宁夏银川市贺兰县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周末测试（3）

贺兰一中2024~2025学年第一学期高三年级数学周末测试卷（3） 一、单选题 1．已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 4．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 6．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（    ） A．350kg B．450kg C．500kg D．250kg 8．已知函数，满足为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 10．已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 11．已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 三、填空题 12．已知幂函数在上单调递减，则 . 13．已知若函数是定义在上的严格增函数，则实数的取值范围是 . 14．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数的值域为，则与y是“同域函数”的一个解析式为 ． 四、解答题 15．化简下列各式： (1) (2) (3) . (4)已知，求下列各式的值：① ；      ②. 16．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 17．已知函数． (1)求的单调增区间（只需写出结果即可）； (2)求不等式的解集； (3)若方程在区间内有3个不等实根，求的最小值． 18．已知函数，且， (1)求的解析式； (2)已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数的取值范围. 19．已知函数为上的奇函数.当时，(为常数)，. (1)当时，求函数的值域: (2)若函数的图像关于点中心对称. ①设函数，求证:函数为周期函数; ②若对任意恒成立，求的最大值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贺兰一中2024~2025学年第一学期高三年级数学周末测试卷（3） 一、单选题 1．已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 【答案】A 【分析】根据题意作出韦恩图，结合韦恩图分析求解. 【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案. 【详解】是增函数，又，，又是增函数， 则，故充分性成立；是增函数，，， 又是增函数，，故必要性成立.即“”是“”的充要条件. 3．已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据两边求导得，再根据为奇函数得，由对称性得出是周期为2的周期函数，即可求解． 【详解】由两边求导得，，即，因为为奇函数，所以，即，所以关于中心对称， 所以，变形得，且， 由，得，变形得， 所以，则，所以是周期为2的周期函数，则， 4．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的，则，解得. 5．函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义域排除A，结合时的函数值恒大于0排除CD，则可得答案. 【详解】由得．排除A； 当时，，所以．排除CD． 又， 当时，，故，故B中图象符合题意， 6．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】，，则，即， 当时，；当时，； 当时，；当时，，综上，函数的值域为. 7．近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（    ） A．350kg B．450kg C．500kg D．250kg 【答案】D 【分析】根据已知函数模型代入即可得出，最后再根据脉搏率得出体重. 【详解】根据题意，当时，，则， 当时，则，故. 8．已知函数，满足为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令，由，得定义域为， ，即函数是奇函数，而， 当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由， 得，即， 所以，则，即，又， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 【答案】BC 【分析】根据偶函数的定义判断A，根据指数复合函数值域的求法求解判断B，结合指数函数的单调性及复合函数的单调法则判断C，利用单调性比较大小判断D. 【详解】易得的定义域为，且， 故不为偶函数，故A错误；令，则， 因为在上的值域为，故B正确； 因为在上单调递增，且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C正确； 由于函数在上单调递减，所以，故D错误. 10．已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 【答案】ABD 【分析】利用特殊值代入判断A即得；由函数定义域为等价转化为对数真数恒大于零，即对应的一元二次不等式的判别式恒小于0判断B；令，则依题需使在上递减且恒大于0，求出的范围即可判断C；由求出的值,即可判断D. 【详解】对于A，在中，取，则， 此时函数的定义域为，且，即为偶函数，故A正确； 对于B，因的定义域为，则恒成立， 即，解得，故B正确； 对于C，令，因在定义域上单调递减， 故要使函数在区间上单调递增，则需使在上单调递减且恒大于0， 故有解得，故C错误； 对于D，因的值域是，即，由复合函数的单调性可知，此时， 由知，解得，即故D正确. 11．已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 三、填空题 12．已知幂函数在上单调递减，则 . 【答案】 【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数. 【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意；当时，在单调递减，符合题意. 13．已知若函数是定义在上的严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性，结合指数函数及一次函数性质列不等式求范围. 【详解】由题设，. 14．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数的值域为，则与y是“同域函数”的一个解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，先求出的定义域，再写出跟其相同定义域、值域的函数即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以函数的定义域为． 又由题意可知的值域为， 与之定义域、值域相同的函数，如，，等等． 四、解答题 15．化简下列各式： (1)； (2) (3) . (4)已知，求下列各式的值： ① ；      ②. 【答案】(1)(2)（3）（4）见解析 【分析】（1）借助指数幂的运算法则化简计算即可得； （2）借助对数运算法则化简计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）原式 . （3）. （4）①因为，所以，又，所以. ②因为，且，所以，所以. 16．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可； （3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可. 【详解】（1）设，，，，其对称轴方程为，故函数在上单调递增， 所以，故所求值域为； （2）∵函数的最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值；若时，可知时，y取得最小值； 即，解得或舍去，综上，； （3）由题意，有实数解，即，可得， 要使此不等式有解，只需即可， （当且仅当时取等号），， ，解得，即实数a的取值范围为. 17．已知函数． (1)求的单调增区间（只需写出结果即可）； (2)求不等式的解集； (3)若方程在区间内有3个不等实根，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由复合函数的单调性判断即可； （2）由偶函数的对称性及单调性，结合定义域列不等式组求解即可； （3）设，将方程在区间内有3个不等实根转化为方程有两个不相等的实数根，其中，，列出不等式组，求出的范围及，再利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）由得，，解得， 又因为在单调递增，在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为． （2）因为定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，由（1）得，，解得． （3）设，当时，，，即， 则方程有3个不等实根方程有两个不相等的实数根，其中，，所以，即，解得， 所以， 当即时有最小值，最小值为． 18．已知函数，且， (1)求的解析式； (2)已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据对称性可得，根据可得，即可得函数解析式； （2）根据二次函数恒成立问题求p，根据二次函数单调性求q，分析可知p与q真假性相反，列式求解即可. 【详解】（1）因为，则的对称轴是，解得， 又因为，所以. （2）若为真，，则对任意的恒成立， 可知的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，且，则； 若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为， 因为在内是单调函数，则或，解得或； 若p或q为真命题，p且q为假命题，则p与q真假性相反， 则或，解得或，所以实数的取值范围为或. 19．已知函数为上的奇函数.当时，(为常数)，. (1)当时，求函数的值域: (2)若函数的图像关于点中心对称. ①设函数，求证:函数为周期函数; ②若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】(1)(2)①证明见解析；② 【分析】（1）代入，，得到，再二次性质求出当时，，最后根据复合函数单调性得； （2）①运算得，则可证明；②求出，然后转化为求最大，最小即可. 【详解】（1）由于函数为上奇函数，那么，且， 则，则，则； 那么，由，则，而函数为奇函数，那么时，， 综上所述:当时，，由复合函数单调性可知:则. （2）①由于，且， 由于，则， 那么，则为上周期为2的函数. ②由（1）可知，当时，，时，， 那么时，；时，； 那么；若要最大，仅需最大，最小， 从而考虑如下临界：由于，令，则，此时；； 当时，，， 那么，令（舍去）； 同理，时，，， 那么，令（舍去）； 从而，那么的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出，再求出的临界值即可. 试卷第6页，共10页 试卷第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$