山东省潍坊市部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

第 1 页 共 4 页 2023 级高二上学期数学第一次月考试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 温馨提示： 1、本试卷分为选择题和非选择题两部分．选择题：共 58分；非选择题：共 92 分；全卷满分 150 分．考试时间 120 分钟． 2、请你在答题卡规定的答题区域内作答，选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写． 3、考试范围：人教 A版 2019 选择性必修 2.1～3.1（3.1 仅一个解答题） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．若直线 l经过两点 A(2，m)，B(-m，2m-1)且 l的倾斜角为 45°，则 m的值为( ) A． 1 2 B．2 C．1 D．− 12 2．已知直线 l1：ax+y-2＝0，l2：2x+(a+1)y+2＝0，若 l1∥l2，则 a＝( ) A．-1或 2 B．1 C．1或-2 D．-2 3．已知点 A(2，0)与 B(0，4)关于直线 ax+y+b＝0对称，则 a，b的值分别为( ) A．1，3 B．− 12， − 3 2 C．-2，0 D． 1 2 ，− 52 4．点 P(-2，-1)到直线 l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时 的直线方程分别为( ) A． 13；x+y-2＝0 B． 11；3x+y-4＝0 C． 13；2x-3y+1＝0 D． 11；2x-3y+1＝0 5．若圆 x2+8x+y2-6y+m＝0与 x轴，y轴均有公共点，则实数 m的取值范围是( ) A．(-∞，9] B．(-∞，16] C．[9，25) D．[16，25) 6．一束光线从点 M(1，2)出发经 x轴反射后经过点 N(-2，4)，半径为 5的圆 C恰好与入 射光线和反射光线都相切，则圆 C的标准方程是( ) A．(x-5)2+y2＝5 B．(x+5)2+y2＝5 C．x2+(y-5)2＝5 D．x2+(y+5)2＝5 7．已知点 A(-1，0)，B(0，3)，点 P是圆(x-3)2+y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值 为( ) A．6 B． 11 2 C． 9 2 D．6 − 102 第 2 页 共 4 页 8．定义：若抛物线的顶点，抛物线与 x轴的两个交点构 成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美 丽抛物线”．如图，直线�：� = 13 � + �经过点�(0， 1 4 ) 一组抛物线的顶点 B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…Bn(n，yn)(n为正整数)，依次是 直线 l上的点，这组抛物线与 x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3， 0)，…，An+1(xn+1，0)(n为正整数)．若 x1＝d(0＜d＜1)，当 d为 时，这组抛物线中 存在美丽抛物线． A． 5 12 或 7 12 B． 5 12 或 11 12 C． 7 12 或 11 12 D． 7 12 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知直线 l：kx-y+k＝0，圆 C：x2+y2-6x+5＝0，P(x0，y0)为圆 C上任意一点，则下列说 法正确的是 A．�02 + �02的最大值为 5 B． �0 �0 的最大值为 2 5 5 C．直线 l与圆 C相切时，� =± 33 D．圆心 C到直线 l的距离最大为 4 10．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准 坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)的曼哈顿距离 d(A，B)＝|x1-x2|+|y1-y2|，则下列结论正确的是 A．若点 P(2，4)，Q(-2，1)，则 d(P，Q)＝7 B．若点 M(-1，0)，N(1，0)，则在 x轴上存在点 P，使得 d(P，M)+d(P，N)＝1 C．若点 M(2，1)，点 P在直线 x-2y+6＝0上，则 d(P，M)的最小值是 3 D．若点 M在 y＝x2上，点 N在直线 2x-y+8＝0上，则 d(M，N)的值可能是 4 11．下列说法正确的是( ) A．直线 xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0， �4 ] ∪ [ 3� 4 ，�) B．“a＝-1”是“直线 a2x-y+1＝0与直线 x-ay-2＝0互相垂直”的充要条件 C．过点 P(1，2)且在 x轴，y轴截距相等的直线方程为 x+y-3＝0 D．经过平面内任意相异两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(y-y1)＝ (y2-y1)(x-x1)表示 第 3 页 共 4 页 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．欧拉于 1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂 心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知 A(0，2)，B(4，2)，C(a，-1)，且 △ABC为圆 x2+y2+Ex+Fy＝0内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为 ． 