期末）已知，，则（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．ab的取值范围为 D．的取值范围为 15．（2024·云南昭通·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·浙江台州·期中）已知为实数，若，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一上·四川成都·阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 19．（2024高一上·湖北十堰·期中）若正数满足，则的值可能为（    ） A．10 B．12 C． D． 20．（2024高二下·江西九江·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·福建厦门·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 22．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 23．（2024高一·全国·单元测试）若，，则 0．（填“”、“”或“”） 24．（2024高一上·北京西城·阶段练习）有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是．已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是 . 25．（2024高一上·云南怒江·期末）已知，，则的取值范围是 . 26．（2024·山东·模拟预测）已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”). 27．（2024高一上·江西赣州·周测）若α，β满足，则的取值范围是 28．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 ． 29．（2024高三·全国·专题练习）若,,则的取值范围是 . 30．（2024高三上·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 31．（2024高一上·重庆万州·阶段练习）若实数满足，，则的取值范围为 ． 32．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）若，则的取值范围是 . 33．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知，则的取值范围是 . 34．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）已知实数，满足且，则的取值范围是 . 35．（2024高一上·北京房山·期中）若a，b同时满足下列两个条件： ①；②． 请写出一组a，b的值 ． 36．（2024高一·全国·课后作业）比大小： ． 37．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）若，，则的取值范围是 . 38．（2024高一上·青海海南·阶段练习）若，则 .（填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”） 39．（2024高三·全国·专题练习）已知，，的取值范围是 40．（2024高一上·上海黄浦·期中）已知，，则的取值范围是 ． 41．（江苏省扬州市仪征中学2023-2024学年高三下学期3月学情测试数学试题）若，则的取值范围为 ． 42．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 43．（2024高一下·青海玉树·期末）已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 44．（2024高一上·吉林·阶段练习）若实数，满足，则的取值范围为 ． 45．（2024高三·全国·对口高考）已知，求的取值范围 ． 四、解答题 46．（2024高一上·河北石家庄·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，求证：； 47．（2024高一上·全国·课后作业）用综合法证明:如果，那么 48．（2024高一·全国·课堂例题）（1）已知，，试求与的取值范围； （2）已知，，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围. 49．（2024高一上·河北保定·阶段练习）（1）比较和的大小； （2）已知，，求和的取值范围； 50．（2024高一·全国·课后作业）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 51．（2024高一上·全国·课后作业）已知三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，能组成哪几个正确的不等式？ 52．（2024高一上·全国·课后作业）（1）已知，求证：； （2）若.求证：. 53．（2024高一上·内蒙古呼和浩特·期中）证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 54．（2024高一上·辽宁朝阳·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 55．（2024高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 56．（2024高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 57．（2024高一上·广东深圳·期中），，，为四个互不相等的实数.若A､B､C､D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A､B､C､D中最小的数. 58．（2024高一上·河南洛阳·阶段练习）解答下列问题 (1)设，，，比较与的大小； (2)已知，，求的取值范围. 59．（2024高一上·山东德州·阶段练习）已知，. (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围. 60．（2024高一上·辽宁营口·阶段练习）（1）已知，求与的取值范围； （2）已知，试求的取值范围 61．（2024高一·全国·课后作业）比较大小： (1)和； (2)和，其中． 62．（2024高一上·上海普陀·阶段练习）设、为正实数，试比较与的值的大小，并说明理由． 63．（2024高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 3.1 不等式的基本性质6题型分类 知识点1 符号法则与比较大小 1.实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 3.比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 注：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识02 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 注：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点3 比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． （一） 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1-1．（2024高一·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据工资预算以及工人工资列出不等式. 