专题05 代数式42道压轴题型专训（7大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题05 代数式42道压轴题型专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 代数式的相关求值压轴题型 题型二 数字类规律探索压轴题型 题型三 图形类规律探索压轴题型 题型四 整式的加减运算压轴题型 题型五 整式加减的应用压轴题型 题型六 整式加减中的无关型压轴题型 题型七 整式计算的新定义问题 【经典例题一 代数式的相关求值压轴题型】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）若，试求： (1)当时，有何结论？ (2)当时，有何结论？ (3)当时，有何结论？ (4)你能求出． 4．（23-24七年级上·山西大同·期中）【实践与应用】学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 6元/个 不超过100个时，20元/个； 超过100个时，其中100个单价仍是20元/个，超出部分打九折 (1)若学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付____________元，选乙供应商需要支付____________元； (2)现学校需要定制份奖品． 若选择甲供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） 若选择乙供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） (3)如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱． 5．（2024七年级·全国·竞赛）若干个1与排成一行：规则是：先写一行1，再在第个1与第个1之间插入个． (1)第2012个数是1还是? (2)前2012个数的和是多少? 6．（23-24七年级上·山西运城·期中）阅读材料，解决下列问题： 灵动数 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，将其千位数字和百位数字组成一个两位数，再将其十位数字和个位数字组成一个两位数，若十位数字和个位数字组成的两位数是千位数字和百位数字组成的两位数的2倍，则称这个四位正整数为“灵动数”．比如四位数2346，千位数字和百位数字组成的两位数是23，十位数字和个位数字组成的两位数是46，因为，所以2346是“灵动数”．我们可以用这两个两位数来表示“灵动数”，如2346可表示为：． (1)判断3470是不是“灵动数”，并说明理由； (2)请写出一个“灵动数”：________，并用其千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：________． (3)若用a表示一“灵动数”千位数字和百位数字组成的两位数，则这个“灵动数”表示为________；（用含a的代数式表示） (4)将（3）中的“灵动数”的千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数交换位置，得到一个新四位数，聪明的亮亮发现原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数，请你帮亮亮说明其中的原因． 【经典例题二 数字类规律探索压轴题型】 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 2、（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）已知有数列：，，…，，和，，…，且满足：，，，已知，则下列说法正确的有： ． ① ② ③ ④ 3．（22-23七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期末）把千位数为a、百位数为b、十位数为c、个位数为d的四位数记为；规定：若一个四位数的各位数满足：（其中k为整数），则称这个四位数为“k阶位数”：例：5367是“阶位数”，因为；7264不是“k阶位数”． (1)判断数8231与2597是不是“k阶位数”，若是，求出k的值； (2)若四位数是“2阶位数”，且，，求所有满足条件的四位数； (3)若记四位数．将各位数顺序颠倒后记为．若M是“k阶位数”，且，，试用含k的式子表示的值． 5．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：正三角形各边上的数之和相等；正三角形各边上的数的平方和除以3的余数相等． 问：有多少种不同的填入方法？（注意：经过旋转和轴对称反射，排列一致的，一边上数字相同的，视为同一种填法） 6．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 【经典例题三 图形类规律探索压轴题型】 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 2．（2024·山东济宁·二模）如图，是一回形图，其回形通道的宽和的长均为1，回形线与射线交于，，，…．若从点到点的回形线为第1圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第11圈的长为 3．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 4．（2024·安徽合肥·一模）如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 5．（23-24七年级上·江苏常州·期中）【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 6．（22-23七年级上·山西临汾·期末）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________． 则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②若，则__________． ③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 【经典例题四 整式的加减运算压轴题型】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）有一组非负整数：，从开始，满足，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： 当时，； 当时，； 当时，； 当，（，为整数）时，． 其中正确的结论个数有（    ） A． 个 B．个 C．个 D． 个 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知，在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算；称此为“绝对操作”．