第一章 三角形课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

鲁教版 七年级上 第一章　三角形 1　认识三角形 第1课时　三角形及其内角和 练点1　三角形及其有关概念 1. [2024·泰安泰山区月考]三角形是(　B　) A. 连接任意三点组成的图形 B. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的 图形 C. 由三条线段组成的图形 D. 以上说法均不对 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 2. 如图， D 是△ ABC 的边 BC 上一点，在△ ABC 中，∠ C 所 对的边是 ；在△ ACD 中，∠ C 所对的边是 ⁠. (第2题) AB 　 AD 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 练点2　三角形的内角和 3. [2024·淄博博山区期末]在△ ABC 中，∠ A ＝50°，∠ C ＝ 70°，那么∠ B 的度数为(　C　) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 4. [母题 教材P4习题T1] 如图，在△ ABC 中，∠ B 的度数是 (　C　) A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° (第4题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 5. [情境题 工程应用]如图，考古学家发现在地下 A 处有一座 古墓，古墓上方是燃气管道，为了不影响管道，准备在 B 处和 C 处开工挖出“V”字形通道.若∠ DBA ＝120°， ∠ ECA ＝125°，则∠ A 的度数是(　C　) A. 55° B. 60° C. 65° D. 75° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 纠易错　因对三角形内角和理解不透而出错 6. 下列说法中错误的是(　D　) A. 三角形的三个内角中，最多有一个钝角 B. 三角形的三个内角中，至少有两个锐角 C. 三角形中最大内角不能小于60° D. 三角形中两个内角和必大于90° 【点拨】 两个锐角的和可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角. 三角形最多有一个直角，最多有一个钝角，最少有两个锐 角，最大内角不小于60°. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 7. [2024·威海荣成市月考]在△ ABC 中，∠ A ，∠ B 都是锐 角，则∠ C 是(　D　) A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 以上都有可能 【点拨】 D 当∠ A ＋∠ B ＜90°时，∠ C ＝180°－(∠ A ＋∠ B )＞ 90°，是钝角；当∠ A ＋∠ B ＝90°时，∠ C ＝180°－ (∠ A ＋∠ B )＝ 90°，是直角；当∠ A ＋∠ B ＞90°时， ∠ C ＝180°－(∠ A ＋∠ B )＜ 90°，是锐角，所以∠ C 可 能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 8. [2023·聊城]如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数 为(　B　) A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 因为 AD ∥ BE ， 所以∠ ADC ＝∠ EBC ＝80°. 因为∠ CAD ＋∠ ADC ＋∠ ACB ＝180°，∠ CAD ＝25°， 所以∠ ACB ＝180°－25°－80°＝75°. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 9. [2024·青岛市北区期末]如图，点 D 在 AB 的延长线上，点 E 在 AC 的延长线上，∠ DBC 和∠ ECB 的平分线交于点 O ，设∠ A ＝ m ，则∠ BOC ＝(　B　) A. 90°－ m B. 90°－ C. 180°－2 m D. 180°－ (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 由三角形内角和为180°，得∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－ ∠ A ＝180°－ m . 所以∠ DBC ＋∠ BCE ＝180°－∠ ABC ＋180°－∠ ACB ＝360°－(∠ ABC ＋∠ ACB )＝180°＋ m . 因为∠ DBC 和∠ ECB 的平分线交于点 O ，所以∠ OBC ＋ ∠ OCB ＝ (∠ DBC ＋∠ BCE )＝90°＋ . 所以∠ BOC ＝180°－(∠ OBC ＋∠ OCB )＝90°－ . 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 10. [2023·徐州]如图，在△ ABC 中，若 DE ∥ BC ， FG ∥ AC ，∠ BDE ＝120°，∠ DFG ＝115°，则∠ C ＝ ⁠°. 55　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 因为 DE ∥ BC ，∠ BDE ＝120°，所以∠ B ＝180°－ 120°＝60°. 因为 FG ∥ AC ，∠ DFG ＝115°，所以∠ A ＝180°－ 115°＝65°. 所以∠ C ＝180°－∠ B －∠ A ＝55°. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 11. [荣德原创题]小明在爸爸工作的建筑工地的吊车上发现如 图所示的三角形，若三角形最大的内角为130°，另外两 个内角相差10°，求三角形三个内角的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】设另外两个内角中，较小的内角为 x °，则较大的 内角为( x ＋10)°. 根据题意，得 x °＋( x ＋10)°＋130°＝180°， 解得 x ＝20，所以 x ＋10＝30. 所以三个内角的度数分别是20°，30°，130°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 12. [新视角·新定义题2023·枣庄期末] 在三角形三个内角中， 如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍，我们称此 三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征 角”，内角β称为“次特征角”. (1)已知在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝50°，判断△ ABC 是否为“特征三角形”，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】△ ABC 是“特征三角形”.理由如下： 因为在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝50°， 所以∠ C ＝180°－30°－50°＝100°，所以∠ C ＝ 2∠ B ，所以△ ABC 是“特征三角形”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 (2)在△ DEF 中，∠ D ＝96°，若△ DEF 是“特征三角 形”，且∠ E 是“次特征角”，求∠ E 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】因为在△ DEF 中，∠ D ＝96°， 所以∠ E ＋∠ F ＝180°－96°＝84°. 由△ DEF 是“特征三角形”，且∠ E 是“次特征 角”，可知有如下两种情况：①∠ D 是“主特征 角”，即∠ D ＝2∠ E ，则2∠ E ＝96°，所以∠ E ＝ 48°； ②∠ F 是“主特征角”，即∠ F ＝2∠ E ， 则2∠ E ＋∠ E ＝84°，解得∠ E ＝28°. 综上所述，∠ E ＝48°或∠ E ＝28°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 13. [新考法·阅读类比题2023·青岛黄岛区期末]如图①， AD ， BC 交于 O 点，根据“三角形内角和是180°”，不 难得出两个三角形中的角存在以下关系： ①∠ DOC ＝∠ AOB ； ②∠ D ＋∠ C ＝∠ A ＋∠ B . 【提出问题】 分别作出∠ BAD 和∠ BCD 的平分线，交于点 E ，如图 ②，∠ E 与∠ D ，∠ B 之间是否存在某种数量关系呢？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究. (1)如图③，若 AB ∥ CD ，∠ D ＝30°，∠ B ＝40°，则∠ E ＝ ⁠. 35°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (2)如图④，若 AB 不平行于 CD ，∠ D ＝30°，∠ B ＝ 50°，则∠ E 的度数是多少呢？ 易得∠ D ＋∠1＝∠ E ＋∠3，∠ B ＋∠4＝∠ E ＋∠2. 请你完成接下来的推理过程： 所以∠ D ＋∠1＋∠ B ＋∠4＝ ⁠， 因为 CE ， AE 分别是∠ BCD ，∠ BAD 的平分线， 所以∠1＝∠2，∠3＝∠4. 所以2∠ E ＝ ⁠. 又因为∠ D ＝30°，∠ B ＝50°， 所以∠ E ＝ ⁠. 2∠ E ＋∠3＋∠2　 ∠ D ＋∠ B 　 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (3)在前两问的基础上，借助图②，直接写出∠ E 与∠ D ，∠ B 之间的数量关系： ⁠. ∠ E ＝ (∠ D ＋∠ B )　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【类比应用】 如图⑤，∠ BAD 的平分线 AE 与∠ BCD 的平分线 CE 交于点 E . 已知∠ D ＝α，∠ B ＝β(α＜β)，则 ∠ E ＝ (用含α，β的式 子表示). (β－α)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【点拨】 【解决问题】(1)因为∠ D ＋∠ DCE ＝∠ E ＋∠ DAE ，∠ E ＋∠ ECB ＝∠ B ＋∠ EAB ，所以∠ D ＋∠ DCE ＋∠ B ＋∠ EAB ＝2∠ E ＋∠ DAE ＋∠ ECB . 因为 CE 平分∠ DCB ， AE 平分∠ BAD ，所以∠ DCE ＝∠ ECB ，∠ DAE ＝∠ BAE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 所以2∠ E ＝∠ B ＋∠ D ，所以∠ E ＝ (∠ D ＋∠ B )＝ ×(30°＋40°)＝ ×70°＝35°. 【类比应用】延长 BC 交 AD 于点 F . 因为∠ BFA ＝180°－(∠ B ＋∠ BAD )， ∠ BFD ＝180°－∠ BFA ， 所以∠ BFD ＝∠ B ＋∠ BAD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 同理可得∠ BCD ＝∠ BFD ＋∠ D ， 所以∠ BCD ＝∠ B ＋∠ BAD ＋∠ D . 因为 CE 平分∠ BCD ， AE 平分∠ BAD ， 所以∠ ECD ＝∠ ECB ＝ ∠ BCD ， ∠ EAD ＝∠ EAB ＝ ∠ BAD . 因为∠ E ＋∠ ECB ＝∠ B ＋∠ EAB ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 所以∠ E ＝∠ B ＋∠ EAB －∠ ECB ＝∠ B ＋ ∠ BAD － ∠ BCD ＝∠ B ＋ ∠ BAD － (∠ B ＋∠ BAD ＋∠ D )＝ (∠ B －∠ D )＝ (β－α). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 1　认识三角形 第2课时　三角形的分类与直角三角形 练点1　三角形按角分类 1. 已知一个三角形中两个内角分别是55°和80°，则这个三 角形一定是(　C　) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 2. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断 三角形类型的是(　C　) A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 练点2　直角三角形的两个锐角互余 3. [母题 教材P149例1] 在直角三角形中，有一个锐角是另一 个锐角的4倍，则较小的锐角的度数为(　C　) A. 22.5° B. 30° C. 18° D. 15° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 4. [新考向·知识情境化2024·滨州邹平市期末]如图，某同学在 课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于 (　B　) A. 60° B. 90° C. 75° D. 105° (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 【点拨】 如图，因为∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，所以 ∠1＝∠4，∠2＝∠3. 由直角三角形的两个锐角互余， 得∠3＋∠4＝90°，即∠1＋∠2＝90°. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 5. [2024·聊城东昌府区期末]如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AD 平分∠ CAB 交 BC 于点 D ， BE ⊥ AD 交 AD 的 延长线于点 E . 若∠ DBE ＝24°，则∠ CAB ＝ ⁠. (第5题) 48°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 【点拨】 因为 BE ⊥ AE ，∠ C ＝90°， 所以∠ E ＝∠ C ＝90°， 所以∠ CAD ＋∠ ADC ＝∠ BDE ＋∠ DBE ＝90°. 因为∠ ADC ＝∠ BDE ， 所以∠ CAD ＝∠ DBE ＝24°. 因为 AE 平分∠ CAB ， 所以∠ CAB ＝2∠ CAD ＝2×24°＝48°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 纠易错　判断三角形类型时，没按最大角判断而出错 6. 若∠ A ＝20°，∠ B ＝50°，则△ ABC 是 ⁠ 三角形. 钝角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 7. [2024·泰安月考]下列条件：①∠ A ＋∠ B ＝∠ C ；②∠ A ＝90°－∠ B ；③∠ A ＝∠ B ＝ ∠ C . 