2.6《一元二次方程的应用》课课练 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程 6. 一元二次方程的应用 课后练习 考试时间:60分钟 满分100分 一、单选题（本大题共8小题，总分24分） 1．方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 2．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0 3．关于x的方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定 4．规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 5．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 6．苍源河公园结合临沭的文化和地域特色，为临沭打造了一片集运动、休闲、游憩、文化体验为一体的滨水空间．该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，设第二、三季度投入资金的平均增长率为x，则依题意可列方程为（　　） A．0.4x2＝0.6 B．0.4（1+2x）＝0.6 C．0.4（1+x）2＝0.6 D．0.4（1+x2）＝0.6 7．2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．26% 8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．一元二次方程x2﹣1＝0的根是　 　． 10．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个 　 　实根（填“相等”或“不等”）． 11．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 　 　． 12．对于实数a、b定义新运算：a※b＝ab2﹣b．若关于x的方程2※x＝k有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 13．某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打 　 　折． 14．为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程 　 　． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．用合适的方法解下列方程： （1）x（x﹣3）＝x﹣3； （2）2x2﹣3x﹣1＝0． 16．先化简，再求值：，其中a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）若方程的一个根为﹣1，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 18．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 19．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点M从点C出发，在CA边上以每秒1cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点A出发，在AB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜5），连接PM． （1）是否存在某一时刻t，使△AMP的面积是△ABC面积的？若存在求出相应的t值，若不存在，请说明理由． （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△AMP是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 答案 一、单选题（本大题共8小题，总分24分） 1-4．BAAD． 5-8．DCAD． 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．x＝±1． 10．不等． 11．2023． 12．， 13．九． 14．2（1+x）2＝2.42． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．解：（1）x（x﹣3）＝x﹣3， 移项得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； （2）2x2﹣3x﹣1＝0， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 16．解： • ， ∵a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴a2＝a+1， 则原式1． 17．（1）解：把x＝﹣1代入方程可得1+（k+2）+k﹣1＝0， 解得k＝﹣1， 当k＝﹣1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， 即方程的另一根为2； （2）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 18．（1）证明：a＝1，b＝m，c＝m﹣1， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝m2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴﹣m＝3， ∴m＝﹣3． 19．解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x， 依题意得：10（1+x）2＝16.9， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：这两次价格上调的平均增长率为30%． （2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包， 依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315， 整理得：m2﹣4m+3＝0， 解得：m1＝1，m2＝3． 又∵要让顾客获得更大的优惠， ∴m的值为3． 答：每包应该降价3元． 20．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB10，24， ∵设运动时间为t秒（0＜t＜5）， ∴CM＝t，AP＝2t， 如图，过P作PD⊥AC于点D， ∴PD∥BC， ∴， ∴， 即：PD， （1）若存在某一时刻t，使△AMP的面积是△ABC面积的， 则， ∴， ∴， 整理得：t2﹣8t+12＝0， ∴t＝2或t＝6（舍去）， 答：当t＝2秒时，△AMP的面积是△ABC面积的； （2）若存在某一时刻t，使△AMP是等腰三角形， ①假设：MP＝AP， ∴AD（8﹣t）， ∴， ∴， ∴t； ②若AP＝AM， 则：2t＝8﹣t， ∴， ③若MP＝AM，如图， 作MD⊥AB于点D， ∵∠ADM＝∠C，∠A＝∠A ∴△AMD∽△ABC， ∴， ∴， 解得t， 答：当t为秒，秒，秒时，△AMP是等腰三角形。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$