【详解】依题意，请工人满足的关系式是， 即. 故选：D 1-2．（2024高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案. 【详解】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误. 故选：B. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得． 故选：B． （二） 作差法比较大小的步骤 题型2：作差（商）法比较两数（式）的大小 2-1．（2024高一上·上海松江·期末）设、为实数，比较两式的值的大小： （用符号或=填入划线部分）． 【答案】 【分析】利用作差比较法求得正确答案. 【详解】因为，时等号成立， 所以． 故答案为： 2-2．（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 2-3．（2024高一上·天津津南·阶段练习）若，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法，平方法即可比较大小. 【详解】解：因为，， 所以 又因为 所以，所以，则. 故答案为：. 2-4．（2024高一上·广西桂林·阶段练习）设，则与的大小关系为： （用“”、“”、“”填写）. 【答案】 【分析】利用作差法与配方法即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 2-5．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . （三） 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 题型3：利用不等式的性质比较大小 3-1．（上海市宝山区2023-2024学年高一下学期期末数学试题）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答. 【详解】由，得，A正确； 由，得，则，B错误； 由，得，C错误； 由，得，即，D错误. 故选：A 3-2．（2024高一上·上海静安·期中）已知，，则，，由小到大依次排列是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质比较大小. 【详解】因为，，所以，，， 故答案为：． 3-3．（2024高一下·湖南·开学考试）如果，那么 （填“>”或“”）. 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可判断求解. 【详解】因为，则， 根据不等式的性质可得，. 故答案为：. 3-4．（2024高一上·浙江台州·期中）已知，，判断a，b大小关系 .（填“>、=、<”） 【答案】 【分析】运用估算法进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为： 题型4：利用不等式的性质判断命题真假 4-1．【多选】（2024高一上·云南昆明·期中）对于任意实数，，，，以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质判断AB,举特例判断CD. 【详解】A选项：因为成立，则，则，故A正确； B选项：若，，由不等式同向可加性，得，故B正确； C选项：令,满足，，但，故C不正确； D选项：令，满足，但，故D不正确. 故选：AB. 4-2．【多选】（2024高一上·云南红河·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解. 【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确； 对于B选项，例如：，，但是，所以B错误； 对于C选项，当时，，所以C错误； 对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确. 故选：AD． 4-3．（2024高一·全国·单元测试）下列不等式中，不成立的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，若；⑥若，则； ⑦若，，则；⑧若，，则． 【答案】①③⑥ 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于①,若,则,所以①不成立； 对于②，由可知，所以成立，故②成立； 对于③，如满足，但，所以③不成立； 对于④，因为，所以，即，所以④成立； 对于⑤，由可得，所以⑤成立； 对于⑥，若，则，所以⑥不成立； 对于⑦，因为，所以， 且，所以，所以⑦成立； 对于⑧，因为，所以，所以，所以⑧成立， 故答案为: ①③⑥. 4-4．【多选】（2024高一上·四川南充·阶段练习）如果，则下列选项不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确. B选项，若，如，则，所以B选项不正确. C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确. D选项，若，如， 此时，所以D选项不正确. 故选：ABD （四） 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有；；．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 题型5：利用不等式的性质证明不等式 5-1．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明. 【详解】证明：因为，所以， 又因为， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以， 所以， 因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得. 又，所以， 所以 由不等式的同号可乘性可得. 5-2．（2024高一上·北京西城·阶段练习）已知，求证 【答案】见解析 【分析】利用分析法，结合不等式性质即可. 【详解】要证：，又，即证： 又，即证：， 即证：，此式显然成立， 故成立. 5-3．（2024高一·全国·课后作业）设，，，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意证明，进而通分，结合已知条件即可证明. 【详解】证明：因为，所以． 又，所以， 所以． 因为，，， 所以． 5-4．（2024高一上·全国·课后作业）证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明． 【详解】（1）证明：，， ，， 又因为，即， 所以. （2）证明：，，； 又，，； . （五） 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知，要求的范围，不能分别求出的范围，再求的范围，应把已知的“”“”视为整体，即，所以需分别求出的范围，两范围相加可得的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 题型6：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 6-1．（2024高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将用来表示，根据不等式的性质，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 故， 即的取值范围是， 故答案为： 6-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件得到，得到取值范围. 【详解】，故，则， 又，故. 故答案为： 6-3．