其中能确定△ ABC 是直角三角形的条件有(　D　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 ①因为∠ A ＋∠ B ＝∠ C ， 所以∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝2∠ C ＝180°. 所以∠ C ＝90°； ②因为∠ A ＝90°－∠ B ，所以∠ A ＋∠ B ＝90°. 所以∠ C ＝180°－90°＝90°； 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 ③因为∠ A ＝∠ B ＝ ∠ C ， 所以∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝ ∠ C ＋ ∠ C ＋∠ C ＝2∠ C ＝ 180°.所以∠ C ＝90°. 综上所述，能确定△ ABC 是直角三角形的条件是①②③， 共3个. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 8. [新视角·动手操作题2023·德州期中] 如图，在△ ABC 中， ∠ ACB ＝90°，将△ CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处，若∠ A ＝22°，则∠ DEA 等于(　D　) A. 22° B. 158° C. 68° D. 112° (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 在△ ABC 中，因为∠ ACB ＝90°，∠ A ＝22°， 所以∠ B ＝90°－∠ A ＝68°. 由折叠的性质可得∠ CED ＝∠ B ＝68°， 所以∠ DEA ＝180°－68°＝112°. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 9. [2023·威海乳山市期中]如图，将三角板 DEF 的直角放置在 △ ABC 内，恰好三角板的两条直角边分别经过点 B ， C . 若∠ A ＝55°，则∠ ABD ＋∠ ACD ＝(　A　) A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° (第9题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 在△ ABC 中，因为∠ A ＝55°， 所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－55°＝125°. 在△ DBC 中，因为∠ BDC ＝90°， 所以∠ DBC ＋∠ DCB ＝180°－90°＝90°， 所以∠ ABD ＋∠ ACD ＝125°－90°＝35°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 10. [新情境·生活应用2023·烟台招远市期末] 如图是一台起重 机的工作简图，吊杆前后两次的位置 OP1， OP2与线绳 (线绳垂直于地面)的夹角分别是35°和80°，则吊杆前后 两次的夹角∠ P1 OP2的度数为(　B　) B A. 55° B. 45° C. 40° D. 35° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 11. [2023·遂宁]若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三 角形是 三角形. 【点拨】 设这个三角形最小的内角是 x °，则另外两个内角的度数 分别为2 x °，3 x °. 根据题意，得 x ＋2 x ＋3 x ＝180， 解得 x ＝30，所以3 x °＝3×30°＝90°， 所以这个三角形是直角三角形. 直角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 12. [新考向·数学文化2023·株洲]《周礼·考工记》中记载： “…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)….”意思 是“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘….” 即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣(其中，1矩＝90°). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图 的部分组件的示意图，若∠ A ＝1矩，∠ B ＝1欘，则∠ C ＝ ⁠°. 22.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 因为1宣＝ 矩，1欘＝1 宣，1矩＝90°，∠ A ＝1矩， ∠ B ＝1欘， 所以∠ A ＝90°，∠ B ＝1 × ×90°＝67.5°， 所以∠ C ＝90°－∠ B ＝90°－67.5°＝22.5°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 13. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， BD ⊥ AC 于点 D ，点 E 在 DB 的延长线上， EF 交 BC 于点 H ，∠1＝ ∠2，∠ E ＝30°，求∠ A 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【解】因为 BD ⊥ AC ，所以∠ EDF ＝∠ EDA ＝90°， 所以∠2＋∠ E ＝90°. 因为∠ E ＝30°，所以∠2＝60°. 因为∠1＝∠2，所以∠1＝60°. 因为∠ ABC ＝90°，所以∠ ABD ＝90°－∠1＝30°. 因为∠ EDA ＝90°，所以∠ A ＝90°－∠ ABD ＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 14. [2023·德州期中]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝34°，∠ C ＝70°， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ BAC 交 BC 于点 E ， DF ⊥ AE 于点 F . (1)求∠ BAE 的度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【解】因为∠ B ＝34°， ∠ C ＝70°， 所以∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝76°. 因为 AE 平分∠ BAC ， 所以∠ BAE ＝∠ CAE ＝ ∠ BAC ＝ ×76°＝38°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 (2)求∠ ADF 的度数. 【解】因为 AD ⊥ BC ，所以∠ ADC ＝90°. 又因为∠ C ＝70°，所以∠ DAC ＝90°－∠ C ＝20°. 因为∠ EAC ＝38°， 所以∠ DAE ＝∠ EAC －∠ DAC ＝38°－20°＝18°. 因为 DF ⊥ AE ，所以∠ AFD ＝90°. 所以∠ ADF ＝90°－∠ DAE ＝90°－18°＝72°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 15. 如图，射线 OX 与射线 OY 互相垂直，点 A ， B 分别在 OX ， OY 上，连接 AB . 若 AP 平分∠ BAX ， BP 平分 ∠ ABY ，求∠ P 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【解】因为射线 OX 与射线 OY 互相垂直，所以∠ O ＝ 90°，所以∠ BAO ＋∠ ABO ＝90°.因为 AP 平分∠ BAX ， BP 平分∠ ABY ，所以∠ PAB ＝ ∠ BAX ，∠ PBA ＝ ∠ABY . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 因为∠ BAX ＋∠ BAO ＝180°，∠ ABY ＋∠ ABO ＝180°， 所以∠ BAX ＋∠ ABY ＝180°＋180°－(∠ BAO ＋∠ ABO ) ＝360°－90°＝270°，所以∠ PAB ＋∠ PBA ＝ ∠ BAX ＋ ∠ ABY ＝ (∠ BAX ＋∠ ABY )＝ ×270°＝135°，所 以∠ P ＝180°－(∠ PAB ＋∠ PBA )＝180°－135°＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 16. [新视角·新定义题2024·烟台招远市期中] 定义：如果一个 三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这 样的三角形为“准互余三角形”. (1)若△ ABC 是“准互余三角形”，∠ C ＞90°，∠ A ＝ 56°，则∠ B ＝ ⁠°. 17　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 (2)若△ ABC 是直角三角形，∠ ACB ＝90°. ①如图，若 AD 是∠ BAC 的平分线，请你判断△ ABD 是否为“准互余三角形”，并说明理由； 【解】△ ABD 是“准互余三角形”，理由：因为 AD 是∠ BAC 的平分线，所以 ∠ BAC ＝2∠ BAD . 因为∠ ACB ＝90°，所以∠ BAC ＋∠ B ＝90°，所以2∠ BAD ＋∠ B ＝90°，所以△ ABD 是“准互余三角形”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 ②点 E 是边 BC 上一点，△ ABE 是“准互余三角形”，若∠ B ＝28°，求∠ AEB 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 ②因为△ ABE 是“准互余三角形”，所以2∠ EAB ＋∠ ABC ＝90°或∠ EAB ＋2∠ ABC ＝90°.因为∠ ABC ＝28°，所 以∠ EAB ＝31°或∠ EAB ＝34°.当∠ EAB ＝31°，∠ ABC ＝28°时，∠ AEB ＝121°；当∠ EAB ＝34°，∠ ABC ＝ 28°时，∠ AEB ＝118°.综上，∠ AEB 的度数为121°或 118°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 1　认识三角形 第3课时　三角形的三边关系 练点1　三角形按边分类 1. 三角形按边可分为(　C　) A. 等腰三角形、直角三角形、锐角三角形 B. 直角三角形、不等边三角形 C. 等腰三角形、不等边三角形 D. 等腰三角形、等边三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 ①等边三角形是等腰三角形； ②等腰三角形也可能是直角三角形； ③三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形. 其中正确的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 C 2. 给出下列说法： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 练点2　三角形的三边关系 3. [母题·教材P9习题T12023·衡阳] 下列长度的各组线段能组 成一个三角形的是(　D　) A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 3 cm，8 cm，5 cm C. 4 cm，5 cm，10 cm D. 4 cm，5 cm，6 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 A. 因为1＋2＝3，所以长度为1 cm，2 cm，3 cm的三条线 段不能组成三角形，本选项不符合题意； B. 因为3＋5＝8，所以长度为3 cm，8 cm，5 cm的三条线 段不能组成三角形，本选项不符合题意； C. 因为4＋5＜10，所以长度为4 cm，5 cm，10 cm的三条 线段不能组成三角形，本选项不符合题意； D. 因为4＋5＞6，所以长度为4 cm，5 cm，6 cm的三条线 段能组成三角形，本选项符合题意. 【点拨】 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 4. [2023·福建]若某三角形的三边长分别为3，4， m ，则 m 的 值可以是(　B　) A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【点拨】 根据三角形的三边关系，得4－3＜ m ＜4＋3，解得1＜ m ＜7，则符合条件的只有B选项. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 5. [2023·泰安月考]已知 a ， b ， c 是三角形的三条边，化简 ｜ a ＋ b － c ｜＋｜ a － c － b ｜－｜ b － a － c ｜. 【解】因为 a ， b ， c 是三角形的三条边， 所以 a ＋ b － c ＞0， a － c － b ＜0， b － a － c ＜0， 所以｜ a ＋ b － c ｜＋｜ a － c － b ｜－｜ b － a － c ｜＝( a ＋ b － c )－( a － c － b )＋( b － a － c )＝ a ＋ b － c － a ＋ c ＋ b ＋ b － a － c ＝－ a ＋3 b － c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 纠易错　忽视组成三角形的条件而出错(分类讨论思想) 6. [新视角 新定义题] 定义：一个三角形的一边长是另一边长 的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形 ABC 是“倍长三角形”，底边 BC 的长为3，则腰 AB 的长 为 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 ①若 AB ＝2 BC ＝6，则△ ABC 的三边长分别是6，6，3， 符合题意，所以腰 AB 的长为6； ②若 BC ＝3＝2 AB ，则 AB ＝1.5， 所以△ ABC 的三边长分别是1.5，1.5，3. 因为1.5＋1.5＝3， 所以此时不能构成三角形，这种情况不存在. 综上所述，腰 AB 的长是6. 【点拨】 因为等腰三角形 ABC 是“倍长三角形”，所以 AB ＝2 BC 或 BC ＝2 AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 7. 若△ ABC 的三边长分别为 m ， n ， p ，且｜ m － n ｜＋( n － p )2＝0，则这个三角形为(　B　) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【点拨】 因为｜ m － n ｜＋( n － p )2 ＝0， 所以 m － n ＝0且 n － p ＝0， 所以 m ＝ n 且 n ＝ p ， 所以 m ＝ n ＝ p ，即这个三角形为等边三角形. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 8. [情境题 生活应用]王师傅想做一个三角形的框架，他有两 根长度分别为6 cm和8 cm的细木条，需要将其中一根木条 分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以分的 木条是(　B　) A. 6 cm的木条 B. 8 cm的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 利用三角形的三边关系可得应把8 cm的木条分成两段， 如将8 cm的木条分成2 cm和6 cm或3 cm和5 cm或4 cm和4 cm的两段木条，所分成的两段木条的长度之和大于6 cm，且之差小于6 cm，所以满足条件. 而6 cm的木条无论如何分，分成的两段木条的长度之和都 小于8 cm，所以不满足条件. 【点拨】 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 9. [2023·德州一模]如图，数轴上 A ， B 两点到原点的距离是 三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是(　B　) A. 0.5 B. 4 C. 7 D. 8 【点拨】 由题意知，该三角形的两边长分别为3，4.不妨设第三边的 长为 a ，则4－3＜ a ＜4＋3，即1＜ a ＜7.观察选项，只有B 选项符合题意. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 10. 从长度分别为2，3，5，6的四根细木棒中，任取三根首 尾相连，围成一个三角形，所围成的三角形的最小周长 为(　C　) A. 10 B. 11 C. 13 D. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 ①长度分别为3，5，6的细木棒能构成三角形，且周长为 3＋5＋6＝14； ②长度分别为2，5，6的细木棒能构成三角形，且周长为 2＋5＋6＝13； ③长度分别为2，3，6的细木棒不能构成三角形； ④长度分别为2，3，5的细木棒不能构成三角形. 综上所述，所围成的三角形的最小周长为13. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 11. [2024·济宁邹城市月考]已知 ABCD 是四边形， AB ＝2， BC ＝4， CD ＝7，则线段 AD 的取值范围是(　D　) A. 0＜ AD ＜7 B. 2＜ AD ＜7 C. 0＜ AD ＜13 D. 1＜ AD ＜13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 在△ ABC 中， AB ＝2， BC ＝4，根据三角形的三边关系， 得4－2＜ AC ＜2＋4，即2＜ AC ＜6. 在△ ACD 中，根据三角形的三边关系，得7－6＜ AD ＜7 ＋6，即1＜ AD ＜13. 故 AD 的取值范围是1＜ AD ＜13. 【点拨】 连接 AC . 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 12. [2024·济南期中]在△ ABC 中， a ＝4， b ＝2，若第三边 c 的长是偶数，则△ ABC 的周长是 ⁠. 【点拨】 在△ ABC 中，因为 a ＝4， b ＝2， 所以4－2＜ c ＜4＋2，即2＜ c ＜6. 因为第三边 c 的长是偶数，所以 c ＝4， 所以△ ABC 的周长为2＋4＋4＝10. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 13. [新考法 表格信息法]某木材市场上木棒的规格与价格如 下表： 规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架，现有两根长度分别 为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ 【解】设第三根木棒的长度为 x m， 根据三角形的三边关系可得5－3＜ x ＜5＋3， 解得2＜ x ＜8，所以 x ＝3或4或5或6，共4种， 所以有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择. (2)选择哪一种规格的木棒最省钱？ 【解】根据木棒的价格知选3 m的木棒最省钱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 14. 已知△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c . (1)若 a ， b ， c 满足( a － b )2＋( b － c )2＝0，试判断△ ABC 的形状； 【解】因为( a － b )2＋( b － c )2＝0， 所以 a － b ＝0， b － c ＝0，所以 a ＝ b ＝ c ， 所以△ ABC 是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【解】由三角形三边关系可知5－2＜ c ＜5＋2，即3＜ c ＜7. 因为 c 为整数，所以 c ＝4或5或6. 当 c ＝4时，△ ABC 的周长有最小值，为5＋2＋4＝11； 当 c ＝6时，△ ABC 的周长有最大值，为5＋2＋6＝13. (2)若 a ＝5， b ＝2，且 c 为整数，求△ ABC 周长的最大值 及最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 15. [新视角 归纳猜想题] 将长度为2 n ( n 为自然数，且 n ≥4) 的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记三角形 的三边长为( a ， b ， c )，且满足 a ≤ b ≤ c . (1)当 n ＝4，5，6时，直接写出所有满足要求的( a ， b ， c ). 【解】当 n ＝4时，有(2，3，3)； 当 n ＝5时，有(2，4，4)，(3，3，4)； 当 n ＝6时，有(2，5，5)，(3，4，5)，(4，4，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 (2)有人根据(1)中的结果，猜想到若铅丝的长度为2 n ( n 为自然数，且 n ≥4)，( a ， b ， c )的个数一定为 n －3， 这个猜想正确吗？请你对 n ＝12时的情况进行验证. 【解】这个猜想不正确. 当 n ＝12时， a ＋ b ＋ c ＝24， 且 a ＋ b ＞ c ， a ≤ b ≤ c ， 所以8≤ c ＜12，即 c ＝8，9，10，11， 故可得( a ， b ， c )为： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 (2，11，11)，(3，10，11)，(4，9，11)，(5，8， 11)，(6，7，11)，(4，10，10)，(5，9，10)， (6，8，10)，(7，7，10)，(6，9，9)，(7，8， 9)，(8，8，8)，共12个. 因为12≠12－3＝9，所以这个猜想不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 16. [学科素养 推理能力]如图，已知点 O 为△ ABC 内任意一 点，试说明： AB ＋ AC ＋ BC ＞ OA ＋ OB ＋ OC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 【解】延长 BO 交 AC 于点 D . 在△ ABD 中， AB ＋ AD ＞ OB ＋ OD . 在△ OCD 中， OD ＋ DC ＞ OC . 所以 AB ＋ AD ＋ OD ＋ DC ＞ OB ＋ OD ＋ OC ， 即 AB ＋ AC ＞ OB ＋ OC . 同理可得 AB ＋ BC ＞ OA ＋ OC ， AC ＋ BC ＞ OA ＋ OB ， 所以 AB ＋ AC ＋ AB ＋ BC ＋ AC ＋ BC ＞ OB ＋ OC ＋ OA ＋ OC ＋ OA ＋ OB ， 即 AB ＋ AC ＋ BC ＞ OA ＋ OB ＋ OC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 1　认识三角形 第4课时　三角形的中线、角平分线 练点1　三角形的中线 1. [2024·德州德城区期末]如图， AD 是△ ABC 的中线，则下 列结论正确的是(　B　) A. AB ＝ AC B. BD ＝ CD C. BD ＝ AD D. AC ＝ AD (第1题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 2. [2024·泰安新泰市月考]如图，在△ ABC 中有四条线段 DE ， BE ， EF ， FG ，其中有一条线段是△ ABC 的中 线，则该线段是(　B　) A. 线段 DE B. 线段 BE C. 线段 EF D. 线段 FG (第2题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 3. [2023·临沂月考]在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，若 AB ＝6 cm， AC ＝3 cm，则△ ABD 的周长比△ ACD 的周 长多(　B　) 【点拨】 因为 AD 为 BC 边上的中线，所以 BD ＝ DC . 所以△ ABD 的周长－△ ACD 的周长＝( AB ＋ BD ＋ AD ) －( AC ＋ CD ＋ AD )＝ AB － AC ＝6－3＝3(cm). B A. 5 cm B. 3 cm C. 8 cm D. 2 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 练点2　三角形的重心 4. [新视角·动手操作题2024·泰安肥城期中] 如图所示的网格 由边长相同的小正方形组成，点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G 均在小正方形的顶点上，则△ ABC 的重心是(　B　) A. 点 G B. 点 D C. 点 E D. 点 F (第4题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 5. 如图， AD 和 BE 是△ ABC 的中线，则以下结论：① AE ＝ CE ；② O 是△ ABC 的重心；③△ ABD 与△ ACD 的面积 相等；④过 C ， O 两点的直线平分线段 AB ；⑤∠ ABE ＝ ∠ CBE ；⑥ AD ＝ BE ，其中正确的结论是(　B　) A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ②③④⑥ D. ①②⑤⑥ (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【点拨】 因为 AD 和 BE 是△ ABC 的中线， 所以 AE ＝ CE ， BD ＝ CD ，点 O 是△ ABC 的重心，故① ②正确； 由 BD ＝ CD ， 可得 S△ ABD ＝ S△ ACD ，故③正确； 由点 O 是△ ABC 的重心， 可得过 C ， O 两点的直线平分线段 AB ，故④正确； 根据已知条件无法得出∠ ABE ＝∠ CBE ， AD ＝ BE ，故 ⑤⑥错误. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 练点3　三角形的角平分线 6. 如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论错误的是 (　D　) A. AD 是△ ABC 的角平分线 B. CE 是△ ACD 的角平分线 C. ∠3＝ ∠ ACB D. CE 是△ ABC 的角平分线 (第6题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 7. [母题 教材P11随堂练习T2] 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 67°，∠ C ＝33°， AD 是△ ABC 的角平分线，则∠ ADC 的度数为 ⁠. (第7题) 107°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【点拨】 因为∠ B ＝67°，∠ C ＝33°， 所以∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝180°－67°－33°＝ 80°. 因为 AD 是△ ABC 的角平分线， 所以∠ CAD ＝ ∠ BAC ＝ ×80°＝40°. 所以∠ ADC ＝180°－∠ CAD －∠ C ＝180°－40°－ 33°＝107°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 8. 如图， BE ， CF 都是△ ABC 的角平分线，且∠ BDC ＝ 115°，则∠ A ＝(　A　) A. 50° B. 45° C. 65° D. 70° (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 因为∠ EBC ＋∠ FCB ＋∠ BDC ＝180°，∠ BDC ＝ 115°，所以∠ EBC ＋∠ FCB ＝65°. 因为 BE ， CF 都是△ ABC 的角平分线， 所以∠ EBC ＝ ∠ ABC ，∠ BCF ＝ ∠ ACB . 所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝2(∠ EBC ＋∠ FCB )＝130°. 所以∠ A ＝180°－(∠ ABC ＋∠ ACB )＝50°. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 9. [2024·东营月考]如图，在△ ABC 中，点 D 为 BC 边上一 点，连接 AD ，取 AD 的中点 P ，连接 BP ， CP . 若△ ABC 的面积为4 cm2，则△ BPC 的面积为(　C　) A. 4 cm2 B. 3 cm2 C. 2 cm2 D. 1 cm2 (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 因为点 P 是 AD 的中点， 所以 S△ BPD ＝ S△ ABD ， S△ CPD ＝ S△ ACD . 所以 S△ BPC ＝ S△ BPD ＋ S△ CPD ＝ S△ ABD ＋ S△ ACD ＝ ( S△ ABD ＋ S△ ACD )＝ S△ ABC ＝2 cm2. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 10. 如图， AD 是△ ABC 的中线， BE 是△ ABD 的中线.若 △ ABC 的面积为20， BD ＝5，则点 E 到 BC 边的距离 为 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 如图，过点 E 作 BD 的垂线，交 BD 于点 H . 因为 AD 是△ ABC 的中线， 所以 S△ ABD ＝ S△ ABC . 因为 BE 是△ ABD 的中线， 所以 S△ BED ＝ S△ ABD ＝ S△ ABC . 因为△ ABC 的面积为20， 所以△ EBD 的面积是5， 【点拨】 所以 BD · EH ＝5，所以 ×5· EH ＝5， 所以 EH ＝2，即点 E 到 BC 边的距离为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 11. 如图， AD 为△ ABC 的中线.若 AB ＝ m ， AC ＝ n ， △ ACD 的周长为 a ，请用含 m ， n ， a 的式子表示△ ABD 的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】因为 AD 是△ ABC 的中线，所以 BD ＝ CD . 