例如：，，…下列说法： ① 不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ② 存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③ 若只添加1个绝对值符号，“绝对操作”共有4种不同运算结果： ④ 所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的是 ． （填序号） 3．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于31的“相对关系值”为1． ①的最大值为 ； ②直接写出所有的值．（用含的式子表示） 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 5．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则______，______；，两点之间的距离为______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点所对应的有理数； (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 6．（23-24七年级上·四川成都·期中）关于y的整式，当y取任意一组相反数n与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式” (1)若整式A是关于y的“奇整式”，当y取3与时，对应的整式值分别为，，则______． (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由． (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是______，“奇整式”是______． ②当y分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是______． 【经典例题五 整式加减的应用压轴题型】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2024七年级·全国·竞赛）某居民楼共有三层，据调查发现：第一层有成年女子9人，男孩儿2人，女孩儿5人；第二层住有18人，其中成年男子10人，女孩儿1人；第三层有成年男子8人，成年女子4人，男孩儿6人；成年男子总数比成年女子总数多4人，男孩儿与女孩儿总数一样．则该居民楼共有居民 人． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读材料： 如下图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤中的值和校验码的值； (2)如图，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则______（请直接写结果）； (3)如图，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是，这两个数字从左到右分别是______（请直接写结果）· 4．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 6．（23-24七年级上·江苏·周测）【课本探究】小明在学习《苏科版七上·数学》课本第31页“数学实验室”中碰到如下问题： 如图2-14，把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“”的位置上．用算式可以将结果表示为：．    【深度思考】小明运用“由特殊到一般”的数学思想方法，得出结论：若表示数m的点向左平移个单位长度，得到的点表示的数为；向右平移个单位长度，得到的点表示的数为 ． 【实际应用】数轴上A、B、C、D 四点表示的数分别为a，b，c，d，且点A向右移动1个单位长度到点B位置，点B向右移动个单位长度到点C位置，点C向右移动个单位长度到点D位置， (1)当时，则 ； ； ； (2)在（1）的条件下，若A、B两点分别以2个单位长度每秒的速度向右运动，同时C、D两点分别以1个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当A、B两点中至少有一个点落在C、D之间时（不包含C、D两点），求运动时间t的取值范围是多少? (3)若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，，求出a可能的值． (4)若a，b，c，d这四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等．当n为任意正整数时，a始终为整数．求此时a与n之间的数量关系式 ． 【经典例题六 整式加减中的无关型压轴题型】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若代数式值与无关，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 3．（22-23七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母表示，比如，点A与点C之间的距离记作． (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为多少？ (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，若的值不随时间t的变化而改变，求m的值． 4．（21-22七年级上·广东湛江·阶段练习）已知：， (1)求 (2)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值 (3)若关于的方程无解，有无数解，求的值 5．（20-21七年级上·山东聊城·期末）已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 6．（20-21七年级上·四川遂宁·阶段练习）一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 【经典例题七 整式计算的新定义问题】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 2．（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 3．（22-23七年级上·广东江门·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期中）定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 代数式42道压轴题型专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 代数式的相关求值压轴题型 题型二 数字类规律探索压轴题型 题型三 图形类规律探索压轴题型 题型四 整式的加减运算压轴题型 题型五 整式加减的应用压轴题型 题型六 整式加减中的无关型压轴题型 题型七 整式计算的新定义问题 【经典例题一 代数式的相关求值压轴题型】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是根据题意得出． 先把代入，得到；再把代入得到，整理为，然后利用整体代入的思想计算即可． 【详解】解：∵时，代数式， ∴， 把代入代数式得 ． 