2.2 平方根 分层同步练习 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册2.2 平方根分层同步练习 班级： 姓名： 同学们： 练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！ 一、选择题 1．实数9的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．81 2．4的算术平方根是（　　） A．2 B． C． D．16 3．的值等于（　　） A．3 B． C． D．5 4．下列各式表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知.，则的值是（　　） A．457.3 B．45.73 C．1449 D．144.9 6．若一个正数的两个平方根分别是2m－4与3m－1，则m的值是（　　） A．1 B．－1 C．－3 D．－3或1 7．下列说法中正确的是（　　） A．-4的平方根为 B．-4的算术平方根为-2 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根为-4 8．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 9．已知，有以下结论：①或；②；③a是81的算术平方根；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知与是一个正数的平方根，则这个正数是（　　） A．1或9 B．3 C．1 D．81 二、填空题 11．已知：和是正数的两个平方根，则的值是　 　. 12．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4.9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是　 　． 13．若，则x的值为　 　. 14．的算术平方根是　 　. 15．已知的三边长为，，，且的两个平方根分别为和，则的值为　 　． 三、解答题 16． 已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，且与互为相反数，求a＋2b的值． 17． 已知：直角三角形ABC的三边长为a，b，c，且b的平方根分别为 与 ，求c的值. 18． 已知一个圆的半径为3，求与这个圆面积相等的正方形的边长.（ 取 ） 19． 已知某正数的两个平方根分别是 和 ，b的算术平方根是2，求 的平方根． 四、综合题 20．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9． （1）求a和m的值； （2）求关于x的方程的解． 21．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． （1）求原来正方形场地的周长； （2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 22． （1）已知2a－b的平方根为，3a＋b－2的算术平方根为3，求10a＋3b的平方根. （2）如图：已知线段AB与CD相交于点E，且AC∥BD，AE＝EB，求证：AC＝DB. 23．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例如： ， ， 这三个数， ， ， ，其结果 ， ， 都是整数，所以 ， ， 这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是 ，“最大算术平方根”是 . （1） ， ， 这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”； （2）已知 ，a， ，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的 倍，求a的值. 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵(±3)2=9， ∴9的平方根为±3. 故答案为：B. 【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根，据此解答. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：4的算术平方根是； 故答案为：A． 【分析】利用算术平方根的计算方法求解即可。 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为：A. 【分析】“”就是求9的算术平方根，根据算术平方根的定义，一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根，据此可得答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】“”求的是25的算术平方根，一个正数的算术平方根是一个正数，据此判断A；“”求的是25的平方根，一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数，据此判断B、C；根据“”可判断D. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵＝＝100， 而＝1.449， ∴＝1.449×100＝144.9. 故答案为：D. 【分析】＝＝100，然后将＝1.449代入计算即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m−4与3m−1， ∴2m−4＋3m−1＝0， ∴m＝1； 故答案为：A． 【分析】根据平方根的性质可得2m−4＋3m−1＝0，再求出m的值即可。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：A、-4没有平方根，故A不符合题意； B、-4没有算术平方根，故B不符合题意； C、0的平方根与算术平方根都是0，故C符合题意； D、（-4）2的平方根为±4，故D不符合题意； 故答案为：C 【分析】利用负数没有平方根和算术平方根，可对A，B作出判断；利用0的平方根和算术平方根都是0，可对C作出判断；利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可对D作出判断. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 与是同一个正数的两个平方根， ∴ 与互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：D. 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得m+4+m-2=0，求解可得m的值. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：根据算术平方根的定义得，，且负数没有算术平方根. ∴正确的是②③. 故答案为：B. 【分析】若(±a)2=b，则a为b的算术平方根，据此判断. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵与是一个正数的平方根， ∴或 ∴当不符合题意； ∴ ∴ 解得： ∴ ∴这个正数是 故答案为：C 【分析】根据平方根和算术平方根定义可得2a-1=-a+2，解方程求出a的值，然后根据这个正数等于平方根的平方可求解. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵和是正数的两个平方根， ∴， 解得， ∴， ∴. ∴ 故答案为：. 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得2m+1+m-3=0，解之求出m的值；然后根据平方根定义得a=(2m+1)2求得a的值，再把a、m的值代入所求代数式计算即可求解. 12．【答案】16 【解析】【解答】解：∵， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12， ∴最小算术平方根与最大算术平方根的和是． 故答案为：16． 【分析】根据题干中的计算方法分别求出最小算术平方根是4，最大算术平方根是12，再计算即可。 13．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】如果一个数的平方等于64，则这个数就是64的平方根，据此即可得出答案. 14．【答案】3 【解析】【解答】解：，， ∴9的算术平方根是3， 故答案为：3. 【分析】如果一个正数x的平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根，据此先化简=9，再根据算术平方根的定义求出答案. 15．【答案】5或 【解析】【解答】解：∵的两个平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴， 当c为斜边时，； 当c为直角边时，； 故答案为：5或． 【分析】根据平方根的性质可得，求出a的值，再求出b的值，最后利用勾股定理求出c的值即可。 16．【答案】解：∵正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x， ∴2x-3+1-x=0， 解得：x=2， 则2x-3=1， 所以a=1； ∵与互为相反数， ∴+=0，即1-2b+3b-5=0， 解得：b=4， ∴a＋2b=1+24=9， ∴a＋2b的值为9． 【解析】【分析】根据平方根的性质可得2x-3+1-x=0，求出x的值，再根据“与互为相反数”可得+=0，即1-2b+3b-5=0，求出b的值，最后将a、b的值代入a+2b计算即可。 17．【答案】解：∵b的平方根分别为 与 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 当c为直角三角形的斜边时，由勾股定理得： ； 当c为直角三角形的直角边时，由勾股定理得： ； 综上所述，c的值为5或 . 【解析】【分析】 由一个正数的两个平方根互为相反数可得，据此求出a、b值，分两种情况： 当c为直角三角形的斜边时或当c为直角三角形的直角边时，利用勾股定理分别计算即可. 18．【答案】解：因为圆的半径为3， ， 所以圆的面积为 ，即正方形的面积为 ， 所以正方形的边长为 . 【解析】【分析】利用半径为3的圆的面积=正方形的面积，即可求出正方形的边长. 19．【答案】解：∵某正数的两个平方根分别是 和 ， ∴ ， 整理，可得 ，解得 ． ∵b的算术平方根是2， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的平方根是 【解析】【分析】先求出 ， 再求出a=4，b=4，最后计算求解即可。 20．【答案】（1）解：由题意得：a+6+2a-9=0， 解得：a=1， ∴； （2）解：原方程为：， ∴， 解得：x=±4． 【解析】【分析】（1）根据平方根的性质可得a+6+2a-9=0，再求出a的值，最后求出m的值即可； （2）利用直接开方法求解即可。 21．【答案】（1）解：＝20（m），4×20＝80（m）， 答：原来正方形场地的周长为80m． （2）解：设这个长方形场地宽为3am，则长为5am． 由题意有：3a×5a＝315， 解得：a＝， ∵3a表示长度， ∴a＞0， ∴a＝， ∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m）， ∵80＝16×5＝16×＞16， ∴这些铁栅栏够用． 答：这些铁栅栏够用． 【解析】【分析】（1）利用正方形的面积等于边长的平方，可求出此正方形的边长，再求出此正方形的周长. （2）利用改建后的长方形场地长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．再利用其面积为315m2，可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；再求出这个长方形的周长，与80比较大小，可作出判断. 22．【答案】（1）解：∵2a－b的平方根为±2， ∴2a－b＝4，① ∵3a＋b－2的算术平方根为3， ∴3a＋b－2＝9，② 联立①②解得a＝3，b＝2； ∴10a＋3b＝30＋3×2＝36， ∴10a＋3b的平方根为. （2）证明：∵AC∥BD ∴∠BDC=∠ACD，∠DBA=∠BAC 又∵AE=EB ∴（AAS） ∴AC＝DB. 【解析】【分析】（1）根据平方根、算术平方根的概念结合题意可得2a-b＝4，3a+b-2＝9，联立求出a、b的值，然后求出10a+3b的值，再根据平方根的概念进行解答； （2）根据平行线的性质可得∠BDC=∠ACD，∠DBA=∠BAC，由已知条件可知AE=EB，证明△DBE≌ △CAE，据此可得结论. 23．【答案】（1）解：因为 ， ， ， 所以 ， ， 这三个数是“老根数”， 因为 ， 所以其中“最小算术平方根”是 ，“最大算术平方根”是 ； （2）解：当 时， 根据题意得 ， 解得 ； 当 时， 根据题意得 ， 解得 ，不合题意舍去； 当 时， 根据题意得 ， 解得 ， 综上所述，a的值为 或 . 【解析】【分析】（1）根据“老根数”的定义，利用算术平方根的性质，可证得结论；再比较算术平方根的大小，可得到任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”. （2）分情况讨论：当a＞16和16＜a＜36时，分别可得到关于a的方程，解方程分别求出符合题意的a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$