因为△ ACD 的周长为 a ， AC ＝ n ， 所以 a ＝ AD ＋ CD ＋ AC ＝ AD ＋ CD ＋ n . 所以 AD ＋ CD ＝ a － n . 所以△ ABD 的周长为 AB ＋ AD ＋ BD ＝ AB ＋ AD ＋ CD ＝ m ＋ a － n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 12. 如图，在△ ABC 中， AD 是△ ABC 的角平分线， BE 是 △ ABD 的角平分线. (1)若∠ C ＝60°，∠ BAC ＝80°，求∠ ADB 的度数； 【解】因为 AD 是△ ABC 的角平分线， 所以∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝40°. 所以∠ ADC ＝180°－40°－60°＝80°. 所以∠ ADB ＝180°－80°＝100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 (2)若∠ BED ＝60°，求∠ C 的度数. 【解】因为∠ BED ＝60°， 所以∠ AEB ＝180°－60°＝120°. 所以∠ BAD ＋∠ ABE ＝180°－∠ AEB ＝60°. 因为 AD 是△ ABC 的角平分线， BE 是△ ABD 的角平分线， 所以∠ BAC ＝2∠ BAD ，∠ ABC ＝2∠ ABE . 所以∠ BAC ＋∠ ABC ＝2(∠ BAD ＋∠ ABE )＝120°. 所以∠ C ＝180°－(∠ BAC ＋∠ ABC )＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 13. [新视角 动点探究题]如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8 cm， BC ＝6 cm， AB ＝10 cm.若动点 P 从点 C 开 始，按 C → A → B → C 的路径运动，且速度为2 cm/s.设点 P 运动的时间为 t s. (1)若 CP 把△ ABC 的周长分成相等的两部 分，求 t 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【解】在△ ABC 中， 因为 AC ＝8 cm， BC ＝6 cm， AB ＝10 cm， 所以△ ABC 的周长＝8＋6＋10＝24(cm)， 所以当 CP 把△ ABC 的周长分成相等的两部分时，点 P 在 AB 上，且 CA ＋ AP ＝ BP ＋ BC ＝12 cm， 所以2 t ＝12，所以 t ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (2)若 CP 把△ ABC 的面积分成相等的两部分，求 t 的值； 【解】易知当点 P 在 AB 的中点时， CP 把△ ABC 的面积分成相等的两部分，此时 CA ＋ AP ＝8＋10÷2＝13(cm)，所以2 t ＝13，所以 t ＝6.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (3)若△ BCP 的面积为12 cm2，求 t 的值. 【解】分两种情况：①当点 P 在 AC 上时， 因为△ BCP 的面积为12 cm2，所以 ×6 CP ＝12， 所以 CP ＝4 cm，所以2 t ＝4，所以 t ＝2. ②当点 P 在 AB 上时，因为△ BCP 的面积为12 cm2，△ ABC 的面积为 ×6×8＝24(cm2)， 所以△ ABC 的面积为△ BCP 面积的2倍. 所以点 P 为 AB 的中点，由(2)知此时 t ＝6.5. 综上，当 t 为2或6.5时，△ BCP 的面积为12 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 1　认识三角形 第5课时　三角形的高 练点1　三角形的高 1. [2024·淄博博山区月考]下列各图中，作△ ABC 的边 AC 上 的高，正确的是(　D　) A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C D 基础题 返回 2. 如图， CD ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 D ，已知∠ ABC 是钝 角，则(　B　) A. 线段 CD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 B. 线段 CD 是△ ABC 的 AB 边上的高线 C. 线段 AD 是△ ABC 的 BC 边上的高线 D. 线段 AD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 (第2题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 3. [母题 教材P14习题T2] 如图，请你量一量图中△ ABC 的 BC 边上的高的长度，下列最接近的是(　C　) A. 0.5 cm B. 0.7 cm C. 1.5 cm D. 2 cm (第3题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 练点2　三角形的中线、角平分线与高 4. [2024·泰安泰山区月考]下列说法中，正确的有(　A　) ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形 内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交 于一点. A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 5. [2024·日照东港区月考]如图， AD ， BE ， CF 依次是 △ ABC 的高、中线和角平分线，下列各式中不一定正确的是 (　D　) A. AE ＝ CE B. ∠ ADC ＝90° C. ∠ ACB ＝2∠ ACF D. ∠ CAD ＝∠ CBE (第5题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 6. [新考法 概念辨析法]如图，在直角三角形 ABC 中， BC 边 上有 E ， D ， F 三点， BD ＝ CD ，∠ BAE ＝∠ DAE ， AF ⊥ BC ，垂足为 F . 以 AD 为中线的三角形是 ⁠ ；以 AE 为角平分线的三角形是 ；以 AF 为高的三角形有 个. △ ABC △ ABD 　 10　 (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【点拨】 因为 BD ＝ CD ， 所以以 AD 为中线的三角形是△ ABC ； 因为∠ BAE ＝∠ DAE ， 所以以 AE 为角平分线的三角形是△ ABD ； 因为 AF ⊥ BC ，所以以 AF 为高的三角形有△ ABE ， △ ABD ，△ ABF ，△ ABC ，△ AED ，△ AEF ，△ AEC ， △ ADF ，△ ADC ，△ AFC ，共10个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 7. [新考法 分类讨论法]已知 AD 是△ ABC 的高，且∠ BAD ＝ 35°，∠ CAD ＝60°，则∠ BAC 的度数是 ⁠ ⁠. 95°或 25° 　 纠易错　易忽视高的位置而致错(分类讨论思想) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【点拨】 ①如图①，当高 AD 在△ ABC 的内部时，∠ BAC ＝∠ BAD ＋∠ CAD ＝35°＋60°＝95°. ②如图②，当高 AD 在△ ABC 的外部时， ∠ BAC ＝∠ CAD －∠ BAD ＝60°－35°＝25°. 综上所述，∠ BAC 的度数为95°或25°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 8. [2024·泰安新泰市月考]如果一个三角形的三条高的交点恰 好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是(　B　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 9. [2024·烟台莱阳市期中]如图，在△ ABC 中，∠ BAD ＝∠ CAD ，点 G 为 AD 的中点， BG 的延长线交 AC 于点 E ，点 F 为 AB 上的一点， CF 与 AD 垂直，交 AD 于点 H ，则下列结论：① AD 是△ ABE 的角平分线；② BE 是△ ABD 的 AD 边上的中线；③ CH 是△ ACD 的 AD 边上的高；④ AH 是△ ACF 的角平分线和高.其中正确的有 .(填序号) ③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 由 AH 平分∠ FAC 并且 AH 在△ ACF 内，知 AH 是△ ACF 的角平分线.又因为 AH ⊥ CF ，所以 AH 是△ ACF 的高， 故④正确.综上，其中正确的有③④. 【点拨】 由∠ BAD ＝∠ CAD ，可知 AD 平分∠ BAE ，但 AD 不是 △ ABE 内的线段，故①错误； BE 经过△ ABD 的边 AD 的中点 G ，但 BE 不是△ ABD 内 的线段，故②错误； 由 CH ⊥ AD 于点 H 及三角形的高的概念可知 CH 是△ ACD 的边 AD 上的高，故③正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 10. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝∠ ABC ＝2∠ A ， BD 是 AC 边上的高，求∠ DBC 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】因为在△ ABC 中， ∠ A ＋∠ C ＋∠ ABC ＝180°，∠ C ＝∠ ABC ＝2∠ A ， 所以5∠ A ＝180°， 所以∠ A ＝36°，所以∠ C ＝72°. 因为 BD 是 AC 边上的高， 所以∠ BDC ＝90°. 因为在△ BDC 中，∠ BDC ＋∠ C ＋∠ DBC ＝180°， 所以∠ DBC ＝18°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 11. 如图，已知钝角三角形 ABC . (1)分别作钝角三角形 ABC 的边 BC ， AB 上的高 AM ， CN ； 【解】如图， AM ， CN 即为所 求作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 (2)若 CN ＝3， AM ＝6，求 的值. 【解】因为 AM ， CN 分别为△ ABC 的边 BC ， AB 上的高， 所以 S△ ABC ＝ AM · BC ＝ CN · AB . 因为 CN ＝3， AM ＝6，所以6 BC ＝3 AB ，即 AB ＝2 BC ， 所以 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 12. 如图， AD ， BF 分别是△ ABC 的高与角平分线， BF ， AD 交于点 E ，∠1＝∠2，试说明：△ ABC 是 直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】因为 BF 是△ ABC 的角平分线， 所以∠ ABF ＝∠ CBF . 因为 AD 是△ ABC 的高， 所以∠ BDE ＝90°， 所以∠ CBF ＋∠ BED ＝90°. 因为∠ BED ＝∠1＝∠2，所以∠ ABF ＋∠2＝90°， 所以∠ BAC ＝90°，即△ ABC 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 13. [新视角 推理探究题]在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分 线， AE 是△ ABC 的高. (1)如图①，若∠ B ＝40°，∠ C ＝60°，请求出∠ DAE 的度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【解】因为∠ B ＝40°，∠ C ＝60°，∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C ＝180°，所以∠ BAC ＝80°.因为 AD 是∠ BAC 的平分线，所以∠ CAD ＝ ∠ BAC ＝40°.因为 AE 是△ ABC 的高，所以∠ AEC ＝90°.因为∠ C ＝ 60°，所以∠ CAE ＝90°－60°＝30°，所以∠ DAE ＝∠ CAD －∠ CAE ＝10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (2)如图②(∠ B ＜∠ C )，试说明∠ DAE ，∠ B ，∠ C 的 数量关系； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【解】因为∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C ＝180°，所以∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C . 因为 AD 是∠ BAC 的平分线，所以 ∠ CAD ＝ ∠ BAC . 因为 AE 是△ ABC 的高，所以∠ AEC ＝90°，所以∠ CAE ＝90°－∠ C ，所以∠ DAE ＝∠ CAD －∠ CAE ＝ ∠ BAC －(90°－∠ C )＝ (180°－∠ B －∠ C )－90°＋∠ C ＝ ∠ C － ∠ B ，即∠ DAE ，∠ B ，∠ C 的数量关系为∠ DAE ＝ ∠ C － ∠ B . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (3)如图③，延长 AC 到点 F ，∠ CAE 和∠ BCF 的平分线 交于点 G ，请直接写出∠ G 的度数. 【解】∠ G ＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 2　图形的全等 练点1　全等图形 1. [2024·日照东港区月考]下列各组中的两个图形，属于全等 图形的是(　C　) A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C D 基础题 返回 2. [新考法·概念解析法2023·泰安月考] 下列说法：①两个形 状相同的图形称为全等图形；②两个正方形是全等图形； ③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角 形是全等图形.其中正确的是(　D　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ③ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 练点2　全等三角形及其对应元素 3. 下列说法正确的是(　D　) A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是能够完全重合的两个三角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 4. [母题 教材P17例题] 如图，如果△ ABC ≌△ CDA ，∠ BAC ＝∠ DCA ，∠ B ＝∠ D ，对于以下结论：① AB 与 CD 是对应边；② AC 与 CA 是对应边；③点 A 与点 A 是对应顶点；④点 C 与点 C 是对应顶点；⑤∠ ACB 与∠ CAD 是对应角.