故选：D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先化简代数式，再把代入化简后的结果可得，求出的值，再把以及的值代入代数式计算即可求解，解题的关键是求出的值． 【详解】解： ， ， ， 把代入得，， 解得， 把，代入代数式得， ． 故答案为：． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）若，试求： (1)当时，有何结论？ (2)当时，有何结论？ (3)当时，有何结论？ (4)你能求出． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算． （1）把代入所给等式中得到，即可得出结论； （2）把代入所给等式中得到，整理即可得出结论； （3）把代入所给等式中得到，整理即可得出结论； （4）把（2）和（3）中的两结论相减可计算出． 【详解】（1）解：当时，， 即； （2）解：当时，， 即①； （3）解：当时，， 即②； （4）解：由得， 所以． 4．（23-24七年级上·山西大同·期中）【实践与应用】学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 6元/个 不超过100个时，20元/个； 超过100个时，其中100个单价仍是20元/个，超出部分打九折 (1)若学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付____________元，选乙供应商需要支付____________元； (2)现学校需要定制份奖品． 若选择甲供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） 若选择乙供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） (3)如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱． 【答案】(1)720，520； (2)，； (3)选择甲供应商比较省钱． 【分析】本题主要考查了有理数的应用、列代数式、代数式求值等知识点，分别表示出甲、乙需要支付费用的代数式是解题的关键． （1）根据题意分别计算出甲、乙供货商需付款额即可； （2）根据题意分别列出甲、乙供货商需付款的代数式即可； （2）当时，分别求代数式的值，然后比较大小，选择花钱少的即可． 【详解】（1）解：学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付：（元）， 学校需要定制20份奖品，则选乙供应商需要支付：（元）． 故答案为：720，520． （2）解：选择甲需要支付费用：元； 选择乙需要支付费用： 当不超过100个时，（元）， 当超过100个时，元． 故答案为：，． （3）解：当时， 甲供应商：（元） 乙供应商：（元） ∵ ∴选择甲供应商比较省钱． 5．（2024七年级·全国·竞赛）若干个1与排成一行：规则是：先写一行1，再在第个1与第个1之间插入个． (1)第2012个数是1还是? (2)前2012个数的和是多少? 【答案】(1)第2012个数为． (2) 【分析】本题主要考查了数字规律，理解并应用数字规律是解题的关键． （1）根据规则可知第行共有数字个数为，由于时，数字个数为1953个，时，数字个数为2016个，从而得出第2012个数； （2）由（1）可知2012个数在62行，则共有62个1，其余均为，然后据此求和即可． 【详解】（1）解：排列规律如下： 1行：， 2行：， 3行：， …… …行 ∴到第行共有数字个数为， 由于时，，时，． ∴第2012个数为． （2）解：设前2012个数的和为， 由（1）可得：2012个数在62行，则共有62个1，其余均为． 则． 6．（23-24七年级上·山西运城·期中）阅读材料，解决下列问题： 灵动数 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，将其千位数字和百位数字组成一个两位数，再将其十位数字和个位数字组成一个两位数，若十位数字和个位数字组成的两位数是千位数字和百位数字组成的两位数的2倍，则称这个四位正整数为“灵动数”．比如四位数2346，千位数字和百位数字组成的两位数是23，十位数字和个位数字组成的两位数是46，因为，所以2346是“灵动数”．我们可以用这两个两位数来表示“灵动数”，如2346可表示为：． (1)判断3470是不是“灵动数”，并说明理由； (2)请写出一个“灵动数”：________，并用其千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：________． (3)若用a表示一“灵动数”千位数字和百位数字组成的两位数，则这个“灵动数”表示为________；（用含a的代数式表示） (4)将（3）中的“灵动数”的千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数交换位置，得到一个新四位数，聪明的亮亮发现原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数，请你帮亮亮说明其中的原因． 【答案】(1)不是，见解析 (2)3060（答案不唯一）；（答案不唯一） (3) (4)见解析 【分析】本题考查了新定义，列代数式， （1）根据“灵动数”的定义，计算即可判断； （2）根据“灵动数”的定义和题干中的表示方法，即可解答； （3）根据“灵动数”的定义和题干中的表示方法，即可解答； （4）根据题意，将转换位置后的数字表示出来，看所得的代数式能否被3整除，即可解答， 正确理解新定义，把新知识转化为熟悉的知识进行解答，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故3470不是“灵动数”； （2）解：根据“灵动数”的定义，可写出“灵动数”：3060，（答案不唯一） 用千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：；（答案不唯一） （3）解：由题意得该“灵动数”十位位数字和个位数字组成的两位数为， 则这个“灵动数”表示为； （4）解：， 新四位数为， ， 为正整数， 和也为正整数， 原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数． 【经典例题二 数字类规律探索压轴题型】 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 2、（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）已知有数列：，，…，，和，，…，且满足：，，，已知，则下列说法正确的有： ． ① ② ③ ④ 【答案】①③ 【分析】本题考查了新定义，数字的规律，解题关键是根据定义求出各个字母的值．首先根据题意求出到的值，可以判断①②，再根据定义得出到的值，进而根据题意得出到的值，找出规律，即可判断③④． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，，，，，，，，； ∴；故①正确，②错误； ∴，，，，，，，，， ∴，，，，， ∴， 故③正确； ∵， 而， ∴， 故④错误． 故答案为：①③． 3．