13．直线 x-2y+1=0 上求一点，使它到直线 l：x+3y-2=0的距离等于原点到 l的距离，则此 点的坐标为 ： ． 14．梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空．假设月亮可看作半径为 1的圆 O的一段圆弧 E，且弧 E所对的圆心角为 4� 5 ．设圆 C的圆心 C在点 O与弧 E中 点的连线所在直线上．若存在圆 C满足：弧 E上存在四点满足过这四点作圆 O的切线， 这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为 ． 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点 P(1，3)，_____，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补 充在横线处，并作答 （1）求直线 l1的方程； （2）求直线 l2：2x+y-5＝0关于直线 l1的对称直线的方程 条件①：点 P关于直线 l1的对称点 P1的坐标为(-1，1)； 条件②：点 M的坐标为(6，-2)，直线 l1过点(-2，4)且与直线 PM平行； 条件③：点 N的坐标为(-3，-1)，直线 l1过点(-2，4)且与直线 PN垂直． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分） 已知圆 C的圆心为(-2，1)，且圆 C_____．在下列所给的三个条件中任选一个，填 在直线上，并完成解答(注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) ①与直线 3x+4y+17＝0相切； ②与圆 M：(x-2)2+(y-4)2＝4相外切； ③经过直线 3x+y+2＝0与直线 x-3y+14＝0的交点． （1）求圆 C的方程； （2）圆 N：(x-m)2+y2＝m2(m＞0)，是否存在实数 m，使得圆 N与圆 C公共弦的长度为 2，若存在，求出实数 m的值；若不存在，请说明理由． 第 4 页 共 4 页 17．（15分） 已知圆 C经过点 A(1，3)、B(2，2)，并且直线 m：3x-2y＝0平分圆 C． （1）求圆 C的方程； （2）过点 D(0，1)，且斜率为 k的直线 l与圆 C有两个不同的交点M，N，且�� → ⋅ �� → = 12， 求 k的值． 18．（17分） 设椭圆 �2 �2 + �2 �2 = 1(�＞�＞0)的左右顶点分别为 A1，A2，右焦点为 F，已知|A1F| ＝3，|A2F|＝1． （1）求椭圆方程及其离心率； （2）已知点 P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线 A2P交 y轴于点 Q，若三角形 A1PQ 的面积是三角形 A2FP 面积的二倍，求直线 A2P的方程． 19．（17分） 已知点 P和非零实数λ，若两条不同的直线 l1，l2均过点 P，且斜率之积为λ，则称 直线 l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线�1：� = 2�，�2：� =− 1 2 �是一组“O-1共轭 线对”，其中 O是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角． （1）已知 l1，l2是一组“O-3共轭线对”，求 l1，l2的夹角的最小值； （2）已知点�( − 1， − 2)，直线 l1，l2是“Q-2共轭线对”，当 l1的斜率变化时，求 原点 O到直线 l1，l2的距离之积的取值范围． 第 1页(共 4页) 2023级高二上学期数学第一次月考答案解析 一、单选题 1.D 2.B 3. B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 二、多选题 9．BCD 10. ACD 11. AD 三、填空题 12．y＝1． 13．(1,1)或( 5 1 5 3 ， ) 14. (0， 5)． 四、解答题 15．解：(1)选择条件①：因为点 P关于直线 l1的对称点 P1的坐标为(-1，1)， 所以 l1是线段 PP1的垂直平分线， 又���1 = 3−1 1−(−1) = 1，所以直线 l1的斜率为-1． 又线段 PP1的中点坐标为(0，2)，所以直线 l1的方程为 y-2＝-(x-0)，即 x+y-2＝0． 选择条件②：因为��� = −2−3 6−1 =− 1，直线 l1与直线 PM平行，所以直线 l1的斜率为-1， 又直线 l1过点(-2，4)，所以直线 l1的方程为 y-4＝-(x+2)，即 x+y-2＝0． 选择条件③：因为��� = 3−(−1) 1−(−3) = 1，直线 l1与直线 PN垂直，所以直线 l1的斜率为-1， 又直线 l1过点(-2，4)，所以直线 l1的方程为 y-4＝-(x+2)，即 x+y-2＝0． (2)由 � + � − 2 = 0 2� + � − 5 = 0解得 � = 3， � =− 1， 故 l1，l2的交点坐标为(3，-1)， 因为 A(0，5)在直线 l2：2x+y-5＝0上，设 A(0，5)关于 l1对称的点为 A1(m，n)， 则 �−5 � = 1， � 2 + �+5 2 − 2 = 0， 解得 � =− 3， � = 2， 所以直线 l2关于直线 l1对称的直线经过点(3，-1)，(-3，2)， 代入两点式方程得 �+1 2+1 = �−3 −3−3 ，即 x+2y-1＝0， 所以直线 l2：2x+y-5＝0关于直线 l1的对称直线的方程为 x+2y-1＝0． 16．