其中正确的有(　B　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (第4题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 练点3　全等三角形的性质 5. [2024·济南市中区月考]如图是两个全等三角形，图中的字 母表示三角形的边长，则∠1的度数为(　B　) A. 54° B. 66° C. 60° D. 76° (第5题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 6. [2024·临沂兰山区月考]如图，已知△ ABE ≌△ ACD ，∠1 ＝∠2，∠ B ＝∠ C ，则下列结论不正确的是(　D　) A. AB ＝ AC B. ∠ BAE ＝∠ CAD C. BE ＝ DC D. AD ＝ DE (第6题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 7. [2023·成都]如图，已知△ ABC ≌△ DEF ，点 B ， E ， C ， F 依次在同一条直线上.若 BC ＝8， CE ＝5，则 CF 的 长为 ⁠. (第7题) 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 【点拨】 因为△ ABC ≌△ DEF ，所以 BC ＝ EF . 又因为 BC ＝8，所以 EF ＝8. 因为 EC ＝5，所以 CF ＝ EF － EC ＝8－5＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 纠易错　因不能准确确定全等三角形的对应元素而致错 8. 如图，已知△ ABE ≌△ ACD ，∠1＝∠2，∠ B ＝∠ C ， 指出对应边和其他对应角. 【解】 AB 与 AC ， AE 与 AD ， BE 与 CD 是对应边；∠ E 与∠ D 是对应角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 9. [2024·德州德城区期中]如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 边 AC 和 BC 上的点，且 DE ⊥ BC ，若△ ADB ≌△ EDC ， 则∠ C ＝(　D　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【点拨】 因为△ ADB ≌△ EDC ， 所以∠ A ＝∠ DEC ，∠ ABD ＝∠ C ， DB ＝ DC ， 所以∠ DBC ＝∠ C . 因为 DE ⊥ BC ，所以∠ A ＝∠ DEC ＝90°， 所以3∠ C ＝90°，解得∠ C ＝30°. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 10. [2024·潍坊青州市期中]三个全等三角形按如图的形式摆 放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是(　D　) A. 90° B. 120° C. 135° D. 180° (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【点拨】 如图，∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋ ∠3＋∠9＋∠7＝3×180°＝540°. 因为三个三角形全等， 所以∠4＋∠9＋∠6＝180°. 又因为∠5＋∠7＋∠8＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＋ 180°＋180°＝540°. 所以∠1＋∠2＋∠3＝180°. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 11. [2024·济宁邹城市期末]在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ，与 △ ABC 全等的三角形中有一个角是100°，那么△ ABC 中 与这个角对应的角是(　A　) A. ∠ A B. ∠ B C. ∠ C D. 无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【点拨】 易知△ ABC 中与这个角对应的角的度数为100°.因为一 个三角形中只能有一个钝角，所以100°的角只能是等腰 三角形的顶角.因为∠ B ＝∠ C ，所以在△ ABC 中，∠ B ，∠ C 是底角，∠ A 是顶角.所以△ ABC 中与这个角对应的角是∠ A . 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 12. [2024·泰安期末]如图，已知△ ABC ≌△ DEF ， CD 平分 ∠ BCA ，若∠ A ＝30°，∠ CGF ＝88°，则∠ E 的度数 是(　D　) A. 30° B. 50° C. 44° D. 34° (第12题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【点拨】 因为△ ABC ≌△ DEF ， 所以∠ D ＝∠ A ＝30°，∠ B ＝∠ E . 因为∠ CGF ＝88°， 所以∠ CGD ＝180°－∠ CGF ＝92°， 所以∠ BCD ＝180°－∠ CGD －∠ D ＝58°. 因为 CD 平分∠ BCA ， 所以∠ BCA ＝2∠ BCD ＝116°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 所以∠ B ＝180°－30°－116°＝34°. 所以∠ E ＝34°. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 13. 如图，已知△ EFG ≌△ NMH ，∠ F 与∠ M 是对应角. (1)写出相等的线段与相等的角； 【解】因为△ EFG ≌△ NMH ， ∠ F 与∠ M 是对应角， 所以 EF ＝ NM ， EG ＝ NH ， FG ＝ MH ，∠ F ＝∠ M ， ∠ E ＝∠ N ，∠ EGF ＝∠ NHM ， 所以 FH ＝ GM ，∠ EGM ＝∠ NHF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 (2)若 EF ＝2.1 cm， FH ＝1.1 cm， HM ＝3.3 cm，求 MN 和 HG 的长度. 【解】因为 EF ＝ NM ， EF ＝2.1 cm，所以 MN ＝2.1 cm. 因为 FG ＝ MH ＝3.3 cm， FH ＋ HG ＝ FG ， FH ＝1.1 cm， 所以 HG ＝ FG － FH ＝3.3－1.1＝2.2(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 14. [2024·聊城东昌府区期末]如图，△ ABC ≌△ ADE ， ∠ CAD ＝10°，∠ B ＝25°，∠ EAB ＝120°，延 长 BC ，分别与 AD ， ED 交于点 F ， G . 求∠ DFB 和∠ DGB 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【解】因为△ ABC ≌△ ADE ， 所以∠ D ＝∠ B ＝25°， ∠ DAE ＝∠ BAC ＝ (∠ EAB － ∠ CAD )＝ ×110°＝55°.因为∠ DFB ＝180°－∠ AFB ，∠ AFB ＝180°－(∠ FAB ＋∠ B )， 所以∠ DFB ＝∠ FAB ＋∠ B ＝∠ FAC ＋∠ CAB ＋∠ B ＝10°＋55°＋25°＝90°， 所以∠ DFG ＝180°－∠ DFB ＝90°， 所以∠ DGB ＝180°－∠ DFG －∠ D ＝65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 15. [新视角 推理探究题] 如图，点 A ， B ， C 在同一直线 上，点 E 在 BD 上，且△ ABD ≌△ EBC ， AB ＝2 cm， BC ＝3 cm. (1)求 DE 的长； 【解】因为△ ABD ≌△ EBC ， 所以 BD ＝ BC ＝3 cm， BE ＝ AB ＝2 cm， 所以 DE ＝ BD － BE ＝1 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 (2)判断 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由； 【解】 DB 与 AC 垂直. 理由：因为△ ABD ≌△ EBC ，所以∠ ABD ＝∠ EBC . 又因为 A ， B ， C 在同一直线上， 所以∠ ABD ＋∠ EBC ＝180°，所以∠ ABD ＝∠ EBC ＝90°，所以 DB 与 AC 垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 (3)判断直线 AD 与直线 CE 的位置关系，并说明理由. 【解】直线 AD 与直线 CE 垂直. 理由：如图，延长 CE 交 AD 于点 F . 因为△ ABD ≌△ EBC ，所以∠ D ＝∠ C . 因为∠ ABD ＝90°，所以∠ A ＋∠ D ＝90°， 所以∠ A ＋∠ C ＝90°，所以∠ AFC ＝90°， 所以直线 AD 与直线 CE 垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 3　探索三角形全等的条件 第1课时　用“边边边”判定三角形全等 练点1　三角形全等的条件：“边边边” 1. 如图，下列三角形中，与△ ABC 全等的是(　C　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 2. [2024·菏泽期中]如图，已知 AB ＝ DE ， AC ＝ DF ， BE ＝ CF ， 则判定△ ABC ≌△ DEF 的理由是 ⁠. SSS　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. 如图， C 是 BD 的中点， AB ＝ ED ， AC ＝ EC . 试说明： △ ABC ≌△ EDC . 【解】因为 C 是 BD 的中点， 所以 BC ＝ DC . 在△ ABC 和△ EDC 中，因为 所以△ ABC ≌△ EDC (SSS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点2　用“边边边”判定三角形全等的应用 4. 如图，已知 AB ＝ CD ， AE ＝ DF ， CE ＝ BF ，则 下列结论： ①△ ABE ≌△ DCF ； ②∠ B ＝∠ C ； ③∠ CDF ＝∠ BAE ； ④∠ BEA ＝∠ CFD ； ⑤ CF ＝ BE . 其中正确的有(　D　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. [2023·泰安泰山区月考]如图， AB ＝ AD ， CB ＝ CD ，∠ B ＝35°，∠ BAD ＝46°，则∠ ACD 的度数是 ⁠. 122°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点3　三角形的稳定性 6. [新考向·身边的数学2023·泰安肥城期中]下列图形中，不是 运用三角形的稳定性的是(　C　) A B C C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 7. [新考向·传统文化2023·淄博张店区期末] 花楼提花机是我 国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详 细记载了花楼提花机的构造.如图所示的是提花机上的一个 三角形木框架，它由三根木料固定而成， 三角形的大小和形状固定不变.三角形的 这个性质叫做三角形的 ⁠ ⁠. 稳定性 (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 纠易错　找全等三角形时考虑不全面导致漏解 8. [2024·淄博期中]如图，在方格纸中，以 AB 为一边作 △ ABP ，使之与△ ABC 全等，在方格纸的格点中符合条件 的点 P (不与点 C 重合)有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 【点拨】 如图所示，共有3个点. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 9. [新考向 知识情境化] 如图，手工课上，小明用螺栓将两端 打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角 星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形 了.于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定 不再变形，他至少需要添加的螺栓个数为(　A　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第9题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 如图， A 点处加上螺栓后，根据三角形的稳定 性，可知原来不稳定的五角星就稳定不再变形 了. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [2024·泰安泰山区期末]如图，平面上有△ ACD 与△ BCE ，其中 AD 与 BE 相交于点 P . 若 AC ＝ BC ， AD ＝ BE ， CD ＝ CE ，∠ ACE ＝55°，∠ BCD ＝155°，则∠ BPD 的度数为(　C　) A. 110° B. 125° C. 130° D. 155° (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 在△ ACD 和△ BCE 中， 因为所以△ ACD ≌△ BCE (SSS). 所以∠ A ＝∠ B ，∠ BCE ＝∠ ACD . 所以∠ BCA ＝∠ ECD . 因为∠ ACE ＝55°，∠ BCD ＝155°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 所以∠ BCA ＋∠ ECD ＝100°. 所以∠ BCA ＝∠ ECD ＝50°. 易知∠ B ＋∠ BCA ＝∠ A ＋∠ APB ， 所以∠ APB ＝∠ BCA ＝50°. 因为∠ APB ＋∠ BPD ＝180°， 所以∠ BPD ＝180°－50°＝130°. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. [情境题·生活应用母题·教材P22习题T3] 工人师傅常常利 用角尺构造全等三角形来平分一个角.如图，在∠ AOB 的 两边 OA ， OB 上分别取点 C ， D 使 OC ＝ OD ，移动角 尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 C ， D 重合，这时 过角尺顶点 M 的射线 OM 就是∠ AOB 的平分线.