（22-23七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【详解】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期末）把千位数为a、百位数为b、十位数为c、个位数为d的四位数记为；规定：若一个四位数的各位数满足：（其中k为整数），则称这个四位数为“k阶位数”：例：5367是“阶位数”，因为；7264不是“k阶位数”． (1)判断数8231与2597是不是“k阶位数”，若是，求出k的值； (2)若四位数是“2阶位数”，且，，求所有满足条件的四位数； (3)若记四位数．将各位数顺序颠倒后记为．若M是“k阶位数”，且，，试用含k的式子表示的值． 【答案】(1)8231是，；2597不是 (2)所有满足的四位数有：9330，9341，9352，9363，9374，9385，9396 (3) 【分析】本题考查了新定义运算与数字类游戏，解题的关键是紧扣定义作灵活的变形运算． （1）根据“k阶位数”的定义进行判定即可，注意k必须为整数． （2）根据“2阶位数”的定义并结合已知条件求得a、b的值，然后根据等式确定四位数的个位数与十位数字． （3）先将M与N用a、b、c、d的代数式表示出来，分别求得的表达式，代入的表达式中即可． 【详解】（1）是k阶位数， ∵， ∴； 不是k阶位数． ∵， ∴不是整数． （2）根据题意得， ∵，， ∴ 解得；． ∵c，d是小于的整数， 由可知，d可取之间的整数，则相应得到c的值． ∴所有满足的四位数有： （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ ． 5．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：正三角形各边上的数之和相等；正三角形各边上的数的平方和除以3的余数相等． 问：有多少种不同的填入方法？（注意：经过旋转和轴对称反射，排列一致的，一边上数字相同的，视为同一种填法） 【答案】6 【分析】本题考查了规律型：数字变化类．解题关键是把m用a，b，c表示出来，进行讨论．先设正三角形三个顶点的数为a，b，c，正三角形各边上的数之和相等为m，再把m用a，b，c表示出来，然后讨论计算说明即可． 【详解】解：设正三角形三个顶点的数为a，b，c，正三角形各边上的数之和相等为m， ∴， ∴， ①a，b，c为1，4，7，， ， ， ， ， ∴以上均符合题意； 或者：， ， ， ， ∴符合题意； ②a，b，c为2，5，8，， ， ， ， ， ∴符合题意； 或者：， ， ， ， ∴符合题意； ③a，b，c为3，6，9，m=21， 3+5+7+6=6+2+4+9=9+8+1+3=21， ， ， ， ∴符合题意； 或者， ， ， ， ∴符合题意． 综上可知：共有6种不同的填法． 6．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 【答案】①；②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查图形的规律，能够通过题中所给的方法，探究出规律，并能将得到的公式加以运用是解题的关键； 通过观察图形可得；通过观察图形，可得这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： 即可求解，即可得规律代入探究的结论即可得； 【详解】解：①由题意可得，同一行圆圈个数之和均为 个；由此可得两个图前n行圆圈个数总和为： ②； ③由题意可得，相同位置上三个圆圈中数字之和均为 ， ④由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： ⑤    ； ⑥计算 ⑦求 【经典例题三 图形类规律探索压轴题型】 1．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 2．（2024·山东济宁·二模）如图，是一回形图，其回形通道的宽和的长均为1，回形线与射线交于，，，…．若从点到点的回形线为第1圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第11圈的长为 【答案】87 【分析】本题考查了图形变化的规律．根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算． 【详解】观察图形发现： 第一圈的长是； 第二圈的长是； 第三圈的长是； …… 则第n圈的长是． 当时，原式． 故答案为87． 3．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 4．（2024·安徽合肥·一模）如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 【答案】(1)表格补充完整见解析； (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有个． 【分析】（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，由（）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数； 本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 （2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个， ∴当圆环串由个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）解：当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个， ∴空心圆圈有个． 5．（23-24七年级上·江苏常州·期中）【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)10， (2)13， (3) 【分析】（1）根据题意第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点，第n次继续增画点后，，用代数式表示即可； （2）第2次画点后，在原基础上增加了2个点，就增加了个小三角形，，第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，，根据，，，可以推出； （3）由（2）可推得，两式相减，去括号化简即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得：第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第n次继续增画点后，， 也可以写成， ∴(共有n个这样的数) ∴ 故答案为：10，； （2）解：第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，， 第4次画点后，在原基础上增加了4个点，就增加了个小三角形，， 根据，，，， ∵，，， ∴ 故答案为：13，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有变化，分析其联系与区别，有时需要多画出几个图形进行观察，归纳时要注意数形结合思想． 6．