（2024高一下·广东揭阳·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的为（    ） A．与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃” 【答案】C 【分析】ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达. 【详解】对于A，应表示为“”， 对于B，应表示为“”， 对于D，应表示为“7℃13℃”， 故A，B，D错误． 故选：C． 2．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式. 【详解】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得. 故选：B. 3．（2024高二·黑龙江牡丹江·课后作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号, ，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即， ． 故选：A 4．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用整体思想，设，利用待定系数法解出与， 然后根据不等式的基本性质得出的取值范围并判断所给选项的正误. 【详解】令，则， 解得，， 故， 又，故， 又，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及运用，考查整体思想的运用，较简单. 5．（2024高二上·广东广州·期末）若实数x，y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是（    ） A．(-∞,5] B．(-∞,7] C．[7,+∞) D．[5,+∞) 【答案】C 【分析】由待定系数法得到，由可得，进而由不等式性质可得结果. 【详解】令， 由得，，所以. 由， 故. 故选：C. 6．（2024高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答. 【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 7．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把转化为，根据，，求出的范围，利用单增，求出z的范围即可. 【详解】. 设， 所以，解得：， ， 因为，， 所以， 因为单调递增， 所以. 故选：C 8．（2023版湘教版（2019）必修第一册突围者第2章易错疑难集训）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可. 【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以. 故选：B 9．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，列方程组可得，根据不等式的性质及题干条件，即得解 【详解】由题意， 故，解得 由﹣1＜a+b＜3，可得； 由2＜a﹣b＜4，可得； 故 故选：A 10．（2024高一上·福建福州·阶段练习）为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（    ） A．20 B．22 C．26 D．28 【答案】B 【分析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，由题意得到 ，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x的范围求解. 【详解】设教师人数为，家长人数为y，女学生人数为z， 男学生人数为t，x、y、z、t∈Z， 则，， 则， 又教师人数的两倍多于男学生人数，，解得， 当时，，此时总人数最少为22. 故选: B. 11．（2024高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，解得，则，结合的范围即可求得． 【详解】解：令，， 则 ， 则， ∵ ， ∴ ． 又， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 二、多选题 12．（2024高一下·浙江·期中）如果，那么下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，例如：若，此时，所以B不正确； 对于C中，例如：若，此时，所以C不正确； 对于D中，例如：若，此时，所以D不正确. 故选：BCD. 13．（2024高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用作差法证明，或用特值法求解. 【详解】当时，，故A错误； ∵，∴，故B正确； ∵，∴，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC. 14．（2024高一上·广东佛山·期末）已知，，则（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．ab的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案; 【详解】解：因为，， 所以，，， 所以，的取值范围为，的取值范围为， 故A选项正确，B选项错误； 因为，， 所以，，，， 所以，ab的取值范围为，的取值范围为 故C选项正确，D选项错误. 故选：AC 15．（2024·云南昭通·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过举反例和不等式的性质即可判断. 【详解】对A，当时,,故A错误： 对B，得，则，故B正确； 对C，，此时，故C错误； 对D，由,所以, 所以两边同除得，选项D正确； 故选：BD. 16．（2024高一上·浙江台州·期中）已知为实数，若，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式性质可知A正确，D错误；利用作差法然后进行因式分解即可知B错误，C正确. 【详解】对于A，由不等式性质可知不等式两边同时加减同一个实数，不等号方向不改变，即A正确； 对于B，易知，又，若时，；若时，；若时，； 所以并不一定成立，即B错误； 对于C，由可知，当时，，，所以，即C正确； 对于D，当时，由不等式性质易知时，，即D错误； 故选：AC 17．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意结合不等式的性质求解即可 【详解】对于A：因为， 所以， 则，即，故A正确； 对于B：又，， 所以，即，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：ABD 18．（2024高一上·四川成都·阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】由，两式相加得，即，故A正确； 由，得，又，两式相加得，即，故B正确； 设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 故选：ABC. 19．（2024高一上·湖北十堰·期中）若正数满足，则的值可能为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】BCD 【分析】将带入原式化简，结合完全平方公式及不等式性质计算即可. 【详解】由， 即， 因为，所以， 由， 又， 故， 因为，即A错误，B、C、D均符合题意. 故选：BCD. 20．（2024高二下·江西九江·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质判断各个选项即可. 