利用所学知识可知他构造全 等三角形的依据是 ⁠. SSS　 (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. [2024·东营东营区期末]如图，在△ ABC 中， AD ＝ ED ， AB ＝ EB ，∠ A ＝80°，则∠ CED ＝ ⁠. (第12题) 100°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 在△ ABD 和△ EBD 中， 因为所以△ ABD ≌△ EBD (SSS)， 所以∠ BED ＝∠ A ＝80°， 所以∠ CED ＝180°－∠ DEB ＝100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. [2024·济宁邹城市月考]如图，已知 AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， BE ＝ CD ，点 D 在 BE 的延长线上.写出∠1，∠2， ∠3之间的数量关系，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】∠3＝∠1＋∠2. 理由：在△ ABE 和△ ACD 中，因为 所以△ ABE ≌△ ACD (SSS)， 所以∠ BAE ＝∠1，∠ ABE ＝∠2. 又因为∠3＝180°－∠ BEA ， ∠ BAE ＋∠ ABE ＝180°－∠ BEA ， 所以∠3＝∠ BAE ＋∠ ABE ＝∠1＋∠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ， D 是 AB 上的一点， AE ⊥ CD 于点 E ， BF ⊥ CD 交 CD 的延长线于点 F . 若 CE ＝ BF ， AE ＝ EF ＋ BF ，试判断 AC 与 BC 的位置关系，并 说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 【解】 AC ⊥ BC . 理由如下： 因为 CE ＝ BF ， AE ＝ EF ＋ BF ， 所以 AE ＝ CE ＋ EF ＝ CF . 在△ ACE 和△ CBF 中，因为 所以△ ACE ≌△ CBF (SSS). 所以∠ CAE ＝∠ BCF . 因为 AE ⊥ CD ，所以∠ AEC ＝90°. 所以∠ CAE ＋∠ ACE ＝90°.所以∠ ACE ＋∠ BCF ＝ 90°，即∠ ACB ＝90°.所以 AC ⊥ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 3　探索三角形全等的条件 第2课时　用“角边角”“角角边”判定三角形全等 练点1　三角形全等的条件：“角边角” 1. [荣德原创题] 下面各组三角形中，能用“ASA”判定全等 的是(　D　) A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C D 基础题 返回 2. [母题·教材P24习题T4 2023·烟台栖霞市期中] 如图，亮亮 书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知 识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形 完全一样的依据是 ⁠. (第2题) ASA　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. [新视角 开放型问题] 如图， AB ∥ CD ， AD 与 BC 交于点 O ，请添加一个条件： ，使△ AOB ≌△ DOC . (只填一种情况即可) (第3题) AB ＝ DC (答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点2　三角形全等的条件：“角角边” 4. 如图，用∠ B ＝∠ C ，∠1＝∠2直接判定△ ABD ≌△ ACD 的依据是(　A　) A. AAS B. SSS C. ASA D. 以上都不是 (第4题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. [2024·济宁任城区期中]如图， AC 和 BD 相交于 O 点，若 OA ＝ OD ，直接用“AAS”判定△ AOB ≌△ DOC 还需增 加条件 ⁠. (第5题) ∠ B ＝∠ C 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点3　用“角角边”“角边角”判定三角形全等的应用 6. [2024·日照东港区月考]如图所示， BC ， AE 是锐角三角形 ABF 的高，相交于点 D ，若 AD ＝ BF ， AF ＝7， CF ＝ 2，则 BD 的长为(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (第6题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 7. [2024·德州月考]如图， AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ C . 已知∠ AEB ＝120°，则∠ BDC ＝ ⁠°. (第7题) 60　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 纠易错　弄错全等三角形的对应关系而致错 8. 如图，∠ B ＝∠ ACD ，∠ ACB ＝∠ D ＝90°， AC 是△ ABC 和△ ACD 的公共边，所以就可以判定△ ABC ≌△ ACD . 你认为这种说法正确吗？如果不正确，请说明理由. 【解】不正确.因为 AC 虽然是△ ABC 和△ ACD 的公共边，但不是对应边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 9. [2024·潍坊诸城市期中]如图，已知 AE ＝ AC ，∠ C ＝∠ E ，添加下列条件，不能判定△ ABC ≌△ ADE 的是(　D　) A. ∠ B ＝∠ D B. ∠ BAC ＝∠ DAE C. ∠1＝∠2 D. ∠ BAC ＝∠ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 A. 添加∠ B ＝∠ D ，由“AAS”可判定△ ABC ≌△ ADE ；B. 添加∠ BAC ＝∠ DAE ，由“ASA”可判定△ ABC ≌△ ADE ；C. 添加∠1＝∠2，则∠ BAC ＝∠ DAE ，由“ASA”可判定△ ABC ≌△ ADE ；D. 添加∠ BAC ＝∠ D ，不能判定△ ABC ≌△ ADE . 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [2024·威海文登区期中]如图，已知 AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ C ，∠1＝∠2.下列结论：① AE ＝ AF ；② AM ＝ AN ；③ BM ＝ CN ；④ DM ＝ DN . 其中正确的有(　D　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 因为∠1＝∠2， 所以∠1＋∠ BAC ＝∠2＋∠ BAC ，即∠ BAE ＝∠ CAF . 在△ BAE 和△ CAF 中，因为 所以△ BAE ≌△ CAF (ASA)， 所以 AE ＝ AF ， BE ＝ CF ，∠ E ＝∠ F ，故①正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 所以 AM ＝ AN ， EM ＝ FN ，故②正确； 因为 BE ＝ CF ， EM ＝ FN ，所以 BE － EM ＝ CF － FN ， 即 BM ＝ CN ，故③正确； 因为 AC ＝ AB ， AM ＝ AN ，所以 AC － AM ＝ AB － AN ， 在△ AEM 和△ AFN 中，因为 所以△ AEM ≌△ AFN (ASA)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 因为所以△ CDM ≌△ BDN (AAS)， 所以 DM ＝ DN ，故④正确.综上所述，正确的有4个. 【答案】D 即 CM ＝ BN . 在△ CDM 和△ BDN 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. [2024·青岛城阳区期末]如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ DC . 过点 B 作 BE ⊥ CA ，垂足 为 E . 若 CD ＝2， CE ＝6，则四边形 ABCD 的面积 是 ⁠. 40　 (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 所以∠D＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠EAB＝90°， 所以∠D＝∠EAB. 又因为AD＝AB，所以△ADC≌△BAE(AAS)， 所以AC＝BE，AE＝DC＝2. 因为CE＝6，所以BE＝AC＝AE＋CE＝2＋6＝8， 所以四边形ABCD的面积＝△ADC的面积＋△ABC的面 积＝ DC·AC＋ AC·BE＝ ×2×8＋ ×8×8＝8＋ 32＝40. 【点拨】 因为AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA， 所以∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. 如图，点 A ， B ， C ， D 在同一条直线上，点 E ， F 分 别在直线 AB 的两侧，且 AE ＝ BF ，∠ A ＝∠ B ，∠ ACE ＝∠ BDF . (1)试说明：△ ACE ≌△ BDF ； 【解】在△ ACE 和△ BDF 中， 因为 所以△ ACE ≌△ BDF (AAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)若 AB ＝8， AC ＝2，求 CD 的长. 【解】由(1)知△ ACE ≌△ BDF ，所以 BD ＝ AC ＝2.因为 AB ＝8，所以 CD ＝ AB － AC － BD ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. 如图①，在一个支架的横杆点 O 处用一根绳悬挂一个小 球 A ，小球 A 可以摆动.如图②， OA 表示小球静止时的 位置.当小球从 OA 摆到 OB 位置时，过点 B 作 BD ⊥ OA 于点 D ，当小球摆到 OC 位置时， OB 与 OC 恰好垂直， 过点 C 作 CE ⊥ OA 于点 E ，测得 CE ＝24 cm， OA ＝ OB ＝ OC ＝30 cm. (1)试说明： OE ＝ BD ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】因为 OB ⊥ OC ，所以∠ BOC ＝90°， 所以∠ BOD ＋∠ COE ＝90°. 因为 CE ⊥ OA ， BD ⊥ OA ，所以∠ CEO ＝∠ ODB ＝90°， 所以∠ BOD ＋∠ B ＝90°， 所以∠ COE ＝∠ B . 在△ COE 和△ OBD 中，因为 所以△ COE ≌△ OBD (AAS).所以 OE ＝ BD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)求 AD 的长. 【解】因为△ COE ≌△ OBD ，所以 OD ＝ CE ＝24 cm， 所以 AD ＝ OA － OD ＝30－24＝6(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. 已知：点 P 是线段 AC 上一点， BP ＝ DP ， AB ＝3， CD ＝7. (1)如图①，若∠ A ＝∠ C ＝∠ BPD ＝90°，求 AC 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 【解】因为∠ A ＝∠ BPD ＝90°， 所以∠ B ＋∠ APB ＝∠ CPD ＋∠ APB ＝90°， 所以∠ B ＝∠ CPD . 在△ ABP 与△ CPD 中，因为 所以△ ABP ≌△ CPD (AAS).所以 CP ＝ AB ＝3， AP ＝ CD ＝7.所以 AC ＝ AP ＋ CP ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 (2)如图②，若∠ A ＝∠ C ＝∠ BPD ≠90°，能否求出 AC 的长？若能，求出 AC 的长；若不能，说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 【解】能.因为∠ A ＝∠ BPD ，∠ B ＋∠ APB ＝180° －∠ A ，∠ CPD ＋∠ APB ＝180°－∠ BPD ， 所以∠ B ＝∠ CPD . 在△ ABP 与△ CPD 中，因为 所以△ ABP ≌△ CPD (AAS).所以 CP ＝ AB ＝3， AP ＝ CD ＝7.所以 AC ＝ AP ＋ CP ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 3　探索三角形全等的条件 第3课时　用“边角边”判定三角形全等 练点1　三角形全等的条件：“边角边” 1. [2024·德州乐陵月考]如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ，且 AE ＝ AF ，则可直接用“SAS”判定的是(　C　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A. △ ABD ≌△ ACD B. △ BDE ≌△ CDF C. △ ADE ≌△ ADF D. △ ABD ≌△ ABC 基础题 返回 2. [2024·泰安泰山区期末]如图，在△ ABC 和△ DEF 中，已 知 AB ＝ DE ， BC ＝ EF ，直接用“SAS”判定△ ABC ≌△ DEF ，还需要的条件是(　B　) A. ∠ A ＝∠ D B. ∠ B ＝∠ DEF C. ∠ ACB ＝∠ F D. 以上均可以 (第2题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 3. [2024·潍坊诸城月考]如图， AD ＝ AE ， BD ＝ CE ，那么 图中△ ADC ≌ ⁠. (第3题) △ AEB 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 练点2　用“边角边”判定三角形全等的应用 4. [母题 教材P27习题T4] 如图，△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ＝ 65°， BD ＝ CE ， BE ＝ CF ，则∠ DEF 的度数是(　C　) A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 【点拨】 因为∠ B ＝∠ C ＝65°， BD ＝ CE ， BE ＝ CF ， 所以△ DBE ≌△ ECF (SAS). 所以∠ BDE ＝∠ FEC . 因为∠ BDE ＋∠ BED ＝180°－65°＝115°， 所以∠ BED ＋∠ CEF ＝115°. 所以∠ DEF ＝180°－115°＝65°. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 5. [2023·福建]如图， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，∠ AOD ＝ ∠ COB . 