（22-23七年级上·山西临汾·期末）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________． 则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②若，则__________． ③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 【答案】(1)， (2)①5047；②100；③， (3)①90；②135；③ 【分析】（1）根据题目中的规律即可求解； （2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据（1）中的规律得出方程，解方程即可求解；③根据规律即可求解； （3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛． 【详解】（1）解：． 则． 故答案为：，； （2）解：①． ②∵， ∴，解得或（舍去）， 则． ③如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条． 故答案为：①5047；②100；③，； （3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班； ②横线上的线段有条，竖线上的线段有条， 则横线和竖线上的线段共有条； ③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛， 16强分成8组对阵，共有8场比赛， 8强分成4组对阵，共有4场比赛， 4强分成2组对阵，共有2场比赛， 决赛有2场比赛， 故共有场比赛． 故答案为：①90；②135；③64． 【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题． 【经典例题四 整式的加减运算压轴题型】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）有一组非负整数：，从开始，满足，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： 当时，； 当时，； 当时，； 当，（，为整数）时，． 其中正确的结论个数有（    ） A． 个 B．个 C．个 D． 个 【答案】B 【分析】根据其规律，求出其值，再判定结论错误与否． 【详解】根据题意有，当，时，，，故结论错误； 当，时，，，，，，, ，，， ，，， ∴， ， ， 故结论正确； 当，，时，则有：， 解得：，故结论正确； 当，(，为整数)时， ，，，，， ， ∴， 故结论错误； 综上所述，正确的结论个数为个， 故选：． 【点睛】此题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，从数据中找到了数的变化规律以及对绝对值理解是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知，在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算；称此为“绝对操作”．例如：，，…下列说法： ① 不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ② 存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③ 若只添加1个绝对值符号，“绝对操作”共有4种不同运算结果： ④ 所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的是 ． （填序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算．根据“绝对操作”的定义，逐一进行判断即可．需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．难度较大． 【详解】①当前两项添加绝对值时：，运算结果与原多项式相等；故①错误； ②∵不可能变成，故不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②错误； ③若只添加1个绝对值符号：；； ； “绝对操作”共有4种不同运算结果；故③正确； ④由③知：只添加1个绝对值符号，“绝对操作”共有4种不同运算结果； 当添加个绝对值时： ∵， ∴当添加的两个绝对值有一个是 时，最终结果跟只加一个绝对值的结果相同， 当添加的两个绝对值不包含时， ； 综上：所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果．故④正确； 故答案为：③④． 3．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于31的“相对关系值”为1． ①的最大值为 ； ②直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或6 (3)①3；②或或或 【分析】本题考查了绝对值的意义，化简绝对值．分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，和6关于2的“相对关系值”为，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）①由题意知，，然后分当时；当时；当时；当，时，化简绝对值，然后求解即可；②由题意知，，，……，，分当时；当，时；当，时；当时； 当，时；当，时，分别计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，和6关于2的“相对关系值”为， 故答案为：； （2）解：由题意知，，即， 解得，或， ∴a的值为或6； （3）①解：由题意知，， 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则，； 当，时，，则； 综上所述，的最大值为3， 故答案为：3； ②解：由题意知，，，……，， ∴当时，，解得，； 同理，，……. ， ∴； 当，时，，此情况不成立； 当，时，则，，……，， ∴； 当时，由题意得，，，……，， ∴，即， 同理，，…...，， ∴； 当，时，，此情况不成立； 当，时，，即， 同理，，，……，， ∴； 综上所述，的值为或或或． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，5 (2)3 (3)①28；②当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 【分析】（1）根据最大的负整数是−1，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）由题意容易得出折叠点表示的数是1，再根据与2的距离可得答案； （3）①先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论； ②先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，然后分A在B的左侧；A在B的右侧讨论，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，c满足与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∵b是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，5； （2）解：当与5重合时，折叠点是， ∴与点B重合的点表示的数为：， 故答案为：3； （3）解：①t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， ∴ ； ②秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， 当A、B重合时，，解得， 当A在B的左侧，即时，， ∴ ， ∴的值随时间t的变化而变化； 当A在B的右侧，即时，， ∴ ； 综上，当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 5．（23-24七年级上·浙江金华·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则______，______；，两点之间的距离为______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点所对应的有理数； (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】(1)，；10 (2) (3)点运动的方向：向左， 【分析】本题考查了多项式的概念，整式的加减，数轴， （1）根据为二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离； （2）根据点的运动，找到规律，可得点对应的有理数； （3）当点D向左运动时，当点D向右运动时，分别进行求解即可得出结论， 根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键． 【详解】（1）解：是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， ， ，两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； ， 第2023次运动P点对应的数为； （3）解：移动后的位置为，移动后的位置为， ①当点D向左运动时，移动后的位置为， 则， 的值始终保持不变， ，即； ②当点D向右运动时，移动后的位置为， 则， 的值始终保持不变， ，即（舍去）， 综上所述，点运动的方向向左，且． 6．（23-24七年级上·四川成都·期中）关于y的整式，当y取任意一组相反数n与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式” (1)若整式A是关于y的“奇整式”，当y取3与时，对应的整式值分别为，，则______． (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由． (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是______，“奇整式”是______． ②当y分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是______． 【答案】(1)0 (2)式子是“奇整式”，理由见解析 (3)①；；②35 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）将代替y代入观察结果与原式的结果关系即可判断； （3）①将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式； ②将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知，整式的值互为相反数， ∴， 故答案为：0； （2）是奇整式， 理由：将代入中可得； ∵与互为相反数， ∴该式为奇整式； （3）解：①， ∵，， ∴是偶整式，是奇整式． 故答案为：；； ②由于是偶整式，是奇整式， ∴当y分别取，，，0，1，2，3时， 的值分别为10,5,2,1,2，5,10； 当y取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0； ∴这七个整式的值之和是； 故答案为：35． 【点睛】本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等． 【经典例题五 整式加减的应用压轴题型】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据图形列出阴影部分的周长是解答本题的关键． 设正方形纸片①②③④的边长为、、、；列出两个阴影部分边长之差即可得到结果． 【详解】解：设正方形纸片①②③④的边长为、、、，如图： 左上角阴影部分的周长为：， 右下角阴影部分的周长为：， ∴两部分阴影周长值差为： ， ∴要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可， 故选：A． 2．（2024七年级·全国·竞赛）某居民楼共有三层，据调查发现：第一层有成年女子9人，男孩儿2人，女孩儿5人；第二层住有18人，其中成年男子10人，女孩儿1人；第三层有成年男子8人，成年女子4人，男孩儿6人；成年男子总数比成年女子总数多4人，男孩儿与女孩儿总数一样．则该居民楼共有居民 人． 【答案】60 【分析】本题考查了代数式应用，熟练是读懂题意，找到关键描述语，表示出相互关系是解题的关键， 设出第三层有女孩人，分别表示出第二次男孩人数，第二次成年女子人数，然后表示出所有成年女子人数及整个居民楼的居民数，化简即可得到答案． 【详解】解：设第三层有女孩人， 则第二层有男孩人， 第二层有成年女子人． 该居民楼成年女子总数为人， 该居民楼共有居民： 故答案为：60 3．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读材料： 如下图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤中的值和校验码的值； (2)如图，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则______（请直接写结果）； (3)如图，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是，这两个数字从左到右分别是______（请直接写结果）· 【答案】(1)，； (2)； (3)，或，． 【分析】（）根据特定的算法代入计算即可求解； （）根据特定的算法依次求出，，，，再根据为的整数倍即可求解； （）根据校验码为结合两个数字的和是即可求解； 本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律，利用规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤”中的的值为，校验码的值为， 故答案为： ，； （2）解：根据题意得：，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设两个数字从左到右分别是， 由题意得：，， ∴， ∵检验码为， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字为， ∵， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或（舍去） 故答案为：，或，． 4．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1)； (2) (3)①是；；②或4 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：； （2）解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ； （3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，解绝对值方程，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 6．（23-24七年级上·江苏·周测）【课本探究】小明在学习《苏科版七上·数学》课本第31页“数学实验室”中碰到如下问题： 如图2-14，把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“”的位置上．用算式可以将结果表示为：．    【深度思考】小明运用“由特殊到一般”的数学思想方法，得出结论：若表示数m的点向左平移个单位长度，得到的点表示的数为；向右平移个单位长度，得到的点表示的数为 ． 【实际应用】数轴上A、B、C、D 四点表示的数分别为a，b，c，d，且点A向右移动1个单位长度到点B位置，点B向右移动个单位长度到点C位置，点C向右移动个单位长度到点D位置， (1)当时，则 ； ； ； (2)在（1）的条件下，若A、B两点分别以2个单位长度每秒的速度向右运动，同时C、D两点分别以1个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当A、B两点中至少有一个点落在C、D之间时（不包含C、D两点），求运动时间t的取值范围是多少? (3)若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，，求出a可能的值． (4)若a，b，c，d这四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等．当n为任意正整数时，a始终为整数．求此时a与n之间的数量关系式 ． 【答案】(1)，， (2)当时，A、B两点中至少有一个点落在C、D之间； (3)或； (4)． 【分析】（1）根据，分别求出，，； （2）先求得，，根据A、B两点运动的时间和距离，以及A、B两点进入之间的先后，列式计算即可求解； （3）若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，则剩下的那个数就是0，分四种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，分别计算即可求解； （4）根据题意得a，b，c，d是两正两负，分四种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， 而， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，则点B比点A先进入之间， 当点B比点C重合时，，， ∴； 当点A比点C重合时，，， ∴； 再移动后，点B比点D重合，再后点A比点D重合，最后均离开， 当点A比点D重合时，，， ∴； ∴当时，A、B两点中至少有一个点落在C、D之间； （3）解：若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，则剩下的那个数就是0， ①当时，成立； ②当时， ∵， ∴，，则当时成立； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴，而，此情况不成立； ④当时， ∵，，， ∴，而，此情况不成立； 综上，或； （4）解：∵a，b，c，d这四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等． ∴a，b，c，d是两正两负或四个都是正数（舍去）， 又，，，，则， 当两正两负时， ①，则， ∴，不恒为整数，不成立； ②，则， ∴，不恒为整数，不成立； ③，则， ∴，成立； ④，则， ∴，不是整数，不成立； 综上，． 【点睛】本题考查了数轴和动点问题，难度大，熟练掌握数轴上点之间的距离公式以及动点问题的解答方法是解题关键． 【经典例题六 整式加减中的无关型压轴题型】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若代数式值与无关，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先对代数式进行化简，根据题意求出的值，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 由于代数式值与无关， 故且， 解得， 故， 故选D． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 3．（22-23七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母表示，比如，点A与点C之间的距离记作． (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为多少？ (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，若的值不随时间t的变化而改变，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据多项式的次数及常数项定义解题； （2）分三种情况讨论，当当点D在点A的左侧时，或当点D在点A和点C之间时，或当点D在点C的右侧时，根据数轴上两点间距离的数量关系解题即可； （3）设运动时间为t秒时，分别写成出点表示的数为，点表示的数为，可以用t表示出来，即可求解． 【详解】（1）∵多项式的常数项是a，次数是c ∴， （2）由（1）得 设点D表示的数为n ①如图，当点D在点A和点C之间时 ， ∵， ∴， ∴ ②如图，当点D在点A的左侧时 ， ∵ ∴ ∴ ③如图，当点D在点C的右侧时 此时不满足 ∴不合题意，舍去 综上所述点D所表示的数为或 （3）如图： ∵点B所表示的数是1 ∴， 当运动时间为t秒时，根据题意得： ， ∴ ∵的值与t无关， ∴， ∴ 【点睛】本题考查数轴上的动点、利用数轴求两点间的距离，涉及多项式的次数、常数项、一元一次方程、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，解题的关键是掌握相关知识． 4．（21-22七年级上·广东湛江·阶段练习）已知：， (1)求 (2)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值 (3)若关于的方程无解，有无数解，求的值 【答案】(1) (2)b=2 (3)1 【分析】（1）把相应式子代入，先去括号、合并同类项化简即可； （2）根据当a取任何数值，A-2B的值是一个定值得出a的系数为0，列出方程即可； （3）根据方程解得情况求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）=a（b-2）+1， ∵无论取任何数值，它的值是一个定值， ∴b-2=0， 即b=2． （3）∵关于的方程无解，有无数解 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算、代数式求值、一元一次方程的解，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识，属于中考常考题型． 5．（20-21七年级上·山东聊城·期末）已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 【答案】（1），（2）-5 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n，再计算A-B即可； （2）先计算，再根据不含项以及项，得出m、n的值，代入即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得，， ∴，， ， =， =． （2）， =， ∵结果中不含有项以及项， ∴，， 解得，， 把代入， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质和整式的加减以及代数式求值，解题关键是能够根据非负数的性质或多项式不含某一项确定字母系数的值，并能熟练应用整式加减的法则进行计算． 6．（20-21七年级上·四川遂宁·阶段练习）一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 【答案】（1）六，四；（2）；（3）． 【分析】（1）根据一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，即可解答； （2）计算出，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出，的值，即可解答； （3）先将关于的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出、的值，进而求出当时，该多项式的值． 【详解】解：（1）为六次四项式； 故答案为：六，四； （2）， 中不含二次项， ，， ，， ； （3）． 是关于的二次多项式 ，即． 又当时，原代数式的值是 解得：． 关于的二次多项式 当时，原式． 【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念． 【经典例题七 整式计算的新定义问题】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 【答案】B 【分析】计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可， 本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的题计算方法． 【详解】解：当时， 第一次“F”运算为： ， 第二次“F”运算为：， 第三次“F”运算为：， 第四次“F”运算为：， 第五次“F”运算为：， 第六次“F”运算为：， 可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2023次是奇数，因此最后结果是4． 故答案为：B． 2．（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 【答案】4160 【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】由题意得： ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ∴，， ， ， 由规律可得每三次变换为一个循环， ∴ ∴ 故答案为：4160． 3．（22-23七年级上·广东江门·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 【答案】(1)6 (2) (3)2 【分析】本题考查新定义运算，非负数的性质，化简绝对值，整式的加减运算： （1）根据平方、绝对值的非负性质求出a，b的值，再代入即可； （2）根据数轴判断出，，再化简约对值，去括号、合并同类项即可； （3）根据定义先计算，再计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且， 解得，， ∴ ； （2）解：由数轴知，，且， ∴，， 则 ； （3）解：∵， ∴ ， 则 ， 由得， 解得． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）多项式A可以是；；；（2）这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题干信息分三种情况进行讨论，进行解答即可； （2）根据“二元对称关联式”的定义分三种情况进行讨论，进行计算即可． 【详解】解：（1）若，则： ； 若，则： ； 若，则： ； 综上分析可知，多项式A可以是；；． （2）若，则： ， ∴， 由得：， 由得：， ∴， ∴舍去， ∴； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 综上分析可知，这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时，． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)①与3不是互为“友好数”，理由见解析；② (2) (3) 【分析】本题考查数字规律，整式的加减： （1）①根据“友好数”的定义即可求解；②根据“友好数”的定义即可求解； （2）有理数与互为“友好数”，与互为相反数，可知，，化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①与3不是互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3不是互为“友好数”； ②∵， ∴， ∴的“友好数”为； 故答案为： （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数从开始4次一循环， ∵， ∴的值为． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期中）定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)，或或 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）根据新定义，用0减去，即可； （2）求出的和，进行判断即可； （3）根据题意，得到为常数，利用绝对值的意义，分类讨论求解即可． 掌握新定义，以及整式加减的运算法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）是，理由如下： ， ∴a与b是关于3的组合式． （3）∵， ∴， 当时，；此时 当时，； 当时：；此时 ∵c与d是关于常数m的组合式， ∴当时，，， 当时，； 当时，， 综上：，或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$