【详解】因为，所以正确； 由不等式的倒数法则可知，两边同乘以，得，C错误； 由，得，D正确， 故选：ABD. 21．（2024高一上·福建厦门·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断 【详解】对于，因为，，所以，故正确； 对于，因为，所以， 又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 又，所以，故C错误； 对于D，当时，满足， 但，此时，故D错误， 故选：AB 22．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于ABC项：根据不等式的性质逐项判断.对于D项，使用作差法比大小. 【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确； 对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得 ，故C错误； 对于D：, 因为，所以,所以，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 23．（2024高一·全国·单元测试）若，，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】因为,所以,又因为,所以, 故答案为: . 24．（2024高一上·北京西城·阶段练习）有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是．已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是 . 【答案】 【分析】由，相加可得，进而得到．利用，可得，即可得出． 【详解】因为， 所以，即，所以． 又因为，所以， 所以， 所以这四个小球由重到轻的排列顺序是． 故答案为：． 25．（2024高一上·云南怒江·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质可得. 【详解】解：∵，∴， ∵，∴. 故答案为：. 26．（2024·山东·模拟预测）已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”). 【答案】 【分析】 作差法解决即可. 【详解】由题知， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 27．（2024高一上·江西赣州·周测）若α，β满足，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据不等关系，利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】因为，所以，， ∴， 又， ∴． 故答案为： 28．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】解：因为，， 所以， 所以. 故答案为： 29．（2024高三·全国·专题练习）若,,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据绝对值定义求范围,再根据不等式性质求出结果. 【详解】 因为, 所以, 又, 所以, 所以. 故答案为:. 30．（2024高三上·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答. 【详解】由，得，因此， 显然，则， 所以大小关系是. 故答案为： 31．（2024高一上·重庆万州·阶段练习）若实数满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】解：因为，， 所以，， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 32．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的基本性质可得答案 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以， 故答案为： 33．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断，然后每一项都除以，得到不等式，等号两边同时除以得，得出的关系，然后代入不等式中，解出即可. 【详解】因为，故，所以，，所以，所以有，解不等式得，故的取值范围是 故答案为： 34．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）已知实数，满足且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解. 【详解】因为， 所以    ①， 又由可得，     ②， 由①②相加可得，， 故的取值范围是. 故答案为： 35．（2024高一上·北京房山·期中）若a，b同时满足下列两个条件： ①；②． 请写出一组a，b的值 ． 【答案】或其他任意合理答案 【分析】根据不等式的性质，判断a和b的正负及绝对值的大小即可. 【详解】容易发现，若将①式转化为②式，需使 即与异号，显然应使， 当时，需使，则，可取； 当时，需使，则，可取. 综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 故答案为：或其他任意合理答案. 36．（2024高一·全国·课后作业）比大小： ． 【答案】> 【分析】对，分子有理化，再做差比较大小可得答案. 【详解】因为，，， 所以，即. 故答案为：. 37．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，求出，再由不等式的性质求解. 【详解】令，则，解得， 因为，，故. 故答案为： 38．（2024高一上·青海海南·阶段练习）若，则 .（填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”） 【答案】＞ 【分析】利用作差法判断即可得出答案． 【详解】因为， 所以， 故答案为：＞． 39．（2024高三·全国·专题练习）已知，，的取值范围是 【答案】 【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出． 【详解】设，即， ∴，解得. ∴， ∵，∴①， ∵，∴②， ①②，得，即的取值范围. 故答案为：. 40．（2024高一上·上海黄浦·期中）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由不等式的基本性质求解即可 【详解】解：，， 则，， 故由不等式的可加性可知，， 故的取值范围是． 故答案为：． 41．（江苏省扬州市仪征中学2023-2024学年高三下学期3月学情测试数学试题）若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，利用系数相等求得的值，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】由题意，设， 则，解得， 因为， 可得 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 42．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【详解】由,有，， 则，故, 故答案为：. 43．（2024高一下·青海玉树·期末）已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】将两式分别平方，作差，根据不等式的基本性质，判断符号，得到大小关系. 【详解】，因为，所以，，所以，， 又因为，， 所以. 故答案为：. 44．