试说明： AB ＝ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 【解】因为∠ AOD ＝∠ COB ， 所以∠ AOD －∠ BOD ＝∠ COB －∠ BOD ，即∠ AOB ＝ ∠ COD . 在△ AOB 和△ COD 中， 因为 所以△ AOB ≌△ COD (SAS)，所以 AB ＝ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 纠易错　误用“边边角”导致出错 6. [新考法·过程辨析法2023·济南期末] 如图，已知点 D 在射 线 AE 上， BD ＝ CD ， AE 平分∠ BAC ， DE 平分∠ BDC ，试说明： AB ＝ AC . 小明的解答过程如下： 解：因为 AE 平分∠ BAC ， 所以∠ BAD ＝∠ CAD . 又因为 AD ＝ AD ， BD ＝ CD ， 所以△ ABD ≌△ ACD ， 所以 AB ＝ AC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 小明的解答过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若 错误，请写出正确的解答过程. 【解】小明的解答过程不正确.正确的解答过程如下： 因为 DE 平分∠ BDC ，所以∠ BDE ＝∠ CDE ， 所以∠ BDA ＝∠ CDA . 又因为 AD ＝ AD ， BD ＝ CD ， 所以△ BDA ≌△ CDA (SAS)，所以 AB ＝ AC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 7. 在校内劳动课上，小亮同学设计了如图所示的风筝框架.已 知∠ B ＝∠ E ， AB ＝ DE ， BF ＝ EC ，△ ABC 的周长为 24 cm， FC ＝3 cm.制作该风筝框架需用材料的总长度至 少为(　B　) A. 44 cm B. 45 cm C. 46 cm D. 48 cm (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 【点拨】 因为 BF ＝ EC ， 所以 BF ＋ FC ＝ EC ＋ CF ，即 BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中，因为 所以△ ABC ≌△ DEF (SAS)， 所以△ DEF 的周长＝△ ABC 的周长＝24 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 因为 CF ＝3 cm，所以制作该风筝框架需用材料的总长度 至少为△ DEF 的周长＋△ ABC 的周长－ CF ＝24＋24－3 ＝45 (cm). 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 8. [新视角·动点探究题2023·聊城月考] 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝4， AD ＝6.延长 BC 到点 E ，使 CE ＝2， 连接 DE ，动点 P 从点 B 出发，以每秒2个单位的速度，沿 BC － CD － DA 向终点 A 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，当△ ABP 和△ DCE 全等时， t 的值为(　C　) A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 【点拨】 在长方形 ABCD 中， AB ＝ CD . 若∠ ABP ＝∠ DCE ＝90°， BP ＝ CE ＝2， 则根据“SAS”得△ ABP ≌△ DCE . 由题意得 BP ＝2 t ，所以2 t ＝2，所以 t ＝1. 若∠ BAP ＝∠ DCE ＝90°， AP ＝ CE ＝2， 则根据“SAS”得△ BAP ≌△ DCE . 易得 AP ＝16－2 t ，所以16－2 t ＝2，解得 t ＝7. 综上所述，当△ ABP 和△ DCE 全等时， t 的值为1或7. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 9. 如图， AB ＝ AC ， DB ＝ DC ，点 E 在 AD 上.下列结论： ①△ ABD ≌△ ACD ； ②△ ABE ≌△ ACE ； ③△ DBE ≌△ DCE . 其中正确的是 (填序号). ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 【点拨】 在△ ABD 与△ ACD 中， 因为 AB ＝ AC ， DB ＝ DC ， AD ＝ AD ， 所以△ ABD ≌△ ACD (SSS)，故①正确； 所以∠ BAD ＝∠ CAD ，∠ ADB ＝∠ ADC . 在△ ABE 与△ ACE 中， 因为 AB ＝ AC ，∠ BAE ＝∠ CAE ， AE ＝ AE ， 所以△ ABE ≌△ ACE (SAS)，故②正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 在△ DBE 与△ DCE 中，因为 DB ＝ DC ，∠ EDB ＝ ∠ EDC ， DE ＝ DE ，所以△ DBE ≌△ DCE (SAS)，故③正 确.所以正确的是①②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 10. [新视角 推理探究题] 如图，点 E ， F 是 AD 上的两点， AB ∥ CD ， AB ＝ CD ， AF ＝ DE . 问：线段 CE ， BF 有 什么数量关系和位置关系？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 【解】数量关系是 BF ＝ CE ；位置关系是 BF ∥ CE . 理 由：因为 AB ∥ CD ，所以∠ A ＝∠ D . 又因为 AB ＝ CD ， AF ＝ DE ， 所以△ ABF ≌△ DCE (SAS). 所以 BF ＝ CE ，∠ BFA ＝∠ CED ，所以 BF ∥ CE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 11. [2023·陕西]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝50°，∠ C ＝ 20°.过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为点 E ，延长 EA 至点 D ，使 AD ＝ AC ，在边 AC 上截取 AF ＝ AB ，连接 DF . 试说明： DF ＝ CB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 【解】在△ ABC 中，因为∠ B ＝50°，∠ C ＝20°，所 以∠ CAB ＝180°－∠ B －∠ C ＝110°.因为 AE ⊥ BC ， 所以∠ AEC ＝90°，所以∠ EAC ＝90°－20°＝70°， 所以∠ DAF ＝180°－70°＝110°，所以∠ DAF ＝ ∠ CAB . 在△ DAF 和△ CAB 中，因为 所以△ DAF ≌△ CAB (SAS).所以 DF ＝ CB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 12. [新视角·动点探究题2023·日照东港区月考] 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝10 cm， BC ＝8 cm，点 D 为 AB 的中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以3 cm/s的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，则 经过1 s后，△ BPD 与△ CQP 是否全等？请说明 理由. ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相 等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 △ BPD 与△ CQP 全等？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 【解】①经过1 s后，△ BPD 与△ CQP 全等. 理由：经过1 s后， BP ＝ CQ ＝3 cm. 因为 AB ＝10 cm，点 D 为 AB 的中点，所以 BD ＝5 cm.因为 BC ＝8 cm，所以 PC ＝ BC － BP ＝8－3＝5(cm)，所以 PC ＝ BD . 因为 AB ＝ AC ，所以∠ B ＝∠ C . 在△ BPD 和△ CQP 中，因为 所以△ BPD ≌△ CQP (SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 ②因为点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等， 所以 BP ≠ CQ . 又因为∠ B ＝∠ C ，所以有△ BPD ≌△ CPQ 这一种情况，所以 BP ＝ PC ＝4 cm， CQ ＝ BD ＝5 cm，所以点 P 、点 Q 运动的时间为 ＝ s， 所以点 Q 的运动速度为 ＝ (cm/s). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 (2)若点 Q 以(1)②中的运动速度从点 C 出发，同时点 P 以 原来的运动速度从点 B 出发，都逆时针沿△ ABC 三边 运动，经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ ABC 的哪 条边上相遇？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 【解】设经过 x s，点 P 与点 Q 第一次相遇， 由题意，得 x ＝3 x ＋2×10，解得 x ＝ . 所以点 P 共运动了 ×3＝80(cm). 由题意知△ ABC 的周长为10＋10＋8＝28(cm). 因为28×3＝84(cm)，84－80＝4(cm)＜10 cm， 所以点 P 与点 Q 在 AB 边上相遇，即经过 s点 P 与点 Q 第一次在△ ABC 的 AB 边上相遇. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 3　探索三角形全等的条件 第4课时　选用合适的方法判定三角形全等 练点1　选用合适的方法判定三角形全等 1. [2024·聊城临清市期中]如图， AC 是△ ABC 和△ ADC 的公 共边，下列条件中不能判定△ ABC ≌△ ADC 的是(　D　) A. ∠1＝∠2，∠3＝∠4 B. BC ＝ DC ，∠3＝∠4 C. ∠ B ＝∠ D ，∠1＝∠2 D. AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D (第1题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 2. [2024·德州德城区开学]如图，在△ ABC 和△ ABD 中，已 知∠ CAB ＝∠ DAB ，在不添加任何辅助线的前提下，再 添加一个条件使△ ABC ≌△ ABD ，则添加的条件不可以 是(　B　) A. AC ＝ AD B. BC ＝ BD C. ∠ C ＝∠ D D. ∠ CBE ＝∠ DBE (第2题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 3. [新视角 条件开放题]如图，在△ ABC 和△ DEF 中， 点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上， BE ＝ CF ， 若 (填序号)，试说明△ ABC ≌△ DEF . 请在给出的三个条件：① AB ＝ DE ；② AB ∥ DE ；③ AC ＝ DF 中选择合适的两个，补充在 上面的问题中，并完成解答. ①③(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 【解】此题答案不唯一.解法举例如下： 因为 BE ＝ CF ，所以 BE ＋ EC ＝ CF ＋ EC ，即 BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中，因为所以△ ABC ≌△ DEF (SSS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 练点2　全等三角形的性质 4. 下列说法不正确的是(　D　) A. 全等三角形的对应边上的中线相等 B. 全等三角形的对应边上的高相等 C. 全等三角形的对应角的平分线相等 D. 有两边对应相等的两个等腰三角形全等 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 5. [母题 教材P27例4] 已知：如图，△ ABC ≌△A'B'C'， AD 和A'D'分别是△ ABC 和△A'B'C'的中线.试说明： AD ＝ A'D'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 【解】因为△ ABC ≌△A'B'C'，所以∠ B ＝∠B'， AB ＝ A'B'， BC ＝B'C'.因为 AD 和A'D'分别是△ ABC 和 △A'B'C'的中线，所以 BD ＝ BC ，B'D'＝ B'C'，所以 BD ＝B'D'，在△ ABD 和△A'B'D'中，因为所 以△ ABD ≌△A'B'D'(SAS)， 所以 AD ＝A'D'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 6. [2024·淄博张店区期末]如图，已知∠1＝∠2， AC ＝ AD ， 增加下列条件之一：① AB ＝ AE ；② BC ＝ ED ；③∠ C ＝∠ D ；④∠ B ＝∠ E . 其中能使△ ABC ≌△ AED 的条件 有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【点拨】 因为∠1＝∠2，所以∠ CAB ＝∠ DAE . 因为 AC ＝ AD ，所以当 AB ＝ AE 时，可根据“SAS”判 定△ ABC ≌△ AED ； 当 BC ＝ ED 时，不能判定△ ABC ≌△ AED ； 当∠ C ＝∠ D 时，可根据“ASA”判定△ ABC ≌△ AED ； 当∠ B ＝∠ E 时，可根据“AAS”判定△ ABC ≌△ AED . 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 7. [2023·烟台栖霞市期中]如图， AB ＝ CD ，∠ ABD ＝ ∠ CDB ，则图中的全等三角形共有(　C　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【点拨】 在△ ABD 和△ CDB 中， 因为所以△ ABD ≌△ CDB (SAS)， 所以 BC ＝ AD ，∠ DBC ＝∠ BDA ， 所以∠ ABO ＝∠ CDO . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 在△ ABO 和△ CDO 中，因为 所以△ ABO ≌△ CDO (AAS). 在△ ABC 和△ CDA 中，因为 所以△ ABC ≌△ CDA (SAS). 