专题01 幂的运算重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题01 幂的运算重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 同底数幂的除法运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 知识点01 幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 知识点02 幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 知识点03 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 知识点04 幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 1．已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．计算：． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】可以写成（　　） A． B． C． D． 1．已知，，则的值是（    ） A．8 B．15 C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】已知光在真空中的速度大约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，则地球与太阳的距离大约是（    ） A．0.6×106m B．6×105m C．15×1010m D．1.5×1011m 1．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 2．卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 3．在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】已知，，则a和b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 1．下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 2．若，，则用含的代数式表示为 ． 3．阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】已知，，则的值是（    ） A．0 B． C．3 D． 1．计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 2．已知，则 . 3．阅读下面的解题过程：试比较与的大小． 解：因为，， 而，所以． 根据上述解答过程比较，，的大小，其中，，． 【经典例题六 同底数幂的除法运算】 【例6】下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．的值为 ． 3．计算： (1) (2) 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 1．若a与b互为倒数，的结果是（　　） A． B．a C． D．1 2． ． 3．计算：． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．下列变形正确的是（    ） A． B． C． D．（，是正整数） 2．若，则 ． 3．已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】若，则等于（    ） A．1 B． C． D．6 1．如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 2．已知，则 ． 3．已知，，： (1)求证：； (2)求的值． 【经典例题十 幂的混合运算】 【例10】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则 ． 3．计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 1．的个位数字是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2．化简的结果是（      ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列变形正确的是（    ） A． B． C． D．（，是正整数） 5．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6．计算的值 7．计算 ． 8．已知，则 ． 9．若，，则的值为 ． 10．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 11．计算： 12．（1）计算：； （2）计算：． 13．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 14．阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 15．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 同底数幂的除法运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 知识点01 幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 知识点02 幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 知识点03 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 知识点04 幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意； 故选C． 1．已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案． 【详解】解：若为奇数，为偶数，则 A．，该选项运算错误，不符合题意； B．，该选项运算错误，不符合题意； C．，该选项运算错误，不符合题意； D． ，该选项运算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：， ， 解得． 故答案为：6． 3．计算：． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】可以写成（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂乘法的逆用即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 1．已知，，则的值是（    ） A．8 B．15 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 2．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）24；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】已知光在真空中的速度大约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，则地球与太阳的距离大约是（    ） A．0.6×106m B．6×105m C．15×1010m D．1.5×1011m 【答案】D 【分析】根据路程等于速度乘以时间，然后根据科学记数法表示即可求解． 【详解】解：依题意地球与太阳的距离大约是， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握幂的运算是解题的关键． 1．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值． 【详解】解：如果实施5次运算结果为1， 则变换中的第6项一定是1， 则变换中的第5项一定是2， 则变换中的第4项一定是4， 则变换中的第3项可能是1，也可能是8． 则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8. 则变换中第2项是16． 则的所有可能取值为32或5，一共2个， 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键． 2．卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 【答案】 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 3．在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【答案】 【分析】根据路程速度时间即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 我们行驶的路程为， 答：我们行驶的路程为． 【点睛】本题考查了科学记数法以及同底数幂乘法，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解本题的关键． 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】已知，，则a和b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】利用幂的乘方的法则把各数的指数转为一样，再比较底数即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴， 则， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用． 1．下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行分析即可． 【详解】解： （幂的乘方） （同底数幂的乘法） 故选B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．若，，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】根据条件求得，根据幂的乘方公式对进行变形，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， 即 ∴， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 3．阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，列出方程进行求解即可； （2）转化为同底数幂，比较指数即可； （3）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：， 即：， ∴， ∴； （2）， ∵， ∴， 即：； （3）， ∵， ∴； ∴． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】已知，，则的值是（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键． 1．计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，将拆成，再根据积的乘方进行计算即可 【详解】解： 故选：B 2．已知，则 . 【答案】3 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，掌握成为解题的关键. 先逆用幂的乘方可得，即，然后解方程即可. 【详解】解：由可得，即，解得：. 故答案为3. 3．阅读下面的解题过程：试比较与的大小． 解：因为，， 而，所以． 根据上述解答过程比较，，的大小，其中，，． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据指数底数大于，指数相同时，底数越大幂越大，即可得出答案，熟练掌握幂的乘方的运算是解此题的关键． 【详解】解：，，． ， ． 【经典例题六 同底数幂的除法运算】 【例6】下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）不存在同类项，无法加和 （2）运用同底数幂相乘法则计算即可； （3）运用乘方法则计算； （4）运用积的乘方法则计算即可 【详解】解：（1）无法计算，故题目计算错误； （2），故题目计算错误； （3），故题目计算错误； （4），故题目计算错误． 故正确个数为个， 故选：A． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查积的乘方的计算法则，积的乘方等于积中每个因式分别乘方的积，根据定义解答，熟记法则并应用是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，掌握运算法则是解题关键． 根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先根据积的乘方和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再进行计算即可； （2）先根据积的乘方，同底数幂的乘方运算法则，将各项化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，将拆成，再根据积的乘方进行计算即可 【详解】解： 故选：B 1．若a与b互为倒数，的结果是（　　） A． B．a C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的意义和积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键； 依据倒数的定义可得到，然后逆用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】a与b互为倒数， ， ， 故选：C． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．根据已知适当变形再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解：原式＝ ＝ ； 故答案为： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，先将带分数化为假分数，再利用积的乘方法则计算即可．解题的关键是掌握积的乘方运算法则的运用． 【详解】解： ． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力，运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故正确，符合题意； D、与不能合并，故错误，不合题意； 故选：C． 1．下列变形正确的是（    ） A． B． C． D．（，是正整数） 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； （，是正整数），选项D正确； 故选D． 2．若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法是解题的关键． 由，可得，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法进行变形，再根据幂的乘方和积的乘方进行变形，最后根据零指数幂求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解：， ， ， ． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】若，则等于（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先利用同底数幂除法逆运算法则化为除法，再利用幂的乘方逆运算变形，代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：C． 1．如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法进行计算即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 3．已知，，： (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到，即可解题； （2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题． 【详解】（1）证明：， ， 即， ； （2）解：． 【经典例题十 幂的混合运算】 【例10】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算．根据幂的运算法则，逐一计算后，判断即可．掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确； 故选D． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项符合题意； B、，此项不符合题意； C、， 此项不符合题意； D、，此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 2．若，，则 ． 【答案】12 【分析】逆用同底数幂的乘法，即，然后把已知条件中的数值代入即可． 【详解】解：原式 ，． 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、乘方，解题的关键是正确逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式． 3．计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值： （1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解； （2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式 1．的个位数字是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，数字类规律探究，先计算式子得，进而找到个位数字的规律，即可求解． 【详解】解： ， ∵，它个位数字是2， ，它个位数字是4， ，它个位数字是8， ，它个位数字是6， ，它个位数字是2， … ∴的个位数字是以2，4，8，6的规律循环出现， ∵， ∴的个位数字是2， 故选：A． 2．化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方运算法则化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 4．下列变形正确的是（    ） A． B． C． D．（，是正整数） 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； （，是正整数），选项D正确； 故选D． 5．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 6．计算的值 【答案】/ 【分析】根据积的乘方运算的逆应用简化运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方， 熟练掌握积的乘方运算是解题的关键． 7．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，根据同底数幂的乘法法则进行计算，掌握同底数幂的乘法法则是关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．已知，则 ． 【答案】1 【分析】先把m的分子分成，逆用积的乘方法则，把分子写成两个幂相乘，分母逆用同底数幂相乘法则，写成两个同底数幂相乘，然后化简，求出的值，最后将整理为代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、除法和零指数幂，解题关键是熟练掌握运算法则的逆用． 9．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，，可得，即：，进而可得，化简后再代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即：， ∴， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式化简及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 10．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算． 【详解】解： 12．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）0；（2）； 【分析】（1）本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法与除法法则，根据，，求解即可得到答案； （2）本题考查整式乘法运算，根据单项式乘多项法则及多项式乘多项式法则求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 13．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 14．阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方以及实数比大小，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方已知条件可得，结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 15．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)72 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． （1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （3）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：， ， 原式； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$