解：(1)设圆 C的半径为 r， 若选条件①，圆 C与直线 3x+4y+17＝0相切， 所以圆心 C到直线 3x+4y+17＝0的距离是圆 C的半径， 即� = |−6+4+17|5 = 3， 所以圆 C的方程为(x+2)2+(y-1)2＝9； 若选条件②，与圆 M：(x-2)2+(y-4)2＝4相外切，圆 M的圆心为(2，4)，半径为 2， 第 2页(共 4页) 所以� + 2 = (2 + 2)2 + (4 − 1)2 = 5，所以 r＝3， 所以圆 C的方程为(x+2)2+(y-1)2＝9； 若选条件③，经过直线 3x+y+2＝0与直线 x-3y+14＝0的交点， 由 3� + � + 2 = 0 � − 3� + 14 = 0，得 � =− 2 � = 4 ，所以 r＝4-1＝3， 所以圆 C的方程为(x+2)2+(y-1)2＝9； (2)圆 N：(x-m)2+y2＝m2(m＞0)的圆心为(m，0)，半径为 m，两个圆有公共弦，则|m-3| ＜|CN|＜m+3， 即|� − 3|＜ (� + 2)2 + 1＜�+ 3，解得�＞ 25， 由 (� + 2)2 + (� − 1)2 = 9 (� − �)2 + �2 = �2 得两圆公共弦所在直线方程为(m+2)x-y-2＝0， 又两圆的公共弦长为 2，则圆心 C 到公共弦所在直线的距离为� = |−2�−4−1−2| (�+2)2+1 = |2�+7| �2+4�+5 ，且 2 9 − �2 = 2， 解得� = 10−12 或� = − 10−1 2 ， 又�＞ 25，所以� = 10−1 2 ，经检验符合题意， 故存在实数� = 10−12 ，使得圆 N与圆 C公共弦的长度为 2． 17．解：(1)设圆 C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2＝r2， 因为直线 m：3x-2y＝0平分圆 C的面积， 所以直线过圆心(a，b)，即 3a-2b＝0， 则 3� − 2� = 0 (1 − �)2 + (3 − �)2 = �2 (2 − �)2 + (2 − �)2 = �2 ，解得 � = 2 � = 3 �2 = 1 ， 圆的方程为(x-2)2+(y-3)2＝1； (2)由题意直线 l的方程为 y＝kx+1， 联立 � = �� + 1 (� − 2)2 + (� − 3)2 = 1，消去 y得(1+k 2)x2-4(1+k)x+7＝0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则Δ＝16(1+k)2-28(1+k2)＝0＝-4(3k2-8k+3)＞0，得 4− 7 3 ＜�＜ 4+ 7 3 ， 故�1 + �2 = 4(1+�) 1+�2 ，�1�2 = 7 1+�2， 而�1�2 = (��1 + 1)(��2 + 1) = �2�1�2 + �(�1 + �2) + 1， 所以�� → ⋅ �� → = �1�2 + �1�2 = (�2 + 1)�1�2 + �(�1 + �2) + 1 第 3页(共 4页) = (�2 + 1) 71+�2 + � 4(1+�) 1+�2 + 1 = 4�(1+�) 1+�2 + 8， 故有 4�(1+�) 1+�2 + 8 = 12， 解得 k＝1，满足Δ＞0， 所以 k＝1． 18．解：(1)由题意可知， � + � = 3� − � = 1，解得 � = 2 � = 1， ∴b2＝a2-c2＝4-1＝3． 则椭圆方程为 �2 4 + �2 3 =1，椭圆的离心率为 e= �� = 1 2； (2)由题意可知，直线 A2P的斜率存在且不为 0， 当 k＜0时，直线方程为 y＝k(x-2)，取 x＝0，得 Q(0，-2k)． 联立 � = �(� − 2) �2 4 + �2 3 = 1 ，得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12＝0． Δ＝(-16k2)2-4(4k2+3)(16k2-12)＝144＞0， 2xP= 16�2−12 4�2+3 ，得 xP= 8�2−6 4�2+3，则 yP= −12� 4�2+3． �△�1�� = �△�1�2� − �△�1�2� = 1 2 ×4×(-2k)− 1 2 ×4× −12� 4�2+3 = −16�3+12� 4�2+3 ． �△�2�� = 1 2 ×1× −12� 4�2+3 = −6� 4�2+3． ∴ −16�3+12� 4�2+3 = −12� 4�2+3 ，即 2k2＝3，得 k=− 62 (k＜0)； 同理求得当 k＞0时，k=− 62． ∴直线 A2P的方程为 y＝± 6 2 (x-2)． 19．解：(1)设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 −3 � ，两直线的夹角为α， 第 4页(共 4页) 则���� = | �−−3� 1+(−3) | = 1 2 (|�| + 3 |�| ) ≥ 3， ∵� ∈ (0， �2 ]， ∴ � 3 ≤ �＜ � 2 ， 等号成立的条件是� =± 3，所以直线 l1，l2的夹角最小值为 � 3 ； (2)设�1：� + 2 = �(� + 1)，�2：� + 2 = −2 � (� + 1)，其中 k≠0， 故�1�2 = |�− 2| 1+�2 × |−2�− 2| 1+ 4 �2 = 2 × |� 2−2| �2+1 �2+4 = 2 × � 4−4�2+4 �4+5�2+4 = 2 × 1 − 9�2 �4+5�2+4 = 2 × 1 − 9 �2+ 4 �2 +5 ， 由于�2 + 4�2 + 5 ≥ 2 � 2 × 4�2 + 5 = 9(等号成立的条件是 k 2＝2)， 故 1 − 9 �2+ 4 �2 +5 ∈ [0，1)， 所以�1�2 ∈ [0， 2)， 即原点 O到直线 l1，l2的距离之积的取值范围为�1�2 ∈ [0， 2)．