综上所述，全等的三角形有△ ABD 和△ CDB ，△ ABO 和 △ CDO ，△ ABC 和△ CDA ，共3对. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 8. [新视角·主题探究题2024·潍坊安丘市月考] 在学习完“探 索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三 角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一 个“U”形框架 PABQ ，其中 AB ＝42 cm， AP ， BQ 足够 长， PA ⊥ AB 于点 A ， QB ⊥ AB 于点 B ，点 M 从点 B 出 发向点 A 运动，同时点 N 从点 B 出发向点 Q 运动，点 M ， N 运动的速度之比为3∶4，当两点运动 到某一瞬间同时停止，此时在射线 AP 上取点 C ，使△ ACM 与△ BMN 全等， 则线段 AC 的长为 ⁠cm. 18或28　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【点拨】 设 BM ＝3 t cm，则 BN ＝4 t cm. 因为∠ A ＝∠ B ＝90°， 所以使△ ACM 与△ BMN 全等，可分为两种情况： 情况一：当 BM ＝ AC ， BN ＝ AM 时. 因为 BN ＝ AM ＝4 t cm， BM ＝3 t cm， AB ＝42 cm， 所以4 t ＝42－3 t ，解得 t ＝6， 所以 AC ＝ BM ＝18 cm； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 情况二：当 BM ＝ AM ， BN ＝ AC 时. 因为 BM ＝ AM ＝3 t cm， AB ＝42 cm， 所以3 t ＝42－3 t ，解得 t ＝7， 所以 AC ＝ BN ＝28 cm. 综上所述， AC ＝18 cm或 AC ＝28 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 9. [新视角 结论开放题]如图，已知点 A ， F ， E ， C 在同一 直线上， AB ∥ CD ，∠ ABE ＝∠ CDF ， AF ＝ CE . (1)从图中任找两组全等三角形； 【解】△ ABE ≌△ CDF ，△ ADF ≌△ CBE ，△ ADC ≌△ CBA . (任 写两组即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 (2)从(1)中任选一组全等三角形，说明理由. 【解】此题答案不唯一.解法举例如下： 选择△ ABE ≌△ CDF . 理由：因为 AF ＝ CE ，所以 AE ＝ CF . 因为 AB ∥ CD ，所以∠ BAE ＝∠ DCF . 在△ ABE 和△ CDF 中，因为 所以△ ABE ≌△ CDF (AAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 10. [新视角·推理探究题2024·烟台栖霞市期末] 如图， AD ＝ AC ， AB ＝ AE ，∠ DAB ＝∠ CAE . 请你判断线段 DF 与 CF 的数量关系，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】 DF ＝ CF . 理由如下： 在△ ADB 与△ ACE 中，因为 所以△ ADB ≌△ ACE (SAS)， 所以∠ ADB ＝∠ ACE ， DB ＝ CE . 因为∠ DAB ＝∠ CAE ，所以∠ DAE ＝∠ CAB . 又因为 AD ＝ AC ， AE ＝ AB ，所以△ ADE ≌△ ACB (SAS)， 所以∠ ADE ＝∠ ACB ，所以∠ BDE ＝∠ ECB . 又因为∠ DFB ＝∠ CFE ， 所以△ DFB ≌△ CFE (AAS)，所以 DF ＝ CF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 11. [新视角 动点探究题]在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是边 BC 上的任意一点(不与点 B ， C 重合)，以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ ADE ，使 AD ＝ AE ，∠ DAE ＝∠ BAC ，连接 CE . (1)如图①，当∠ BAC ＝90°时， 求∠ BCE 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 【解】因为∠ BAC ＝∠ DAE ，所以∠ BAC －∠ DAC ＝∠ DAE －∠ DAC ，即∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ ABD 与△ ACE 中，因为 所以△ ABD ≌△ ACE (SAS)，所以∠ B ＝∠ ACE . 所以∠ B ＋∠ ACB ＝∠ ACE ＋∠ ACB ＝∠ BCE . 因为∠ BAC ＝90°，所以∠ B ＋∠ ACB ＝90°， 所以∠ BCE ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 (2)如图②，设∠ BAC ＝α，∠ BCE ＝β.当点 D 在线段 BC 上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 【解】α＋β＝180°.理由：因为∠ BAC ＝∠ DAE ， 所以∠ BAD ＋∠ DAC ＝∠ EAC ＋∠ DAC ， 所以∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ ABD 与△ ACE 中，因为 所以△ ABD ≌△ ACE (SAS)，所以∠ B ＝∠ ACE . 所以∠ B ＋∠ ACB ＝∠ ACE ＋∠ ACB ＝∠ BCE ， 所以∠ B ＋∠ ACB ＝β. 因为∠ BAC ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°，所以α＋β＝ 180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 4　三角形的尺规作图 练点　用尺规作三角形 1. 已知三边作三角形，用到的基本作图是(　C　) A. 作一个角等于已知角 B. 作已知直线的垂线 C. 作一条线段等于已知线段 D. 作一条线段等于已知线段的和 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 2. [新考法 过程辨析法] 如图①，已知线段 a 和∠1，用尺规 作△ ABC ，使 BC ＝ a ，∠ ABC ＝∠ BCA ＝∠1，张蕾的 作法如图②所示，则下列说法中一定正确的是(　A　) A. 作△ ABC 的依据为ASA B. 弧 EF 是以 AC 长为半径画的 C. 弧 MN 是以点 A 为圆心， a 为半径画的 D. 弧 GH 是以 CP 长为半径画的 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 3. 如图，①作∠DA'E＝∠ A ； ②在射线A'D 上截取A'B'＝ AB ，在射线A'E上截取A'C'＝ AC ； ③连接B'C'得到△A'B'C'，则△A'B'C'≌△ ABC 的依据 是 ⁠. SAS　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 4. 如图，已知△ ABC ，请根据“ASA”作出△ DEF ，使 △ DEF ≌△ ABC . (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 【解】如答图，①作∠ MDN ＝∠ A ； ②在 DN 上截取 DE ＝ AB ； ③作∠ QED ＝∠ B ，使 EQ 和 DM 在 DN 的同侧， EQ 交 DM 于点 F . 则△ DEF 即为所作. (第4题答图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 5. [2024·聊城东昌府区开学]根据下列条件，能作出唯一三角 形的是(　B　) A. AB ＝4， AC ＝3，∠ B ＝30° B. ∠ A ＝50°，∠ B ＝60°， AC ＝4 C. AB ＝4， BC ＝4， AC ＝8 D. ∠ C ＝90°， AB ＝6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 6. [2024·东营月考]已知线段 a ， b ， c ，求作△ ABC ，使 BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c .下面的作图顺序正确的是(　C　) ①以点 A 为圆心，以 b 为半径画弧，以点 B 为圆心，以 a 为半径画弧，两弧交于 C 点； ②作线段 AB 等于 c ； ③连接 AC ， BC ，则△ ABC 就是所求作图形. C A. ①②③ B. ③②① C. ②①③ D. ②③① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 7. [母题 教材P32习题T1] 尺规作图：如图，已知∠α，∠β和 线段 a ，求作△ ABC ，使∠ A ＝∠α，∠ B ＝2∠β， AB ＝ a .要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母. 【解】如图，△ ABC 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 8. 如图，已知线段 a 和∠1，∠2，，求作△ ABC ，使 BC ＝ a ，∠ BAC ＝∠1，∠ ABC ＝∠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】如图，①在∠2的外侧作∠ MDN ＝∠1；②反向延 长 DH ，得∠3；③作射线 CX ，截 CB ＝ a ；④作∠ OCR ＝∠3；⑤∠ TBS ＝∠2， CR 与 BS 交于点 A . △ ABC 即为 所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 9. 如图①，已知线段 a ， b 和 m ，求作△ ABC ，使 BC ＝2 a ， AC ＝ b ， BC 边上的中线 AD ＝ m .盈盈想出了一种作 法，根据图②中她的作图痕迹，你能想出她是怎样作出来 的吗？把她的具体作法写下来吧！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】作法：①作射线 CM ，在射线 CM 上依次截取 CD ， DB ，使 DB ＝ CD ＝ a ； ②以点 C 为圆心， b 为半径画弧； ③以点 D 为圆心， m 为半径画弧，与②中的弧交于点 A ； ④连接 AC ， AD ， AB . △ ABC 就是所求作的三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 10. [新视角 操作探究题]如图，已知一个三角形的两边长分 别为 m 和 n ，一个内角为α. (1)试作出两个满足条件的三角形(不要求写作法，但要求 保留作图痕迹). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】如图①即为所求.(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 (2)猜测并探索：满足(1)中条件，且不全等的三角形能有 几个？请画图说明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】满足(1)中条件，且不全等的三角形能有4个. 图①中有2个，如图②中有2个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 11. [学科素养 几何直观]如图， B ， F ， C ， E 是直线 l 上的 四点， AB ∥ DE ， AB ＝ DE ， BF ＝ CE . (1)试说明：△ ABC ≌△ DEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 【解】因为 BF ＝ CE ，所以 BF ＋ FC ＝ CE ＋ FC ，即 BC ＝ EF . 因为 AB ∥ DE ，所以∠ ABC ＝∠ DEF . 在△ ABC 和△ DEF 中，因为 所以△ ABC ≌△ DEF (SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 (2)将△ ABC 沿直线 l 翻折得到△ A ' BC . ①用直尺和圆规在图中作出△A'BC(保留作图痕迹，不 要求写作法)； ②连接A'D，则直线A'D与直线 l 的位置关系是 ⁠ ⁠. 平 行　 【解】①如图，△A'BC即 为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 5　利用三角形全等测距离 练点　利用三角形全等测距离 1. [母题 教材P34习题T1] 如图，工人师傅设计了一种测零件 内径 AB 的卡钳，卡钳交叉点 O 为AA'，BB'的中点，只要 量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径 AB 的长度.依据 的数学基本事实是(　A　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截得的线段相等 D. 两点之间线段最短 (第1题) 基础题 返回 2. [2024·聊城东昌府区月考]如图，为测量 B 点到河对面的目 标 A 的距离，在 B 点同侧选择了一点 C ，测得∠ ABC ＝ 65°，∠ ACB ＝35°，然后在 M 处立一根标杆，使∠ MBC ＝65°，∠ MCB ＝35°，得到△ MBC ≌△ ABC ，所以 BM 的长就等于 A ， B 两点间的距离，这里判定△ MBC ≌ △ ABC 的理由是(　C　) C A. SAS B. AAS C. ASA D. SSS (第2题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 3. [2024·济宁梁山月考]如图， AC ＝ DB ， AO ＝ DO ， CD ＝100 m，则 A ， B 两点间的距离为 ⁠. 100 m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 纠易错　混淆判定三角形全等的条件，导致判定依据不正确 4. 如图是由两根钢丝固定的高压电线杆，按要求当两根钢丝 与电线杆的夹角相同时，固定效果最好.现已知两根钢丝的 固定效果最好，请你判断两根钢丝的触地点到电线杆的距 离是否相等，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 【解】相等.理由如下： 由题意知∠ BAO ＝∠ CAO ，∠ AOB ＝∠ AOC ＝90°. 在△ AOB 和△ AOC 中， 因为 所以△ AOB ≌△ AOC (ASA).所以 BO ＝ CO . 即两根钢丝的触地点到电线杆的距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 5. [2023·济南历下区期末]要得知某一池塘两端 A ， B 的 距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接 测量方案. 方案Ⅰ：如图①，先过点 B 作 BF ