11.1 与三角形有关的线段 基础考点及题型梳理 2024--2025学年人教版八年级数学上册

11.1与三角形有关的线段 目录 【知识清单】 2 1．三角形的有关概念 2 2．三角形的分类 2 3．三角形的三边关系 2 4．三角形的高、中线与角平分线 3 5．三角形的稳定性 3 【考点一】三角形的概念及分类 4 【考点二】利用三角形的三边关系判断或求范围 5 【考点三】利用三角形的三边关系求值 6 【考点四】三角形的高 7 【考点五】 与三角形的高相关的计算 8 【考点六】利用三角形的中线求线段长或周长 9 【考点七】利用三角形的中线求面积 10 【考点八】三角形的角平分线 12 【考点九】三角形的稳定性 13 【考点十】三角形的三线综合 14 【课堂过关检测】 16 【综合达标训练】 21 【知识清单】 1．三角形的有关概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形． （2）三角形的三要素：边、顶点、角． ①边：即组成三角形的线段叫做三角形的边． ②顶点：邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． ③角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （3）三角形的表示方法： 三角形用符号“△”表示．如图，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”． 2．三角形的分类 3．三角形的三边关系 （1）定理：三角形任意两边之和大于第三边． （2）推论：三角形任意两边之差小于第三边． （3）应用已知两边确定第三边的取值范围． 注意：判断三条线段能否组成三角形．若两条较短的线段长之和大于最长的线段的长，则三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 4．三角形的高、中线与角平分线 （1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 注意： 1　 三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线． 2　 三角形的高必过三角形的顶点； 3　 三角形的高必垂直于三角形的一条边． （2） 中线：在三角形中，连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做的三角形的中线． 注意： 三角形的中线是一条线段． 拓展： 三角形被一边上的中线分成的两个小三角形的周长差的绝对值等于另两边的差的绝对值． （3）角平分线：三角形的一个角的角平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 5．三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【考点归纳】 【考点一】三角形的概念及分类 【例1】如图，点D，E在线段BC上，图中共有 　 　个三角形；在△ABE中，AE所对的角是 　 　，∠AEB所对的边是 　 　；在△ADE中，AD是 　 　的对边；在△ADC中，AC是 　 　的对边． 【针对训练】1、如图所示． （1）图中共有 　 　个三角形，用符号表示为：　 　；其中以BC为边的三角形是 　 　；以∠D为一个内角的三角形是 　 　； （2）在△EBC中，∠EBC的对边是 　 　，BC的对角是 　 　，△EBC与△DBC的公共边是 　 　，公共角是 　 　． 【针对训练】2、（2023春•浦东新区校级月考）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【针对训练】3、（2023秋•安陆市期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A．M表示等边三角形 B．M表示锐角三角形 C．P表示等腰三角形 D．N表示三边都不相等的三角形 【考点二】利用三角形的三边关系判断或求范围 【例2】（2023秋•琼海校级期末）已知三角形的两边的长分别为2cm和5cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜5 B．3＜x＜5 C．5＜x＜7 D．3＜x＜7 【针对训练】1、（2023秋•雷州市期末）以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．14，4，9 D．7，2，4 【针对训练】2、（2024•太康县校级开学）从下面4条线段中选3条围成一个三角形，只能选（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ 【针对训练】3、（2024•鄞州区校级开学）若三角形的三边长分别是3，4，2x﹣1，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜4 B．1＜x＜4 C．0＜x＜3 D．1＜x＜3 【考点三】利用三角形的三边关系求值 【例3】（2024春•天水期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【针对训练】1、（2024春•新野县月考）已知△ABC的三边分别为a，b，c． （1）若a＝1，b＝7，c为整数，求△ABC的周长． （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 【针对训练】2、（2024春•滨州月考）已知一个三角形的三边长分别为5，2a﹣1，10， 则|a﹣8|﹣|a﹣2|＝　 　． 【针对训练】3、（2024春•汉中期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b|＝　 　． 【考点四】三角形的高 【例4】（2024春•潜江月考）△ABC中AC边的高，表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【针对训练】1、（2023秋•江门期末）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【针对训练】2、（2024春•唐山期末）如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【针对训练】3、（2023秋•淄川区期中）分别画出如图所示△ABC的三条边上的高． 【考点五】 与三角形的高相关的计算 【例5】（2024春•未央区校级月考）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，已知AB＝8，AD＝6，BC＝10，CE的长为 　 　． 【针对训练】1、（2023秋•沧县期中）如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝　 　． 【针对训练】2、（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC为钝角三角形，分别过点A、B作BC、AC边上的高AD、BE，已知AC＝10，BC＝5，BE＝3，则AD的长为 　 　． 【针对训练】3、（2023秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG． 【考点六】利用三角形的中线求线段长或周长 【例6】（2024•仓山区校级模拟）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　 　cm． 【针对训练】1、（2024春•鼓楼区期末）如图所示，在△ABC中，AD是中线，已知△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB＝3cm，则AC＝　 　． 【针对训练】2、（2024春•思明区校级期末）如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的中线，若AE＝5，BF＝6，且△ABC的周长为32，求BC的长． 【针对训练】3、（2024春•肇源县期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长． 【考点七】利用三角形的中线求面积 【例7】（2023秋•东莞市期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【针对训练】1、（2023秋•重庆月考）如图，点D是△ABC的边BC上一点，E是AD的中点，F是CE的中点，如果△ABC的面积为28，则△BEF的面积为（　　） A．12 B．7 C．14 D．10 【针对训练】2、（2023秋•富锦市校级月考）如图，△ABC的面积为24，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，则△DCE的面积为 　 　． 【针对训练】3、（2024•长春校级开学）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，DE＝3BE，若△ABC的面积为10，则△ABE的面积是（　　） A． B．1.5 C． D．2 【考点八】三角形的角平分线 【例8】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．CD是△ABC的角平分线 B．AE是△ACD的角平分线 C．∠1+∠3（∠BAC+∠BCA） D．AE是△ABC的角平分线 【针对训练】1、（2024春•和平区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，BD平分∠EBC，BE平分∠ABD，那么下列说法中不正确的是（　　） A．CD的长度等于D到BE的距离 B．BC是△ABE的高 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BD是△ABC的角平分线 【针对训练】2、（2024春•衡山县期末）三角形的角平分线是 　 　．（填“射线”、“线段”或“直线”） 【针对训练】3、（2024春•南山区期末）如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　． 【考点九】三角形的稳定性 【例9】（2024春•梅州月考）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【针对训练】1、（2024春•苏州期中）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD）．这样做的依据是（　　） A．矩形的对称性 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【针对训练】2、（2024春•淮阳区期末）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．太阳能热水器 B．篮球架 C．三脚架 D．活动衣架 【针对训练】3、（2024春•南阳期末）按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 　 　． 【考点十】三角形的三线综合 【例10】（2024春•公主岭市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 【针对训练】1、（2024春•长安区期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数； （3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数． 【针对训练】2、（2024春•天桥区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 【针对训练】3、（2023秋•鄱阳县校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 【课堂过关检测】 1．（2023秋•香洲区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•青铜峡市期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 3．（2024春•夏津县期末）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△BEF＝2cm2（阴影部分），则△ABC的面积等于（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．5cm2 D．16cm2 4．（2023秋•钢城区期末）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高 C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高 5．（2024春•原阳县校级月考）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 6．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF 7．（2023秋•宁国市期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为10cm、3cm，则该三角形的周长可能是（　　） A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm 8．（2024春•武侯区校级月考）以长为3cm，4cm，7cm，11cm的四条线段中的三条线段为边，可以组成三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 二．填空题（共5小题） 9．（2024春•邗江区期末）△ABC的三边长为a、b、c，若a＝4，b＝2，c是偶数，则该三角形的周长等于 　 　． 10．（2024春•呈贡区校级期末）如果不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1，那么整数x的取值是 　 　． 11．（2023秋•乐陵市校级期中）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，已知AB＝6，AD＝5，BC＝4，则CE＝　 　． 12．如图，图中共有 　 　个三角形，△ABE中，AE所对的角是 　 　，∠BAE所对的边是 　 　，AD在△ADE中是 　 　的对边，在△ADC中是 　 　的对边． 13．（2023秋•六盘水期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　 　． 三．解答题（共7小题） 14．（2023秋•青山湖区校级月考）已知：△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝5，b＝6，△ABC的周长是小于18的偶数，求c的长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 15．（2023秋•固安县校级月考）如图，△ABC的周长为27，AC＝9，BC边上的中线AE＝6，△ABE的周长为19，求AB的长． 16．（2023春•新城区校级期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝6，AC＝7，△ABD的周长为16，求△ACD的周长． 17．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠CAB＝90°，∠B＝50°． （1）求∠DAE； （2）若AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，求AD的长． 18．（2023秋•丛台区校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 19．（2024春•蒸湘区校级期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝110°，求∠BCF的度数． 20．（2022春•都江堰市校级期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|； （2）若a＝5，b＝2，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断△ABC的形状． 【综合达标训练】 一．选择题（共7小题） 1．（2023春•甘井子区校级月考）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋•古冶区期中）老师给同学一组数据画出三角形，你认为能画成三角形的一组数据是（　　） A．1，2，3 B．3，4，8 C．3，3，4 D．2，3，5 3．（2023秋•保定期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2023秋•江津区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，则AB边上的高是（　　） A．AD B．CE C．DC D．AE 5．有两个角是锐角的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 6．（2024春•射洪市期末）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 7．已知△ABC中，D是BC边上的一点，点E在AD上，下列结论中不一定成立的是（　　） A．如果AD是△ABC的中线，那么ED是△EBC的中线 B．如果AD是△ABC的高，那么ED是△EBC的高 C．如果AD是△ABC的角平分线，那么ED是△EBC的角平分线 D．如果AD是△ABC的高，那么BD是△ABE的高 二．填空题（共5小题） 8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以AB为公共边的“共边三角形”有 　 　对，分别是 　 　． 9．（2023•绵阳模拟）三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是　 　． 10．下列各组数中：①5，12，13；②5，7，7；③5，7，12；④101，102，103，不能作为一个三角形的三边长的一组是　 　．（填序号） 11．（2023秋•沧县期中）如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝　 　． 12．（2022秋•凉山州期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　 　． 三．解答题（共7小题） 13．（2024春•邗江区期中）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 14．（2023秋•苍梧县期中）如图，已知△ABC的周长为16cm，，AD＝4cm，AD是BC边上的中线，△ABD的周长是12cm，求△ABC各边的长． 15．（2023秋•昌吉州期中）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ACD比△ABD的周长大3，求AC与AB的差． 17．（2022秋•恩施市期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 18．（2023秋•大荔县期中）如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6，AC＝4，求的值． 19．（2023秋•同心县校级月考）已知△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若a＝4，b＝6，且△ABC的周长是小于18的偶数，求c的值； （2）化简：|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1与三角形有关的线段 目录 【知识清单】 2 1．三角形的有关概念 2 2．三角形的分类 2 3．三角形的三边关系 2 4．三角形的高、中线与角平分线 3 5．三角形的稳定性 3 【考点一】三角形的概念及分类 4 【考点二】利用三角形的三边关系判断或求范围 5 【考点三】利用三角形的三边关系求值 7 【考点四】三角形的高 9 【考点五】 与三角形的高相关的计算 11 【考点六】利用三角形的中线求线段长或周长 13 【考点七】利用三角形的中线求面积 15 【考点八】三角形的角平分线 17 【考点九】三角形的稳定性 20 【考点十】三角形的三线综合 22 【课堂过关检测】 25 【综合达标训练】 34 【知识清单】 1．三角形的有关概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形． （2）三角形的三要素：边、顶点、角． ①边：即组成三角形的线段叫做三角形的边． ②顶点：邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． ③角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （3）三角形的表示方法： 三角形用符号“△”表示．如图，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”． 2．三角形的分类 3．三角形的三边关系 （1）定理：三角形任意两边之和大于第三边． （2）推论：三角形任意两边之差小于第三边． 注意：判断三条线段能否组成三角形．若两条较短的线段长之和大于最长的线段的长，则三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 4．三角形的高、中线与角平分线 （1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 注意： 1　 三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线． 2　 三角形的高必过三角形的顶点； 3　 三角形的高必垂直于三角形的一条边． （2） 中线：在三角形中，连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做的三角形的中线． 注意： 三角形的中线是一条线段． 拓展： 三角形被一边上的中线分成的两个小三角形的周长差的绝对值等于另两边的差的绝对值． （3）角平分线：三角形的一个角的角平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 5．三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【考点归纳】 【考点一】三角形的概念及分类 【例1】如图，点D，E在线段BC上，图中共有 　6　个三角形；在△ABE中，AE所对的角是 　∠B　，∠AEB所对的边是 　AB　；在△ADE中，AD是 　∠AED　的对边；在△ADC中，AC是 　∠ADC　的对边． 【答案】6，∠B，AB，∠AED，∠ADC． 【解答】解：点D，E在线段BC上，图中共有6个三角形；在△ABE中，AE所对的角是∠B，∠AEB所对的边是AB；在△ADE中，AD是∠AED的对边；在△ADC中，AC是∠ADC的对边． 故答案为：6，∠B，AB，∠AED，∠ADC． 【针对训练】1、如图所示． （1）图中共有 　5　个三角形，用符号表示为：　△EBC、△ABC、△DBC、△DEC、△AEB　；其中以BC为边的三角形是 　△ABC、△DBC、△EBC　；以∠D为一个内角的三角形是 　△DEC、△DBC　； （2）在△EBC中，∠EBC的对边是 　EC　，BC的对角是 　∠BEC　，△EBC与△DBC的公共边是 　BC　，公共角是 　∠DBC（∠EBC）　． 【答案】（1）5，△EBC、△ABC、△DBC、△DEC、△AEB；△ABC、△DBC、△EBC；△DEC、△DBC；（2）EC，∠BEC，BC，∠DBC（∠EBC）． 【解答】解：（1）图中共有5个三角形，用符号表示为：，△EBC、△ABC、△DBC、△DEC、△AEB；其中以BC为边的三角形是△ABC、△DBC、△EBC；以∠D为一个内角的三角形是△DEC、△DBC； （2）在△EBC中，∠EBC的对边是EC，BC的对角是∠BEC，△EBC与△DBC的公共边是BC，公共角是∠DBC（∠EBC）． 故答案为：（1）5，△EBC、△ABC、△DBC、△DEC、△AEB；△ABC、△DBC、△EBC；△DEC、△DBC；（2）EC，∠BEC，BC，∠DBC（∠EBC）． 【针对训练】2、（2023春•浦东新区校级月考）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形． 故选：D． 【针对训练】3、（2023秋•安陆市期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A．M表示等边三角形 B．M表示锐角三角形 C．P表示等腰三角形 D．N表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【解答】解：三角形根据边分类如下： ， 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形． 故选：C． 【考点二】利用三角形的三边关系判断或求范围 【例2】（2023秋•琼海校级期末）已知三角形的两边的长分别为2cm和5cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜5 B．3＜x＜5 C．5＜x＜7 D．3＜x＜7 【答案】D 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7． 故选：D． 【针对训练】1、（2023秋•雷州市期末）以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．14，4，9 D．7，2，4 【答案】B 【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、2+3＞4，能构成三角形，故此选项符合题意； C、4+9＝13＜14，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、2+4＝6＜7，不能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：B． 【针对训练】2、（2024•太康县校级开学）从下面4条线段中选3条围成一个三角形，只能选（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ 【答案】B 【解答】解：由于三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 所以①②③不能构成三角形，②③④可以构成三角形，①③④不能构成三角形， 故选：B． 【针对训练】3、（2024•鄞州区校级开学）若三角形的三边长分别是3，4，2x﹣1，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜4 B．1＜x＜4 C．0＜x＜3 D．1＜x＜3 【答案】B 【解答】解：依据三角形三边之间的大小关系，列出不等式组 ，解得1＜x＜4． 故选：B． 【考点三】利用三角形的三边关系求值 【例3】（2024春•天水期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【答案】（1）△ABC的周长为11或13； （2）a+b+c． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11； 当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13， 综上所述，△ABC的周长为11或13； （2）∵△ABC的边长为a，b，c， ∴a+c＞b， ∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c| ＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c ＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c ＝a+b+c． 【针对训练】1、（2024春•新野县月考）已知△ABC的三边分别为a，b，c． （1）若a＝1，b＝7，c为整数，求△ABC的周长． （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 【答案】（1）15； （2）a+3b﹣c． 【解答】解：（1）∵△ABC的三边分别为a，b，c， ∴b﹣a＜c＜b+a， ∵a＝1，b＝7， ∴6＜c＜8， ∵c为整数， ∴c＝7， ∴△ABC的周长为：a+b+c＝1+7+7＝15； （2）∵△ABC的三边分别为a，b，c， ∴a+b＞c，a+c＞b，a+b+c＞0， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c| ＝a+b﹣c﹣[﹣（b﹣a﹣c）]+a+b+c ＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c ＝a+3b﹣c． 【针对训练】2、（2024春•滨州月考）已知一个三角形的三边长分别为5，2a﹣1，10，则|a﹣8|﹣|a﹣2|＝　10﹣2a　． 【答案】10﹣2a． 【解答】解：由题意得：10﹣5＜2a﹣1＜10+5， 解得：3＜a＜8， ∴|a﹣8|﹣|a﹣2| ＝8﹣a﹣（a﹣2） ＝8﹣a﹣a+2 ＝10﹣2a． 故答案为：10﹣2a． 【针对训练】3、（2024春•汉中期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b|＝　2c﹣2b　． 【答案】2c﹣2b． 【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c， ∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴|a﹣b+c|﹣|c﹣a﹣b| ＝a﹣b+c+c﹣a﹣b ＝2c﹣2b． 故答案为：2c﹣2b． 【考点四】三角形的高 【例4】（2024春•潜江月考）△ABC中AC边的高，表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、AD是BC边上高，不符合题意； B、点D到AC的垂线，不符合题意； C、点D到BC的垂线，不是符合题意； D、点B到AC的高，符合题意； 故选：D． 【针对训练】1、（2023秋•江门期末）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 【针对训练】2、（2024春•唐山期末）如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【答案】A 【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF． 故选：A． 【针对训练】3、（2023秋•淄川区期中）分别画出如图所示△ABC的三条边上的高． 【答案】答案如图所示． 【解答】解：如图，线段AE是BC边上的高，线段CF是AB边上的高，线段BD是AC边上的高． 【考点五】 与三角形的高相关的计算 【例5】（2024春•未央区校级月考）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，已知AB＝8，AD＝6，BC＝10，CE的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：∵S△ABC，AB＝8，AD＝6，BC＝10， ∴6×10＝8CE， ∴CE 故答案为：． 【针对训练】1、（2023秋•沧县期中）如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴S△ABCBC•ADAB•AC， ∴BC•AD＝AB•AC， ∴AD， 故答案为：． 【针对训练】2、（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC为钝角三角形，分别过点A、B作BC、AC边上的高AD、BE，已知AC＝10，BC＝5，BE＝3，则AD的长为 　6　． 【答案】6． 【解答】解：∵AC＝10，BE＝3，且BE⊥AC， ∴， ∵BC＝5，且AD⊥BC， ∴， 解得AD＝6， 故答案为：6． 【针对训练】3、（2023秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：连接AD． 则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积， AB•DEAC•DFAC•BG， ∵AB＝AC， ∴DE+DF＝BG． 【考点六】利用三角形的中线求线段长或周长 【例6】（2024•仓山区校级模拟）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　23　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm）， ∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm， ∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）． 故答案为23． 【针对训练】1、（2024春•鼓楼区期末）如图所示，在△ABC中，AD是中线，已知△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB＝3cm，则AC＝　8cm　． 【答案】8cm． 【解答】解：∵AD是中线， ∴CD＝BD． ∵△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB＝3cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC﹣AB＝5cm， ∴AC＝5+3＝8（cm）， 故答案为：8cm． 【针对训练】2、（2024春•思明区校级期末）如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的中线，若AE＝5，BF＝6，且△ABC的周长为32，求BC的长． 【答案】10． 【解答】解：∵△ABC的周长为32， ∴AB+AC+BC＝32， ∵BE、CF分别是AC、AB边上的中线，AE＝5，BF＝6， ∴AC＝2AE＝10，AB＝2BF＝12， ∴BC＝32﹣10﹣12＝10． 【针对训练】3、（2024春•肇源县期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，CD＝BD． ∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm． ∴AC﹣AB＝5cm． 又∵AB+AC＝13cm， ∴AC＝9cm． 即AC的长度是9cm． 【考点七】利用三角形的中线求面积 【例7】（2023秋•东莞市期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8， ∴S△ABDS△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDES△ABD4＝2， 故选：A． 【针对训练】1、（2023秋•重庆月考）如图，点D是△ABC的边BC上一点，E是AD的中点，F是CE的中点，如果△ABC的面积为28，则△BEF的面积为（　　） A．12 B．7 C．14 D．10 【答案】B 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴S△ABES△ABD，S△ACES△ADC， ∴S△ABE+S△ACES△ABC28＝14， ∴S△BCES△ABC＝14， ∵点F是CE的中点， ∴S△BEFS△BCE14＝7． 故选：B． 【针对训练】2、（2023秋•富锦市校级月考）如图，△ABC的面积为24，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，则△DCE的面积为 　6　． 【答案】6． 【解答】解：∵AD是BC边的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABC的面积为24， ∴， 又∵E是AD中点， ∴， 故答案为：6． 【针对训练】3、（2024•长春校级开学）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，DE＝3BE，若△ABC的面积为10，则△ABE的面积是（　　） A． B．1.5 C． D．2 【答案】A 【解答】解：∵点D是AC的中点， ∴S△ABDS△ABC10＝5， ∵DE＝3BE， ∴S△ABES△ADB． 故选：A． 【考点八】三角形的角平分线 【例8】．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．CD是△ABC的角平分线 B．AE是△ACD的角平分线 C．∠1+∠3（∠BAC+∠BCA） D．AE是△ABC的角平分线 【答案】D 【解答】解∵∠3＝∠4， ∴CD是△ABC的角平分线， ∵∠1＝∠2， ∴AE是△ACD的角平分线． ∴∠1+∠3（∠BAC+∠BCA）． 故选项A，B，C正确． 故选：D． 【针对训练】1、（2024春•和平区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，BD平分∠EBC，BE平分∠ABD，那么下列说法中不正确的是（　　） A．CD的长度等于D到BE的距离 B．BC是△ABE的高 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BD是△ABC的角平分线 【答案】D 【解答】解：∵BD平分∠EBC， ∴CD的长度等于D到BE的距离，选项A说法正确，不符合题意； ∵∠C＝90°， ∴BC是△ABE的高，选项B说法正确，不符合题意； ∵BD平分∠EBC， ∴∠2＝∠3， ∵BE平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3，选项C说法正确，不符合题意； ∵BD平分∠EBC， ∴BD是△ABE的角平分线，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【针对训练】2、（2024春•衡山县期末）三角形的角平分线是 　线段　．（填“射线”、“线段”或“直线”） 【答案】线段． 【解答】解：三角形的角平分线是线段． 故答案为：线段． 【针对训练】3、（2024春•南山区期末）如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　9°　． 【答案】9°． 【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC＝35°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°， 故答案为：9°． 【考点九】三角形的稳定性 【例9】（2024春•梅州月考）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、三角形下方是四边形，不具有稳定性，故A不符合题意； B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故B符合题意； C、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故C不符合题意； D、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故D不符合题意， 故选：B． 【针对训练】1、（2024春•苏州期中）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD）．这样做的依据是（　　） A．矩形的对称性 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【解答】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条．这样做的依据是三角形的稳定性， 故选：B． 【针对训练】2、（2024春•淮阳区期末）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．太阳能热水器 B．篮球架 C．三脚架 D．活动衣架 【答案】D 【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、应用到三角形的稳定性，不符合题意； D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； 故选：D． 【针对训练】3、（2024春•南阳期末）按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 　三角形具有稳定性　． 【答案】三角形具有稳定性． 【解答】解：∵三角形具有稳定性， ∴三角形手机支架形状不变形，手机放上稳定不晃动，可以非常方便地观看显示内容． 故答案为：三角形具有稳定性． 【考点十】三角形的三线综合 【例10】（2024春•公主岭市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述结论中，所有正确结论的序号是 　②③④　． 【答案】②③④． 【解答】解：∵BE是△ABC的中线， ∴S△ABE＝S△BCE， 故④正确，符合题意； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD⊥BC， ∴∠BCF+∠CGD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACF+∠AFG＝90°， ∴∠CGD＝∠AFG， ∵∠CGD＝∠AGF， ∴∠AGF＝∠AFG， 故②正确，符合题意； ∵AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF， 故③正确，符合题意； 根据已知条件无法证明BF＝AF，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 【针对训练】1、（2024春•长安区期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数； （3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）1； （2）121°； （3）129°． 【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD， △ACD的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1， 即△BCD与△ACD的周长差为：1． 故答案为：1． （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°； （3）在△ABC中，∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°， ∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 【针对训练】2、（2024春•天桥区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90° ∵AE是的角平分线 ∴∠BAE∠BAC＝45°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90° ∴在△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15° 【针对训练】3、（2023秋•鄱阳县校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 【答案】（1）4cm； （2）2cm． 【解答】解：（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长差：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4（cm）； （2）由图可知： △BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE， ∴BE＝AE+AC， 又∵AB＝10cm，AC＝6cm，BE＝AB﹣AE， ∴AE+AC＝AB﹣AE， ∴10﹣AE＝AE+6， ∴AE＝2cm． 【课堂过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•香洲区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 2．（2023秋•青铜峡市期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【答案】B 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：B． 3．（2024春•夏津县期末）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△BEF＝2cm2（阴影部分），则△ABC的面积等于（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．5cm2 D．16cm2 【答案】B 【解答】解：∵F点为CE的中点， ∴S△BCF＝S△BEF＝2cm2， ∴S△EBC＝4cm2， ∵D点为BC的中点， ∴S△BDE＝S△CDES△EBC＝2cm2， ∵E点为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△EBD＝4cm2，S△ACD＝2S△ECD＝4cm2， ∴S△ABC＝4+4＝8（cm2）． 故选：B． 4．（2023秋•钢城区期末）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高 C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高 【答案】B 【解答】解：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABC中，AD是BC边上的高，故A不符合题意， ∵BE⊥AC，线段BE是AC边上的高，B选项符合题意； ∵CF⊥AB于点F， ∴CF是AB边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2024春•原阳县校级月考）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【解答】解：∵等腰三角形包括等边三角形， ∴①分类方法不对， ∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， ∴②分类方法对， 故选：B． 6．（2024•重庆模拟）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF 【答案】C 【解答】解：∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意； ∵BF＝CF， ∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 7．（2023秋•宁国市期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为10cm、3cm，则该三角形的周长可能是（　　） A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm 【答案】D 【解答】解：设第三根木棒长x cm， ∵两根木棒的长分别为3cm、10cm， ∴10﹣3＜x＜10+3， 即7＜x＜13， ∵该三角形的周长＝13+x， ∴20＜13+x＜26， 故选：D． 8．（2024春•武侯区校级月考）以长为3cm，4cm，7cm，11cm的四条线段中的三条线段为边，可以组成三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【解答】解：首先进行组合，则有3，7，11；4，7，3；3，7，11；4，7，11，根据三角形的三边关系，没有能组成三角形的． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 9．（2024春•邗江区期末）△ABC的三边长为a、b、c，若a＝4，b＝2，c是偶数，则该三角形的周长等于 　10　． 【答案】10． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC 的三边，a＝4，b＝2， ∴2＜c＜6， ∵c是偶数， ∴c＝4， ∴该三角形的周长等于4+2+4＝10． 故答案为：10． 10．（2024春•呈贡区校级期末）如果不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1，那么整数x的取值是 　7，8，9　． 【答案】7，8，9． 【解答】解：∵不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1， ∴7﹣2＜x﹣1＜7+2， 解得6＜x＜10， ∴整数x的取值是7，8，9． 故答案为：7，8，9． 11．（2023秋•乐陵市校级期中）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，已知AB＝6，AD＝5，BC＝4，则CE＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵S△ABC，AB＝6，AD＝5，BC＝4， ∴4×5＝6CE， ∴CE． 故答案为：． 12．如图，图中共有 　6　个三角形，△ABE中，AE所对的角是 　∠B　，∠BAE所对的边是 　BE　，AD在△ADE中是 　∠AED　的对边，在△ADC中是 　∠C　的对边． 【答案】6，∠B，BE，∠AED，∠C． 【解答】解：图中共有6个三角形，它们分别是△ABC、△ABE、△ABD、△ADE、△ADC、△AEC； 在△ABE中，AE边所对的角是∠B，∠BAE所对的边是BE； 在△ADE中，AD是∠AED的对边；在△ADC中，AD是∠C的对边． 故答案为：6，∠B，BE，∠AED，∠C． 13．（2023秋•六盘水期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　16　． 【答案】16． 【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣2＝0， 解得：a＝7，b＝2， 由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9， 又∵c为奇数， ∴c＝7， ∴△ABC的周长为7+2+7＝16． 故答案为：16． 三．解答题（共7小题） 14．（2023秋•青山湖区校级月考）已知：△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝5，b＝6，△ABC的周长是小于18的偶数，求c的长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 【答案】（1）4或6；（2）0． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝5，b＝6， ∴1＜c＜11， ∵三角形的周长是小于18的偶数， ∴1＜c＜7， ∴c＝3或5； （2）|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c+c﹣a﹣b ＝0， 15．（2023秋•固安县校级月考）如图，△ABC的周长为27，AC＝9，BC边上的中线AE＝6，△ABE的周长为19，求AB的长． 【答案】8． 【解答】解：设AB＝x，BE＝y， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC＝2BE＝2y， 由题意得：C△ABC＝AB+AC+BC＝x+9+2y＝27， C△ABE＝AB+AE+BE＝x+6+y＝19， 即：， 解得， ∴AB的长为8． 16．（2023春•新城区校级期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝6，AC＝7，△ABD的周长为16，求△ACD的周长． 【答案】△ACD的周长为17． 【解答】解：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD． ∵△ABD的周长为16，AB＝6， ∴AD+BD＝10，即AD+CD＝10， ∴AD+CD+AC＝10+7＝17， 即△ACD的周长为17． 17．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠CAB＝90°，∠B＝50°． （1）求∠DAE； （2）若AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，求AD的长． 【答案】（1）∠DAE＝5°． （2）AD的长为4.8cm． 【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，∠CAB＝90°， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°， ∴∠DAE＝45°﹣40°＝5°， 答：∠DAE＝5°． （2）∵∠CAB＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，S△ACB， ∴8×6＝10×AD， ∴AD＝4.8cm． 答：AD的长为4.8cm． 18．（2023秋•丛台区校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1）AB＝9，AC＝5； （2）18＜△ABC周长＜28． 【解答】解：（1）∵BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝4， 即AB﹣AC＝4①， 又AB+AC＝14②， ①+②得．2AB＝18， 解得AB＝9， ②﹣①得，2AC＝10， 解得AC＝5， ∴AB和AC的长分别为：AB＝9，AC＝5． （2）∵AB＝9，AC＝5， ∴AB﹣AC＜BC＜AB+AC， 即9﹣5＜BC＜9+5， ∴4＜BC＜14， ∴4+9+5＜AB+BC+AC＜14+9+5， ∴18＜△ABC周长＜28． 19．（2024春•蒸湘区校级期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝110°，求∠BCF的度数． 【答案】50°． 【解答】解：∵CD是AB边上高， ∴∠BDC＝90°， ∵∠BFC＝110°， ∴∠DBF＝∠BFC﹣∠BDC＝20°， ∵BE为角平分线， ∴∠ABC＝2∠DBF＝40°， ∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝50°． 20．（2022春•都江堰市校级期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|； （2）若a＝5，b＝2，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断△ABC的形状． 【答案】（1）a+b﹣c； （2）①5； ②△ABC是等腰三角形． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0， ∴原式＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝a+b﹣c； （2）∵a＝5，b＝2， ∴5﹣2＜c＜5+2， 即3＜c＜7， ∵三角形的周长为偶数， ∴c＝5； ②∵a＝c＝5， ∴△ABC是等腰三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/10 12:04:04；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【综合达标训练】 一．选择题（共7小题） 1．（2023春•甘井子区校级月考）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：B、C、D选项中都有四边形，只有A选项中只有三角形，根据四边形的不稳定性和三角形的稳定性可知：A选项的图形具有稳定性． 故选：A． 2．（2022秋•古冶区期中）老师给同学一组数据画出三角形，你认为能画成三角形的一组数据是（　　） A．1，2，3 B．3，4，8 C．3，3，4 D．2，3，5 【答案】C 【解答】解：A项，1+2＝3，故不能构成三角形，本项不符合题意； B项，3+4＝7＜8，故不能构成三角形，本项不符合题意； C项，3+3＝6＞4，4﹣3＝1＜3，故能构成三角形，本项符合题意； D项，2+3＝5，故不能构成三角形，本项不符合题意； 故选：C． 3．（2023秋•保定期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：∵阴影部分的面积为2， ∴S△EBD+S△ACE＝2， 在△ABC中，D是BC的中点， ∴AD为△ABC的中线，ED为△EBC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD，S△EBD＝S△ECD， ∴S△ABD﹣S△EBD＝S△ACD﹣S△ECD， ∴S△ABE＝S△ACE， ∵点E为AD的中点， ∴CE是△ACD的中线， ∴S△ACE＝S△ECD， ∴S△EBD＝S△ECD＝S△ABE＝S△ACE， ∴S△ABC＝2（S△EBD+S△ACE）＝2×2＝4． 故选：B． 4．（2023秋•江津区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，则AB边上的高是（　　） A．AD B．CE C．DC D．AE 【答案】B 【解答】解：如图，AB边上的高为CE． 故选：B． 5．有两个角是锐角的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【解答】解：有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角，也可能是钝角， ∴这个三角形可能是锐角三角形，直角三角形，也可能是钝角三角形， 故选：D． 6．（2024春•射洪市期末）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件， 故选：C． 7．已知△ABC中，D是BC边上的一点，点E在AD上，下列结论中不一定成立的是（　　） A．如果AD是△ABC的中线，那么ED是△EBC的中线 B．如果AD是△ABC的高，那么ED是△EBC的高 C．如果AD是△ABC的角平分线，那么ED是△EBC的角平分线 D．如果AD是△ABC的高，那么BD是△ABE的高 【答案】C 【解答】解：A．如果AD是△ABC的中线，那么ED是△EBC的中线，故正确，不符合题意； B．如果AD是△ABC的高，那么ED是△EBC的高，故正确，不符合题意； C．如果AD是△ABC的角平分线，那么ED不一定是△EBC的角平分线，故错误，符合题意； D．如果AD是△ABC的高，那么BD是△ABE的高，故正确，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以AB为公共边的“共边三角形”有 　，3　对，分别是 　△ABD，△ABE，△ABC　． 【答案】3，△ABD，△ABE，△ABC． 【解答】解：以AB为公共边的“共边三角形”有3对，分别是△ABD，△ABE，△ABC． 故答案为：3， 9．（2023•绵阳模拟）三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是　3或4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：2x﹣1＜9， 解得：x＜5， ∵x是它的正整数解， ∴x可取1，2，3，4， 根据三角形第三边的取值范围，得2＜x＜14， ∴x＝3，4． 故答案为：3或4． 10．下列各组数中：①5，12，13；②5，7，7；③5，7，12；④101，102，103，不能作为一个三角形的三边长的一组是　③　．（填序号） 【答案】③． 【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知 ①5+12＞13，能组成三角形； ②5+7＞7，能组成三角形； ③5+7＝12，不能够组成三角形； ④101+102＞103，能组成三角形． 故答案为③． 11．（2023秋•沧县期中）如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴S△ABCBC•ADAB•AC， ∴BC•AD＝AB•AC， ∴AD， 故答案为：． 12．（2022秋•凉山州期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　7　． 【答案】7． 【解答】解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣1＝0， 解得a＝7，b＝1， ∵7﹣1＝6，7+1＝8， ∴6＜c＜8， 又∵c为奇数， ∴c＝7． 故答案为：7． 三．解答题（共7小题） 13．（2024春•邗江区期中）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 【答案】（1）c＝4或6； （2）2a+2b﹣2c． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8， ∴2＜c＜14， ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c﹣c+a+b ＝2a+2b﹣2c． 14．（2023秋•苍梧县期中）如图，已知△ABC的周长为16cm，，AD＝4cm，AD是BC边上的中线，△ABD的周长是12cm，求△ABC各边的长． 【答案】AB＝5cm，BC＝6cm，AC＝5cm． 【解答】解：∵，AD＝4cm， ∴AB＝5cm， ∵△ABD的周长是12cm， ∴BD＝12﹣5﹣4＝3cm， ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD＝3cm， ∴BC＝BD+CD＝6cm， ∵△ABC的周长为16cm， ∴AC＝16﹣5﹣6＝5cm． 15．（2023秋•昌吉州期中）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【答案】（1）AE＝2cm； （2）AE＝1cm或3cm． 【解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE， 又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点， ∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE， 即BE＝AE+AC， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴10﹣AE＝AE+6， ∴AE＝2cm． （2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程 ①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2． 解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm． 故AE长为1cm或3cm． 16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ACD比△ABD的周长大3，求AC与AB的差． 【答案】3． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， ∵C△ABD＝AB+AD+BD，C△ACD＝AC+CD+AD， ∴C△ABD﹣C△ACD＝AC﹣AB＝3． 即AC与AB的差为3． 17．（2022秋•恩施市期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 【答案】AC＝48，AB＝28． 【解答】解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x， ∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB， ∴AC+CD＝60，AB+BD＝40， 即4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， 所以AC＝48，AB＝28． 18．（2023秋•大荔县期中）如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6，AC＝4，求的值． 【答案】． 【解答】解：∵△ABC中，AD为中线， ∴BD＝DC， ∴S△ABD＝S△ADC． ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝6，AC＝4． ∴， ∴， ∴． 19．（2023秋•同心县校级月考）已知△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若a＝4，b＝6，且△ABC的周长是小于18的偶数，求c的值； （2）化简：|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 【答案】（1）4或6； （2）0． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6， ∴2＜c＜10， ∵三角形的周长是小于18的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c+c﹣a﹣b ＝0． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/10 12:09:00；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$