（2024高一上·吉林·阶段练习）若实数，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将表示成关于和的表达式进行求解即可. 【详解】由不等式的性质求解即可． 解：， 因为实数，满足， 所以， 即的取值范围为． 故答案为：． 45．（2024高三·全国·对口高考）已知，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 四、解答题 46．（2024高一上·河北石家庄·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，求证：； 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差比较法来比较大小； （2）利用不等式的性质进行证明. 【详解】（1） ， 所以. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 47．（2024高一上·全国·课后作业）用综合法证明:如果，那么 【答案】证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【详解】证明: ，即 显然 ，即. 48．（2024高一·全国·课堂例题）（1）已知，，试求与的取值范围； （2）已知，，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）， ； （2） （3） 【分析】（1）根据不等式的基本性质进行计算；（2）先得到，利用同号可乘性得到取值范围；（3）先求出，分和求出的取值范围. 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又， ∴，即． ∴的取值范围是，的取值范围是． （2）∵， ∴． 又， ∴，即． ∴的取值范围是． （3）∵，∴． ①当时，； ②当时，． 由①②得，即的取值范围是． 49．（2024高一上·河北保定·阶段练习）（1）比较和的大小； （2）已知，，求和的取值范围； 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用作差比较法进行判断即可； （2）利用不等式的基本性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2），， 又，， ，， 又，. 50．（2024高一·全国·课后作业）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答. 【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ， 所以原不等式成立. 51．（2024高一上·全国·课后作业）已知三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，能组成哪几个正确的不等式？ 【答案】①③⇒②，①②⇒③，②③⇒① 【分析】利用不等式的性质即可推理证明求解. 【详解】由②可知，∴＞0，若③式成立，即，则， ∴，故由②③⇒①正确； 由①得＞0，不等式两边同乘，得，∴， 故由①③⇒②正确； 由②得，∴＞0，若①式成立，则，故由①②⇒③正确． 综上可知，①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①. 52．（2024高一上·全国·课后作业）（1）已知，求证：； （2）若.求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】由不等式的性质证明即可. 【详解】（1），，， 而，即，. （2）， ，即， ，即. 53．（2024高一上·内蒙古呼和浩特·期中）证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明； （2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到. 【详解】（1）证明：， 因为，，所以，， 又bd＞0，所以，， 即. （2）证明：因为a＞b＞c＞0， 所以有，，，， 则，， 即有，成立； 因为，，所以，， 又，所以，成立. 所以，有. 54．（2024高一上·辽宁朝阳·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质计算可得. （2）设，整理后利用系数相等求得与的值，再由已知结合不等式的性质求解． 【详解】解：（1）因为， 即，，所以， 所以， 又，所以，即. （2）设， ，解得，． ，， ，， 则． 的取值范围是． 55．（2024高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 56．（2024高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 57．（2024高一上·广东深圳·期中），，，为四个互不相等的实数.若A､B､C､D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A､B､C､D中最小的数. 【答案】，A､B､C､D中最小的数为D 【分析】先由A､B､C､D中C最大可得，，，从而解出a的范围，再检验四个数互不相等并得出最小值． 【详解】由题意得，，解得，， ，解得，且， ，解得，或， 综上所述，， 当时， 最大，，，， 经检验，，故四个数互不相等， 故实数a的取值范围为， A､B､C､D中最小的数为D. 58．（2024高一上·河南洛阳·阶段练习）解答下列问题 (1)设，，，比较与的大小； (2)已知，，求的取值范围. 【答案】(1) ； (2) ，. 【分析】（1）利用作差、配方法即可得出与的大小； （2）根据条件可得出,再由，即可得出的取值范围. 【详解】（1）解：因为-（）==， 所以； （2）解：，， 令， 所以，解得， 所以，， 所以， 即. 59．（2024高一上·山东德州·阶段练习）已知，. (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据不等式的性质求范围即可. 【详解】（1）因为，， 两个不等式相加可得，解得， 所以x的取值范围是. （2）因为，， 所以， 所以 所以的取值范围是. （3）设， 则 所以解得： 所以， 因为所以①.， 因为，所以②， ①+②得， 所以的取值范围是. 60．（2024高一上·辽宁营口·阶段练习）（1）已知，求与的取值范围； （2）已知，试求的取值范围 【答案】（1），；（2） 【分析】根据不等式的性质，即可求得答案. 【详解】（1）由于，， ，即； 又， ， 的取值范围是，的取值范围是； (2)， ， ， 又， ，故. 61．（2024高一·全国·课后作业）比较大小： (1)和； (2)和，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用做差法比较大小即可； （2）利用做差法比较大小即可． 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以 ， 所以. 62．（2024高一上·上海普陀·阶段练习）设、为正实数，试比较与的值的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】比较两个表达式的大小可以考虑作差法，作差之后分解为一些容易判断正负的表达式乘积再判断，作差之后和0比较. 【详解】． 由于、为正实数，故， 又，于是有． 因此， 等号当且仅当时成立． 63．（2024高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 【答案】（1），（2）证明见解析 【分析】（1）由作差法证明即可； （2）由不等式的性质证明即可. 【详解】（1）解： ∵，∴，∴． （2），， ，又，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$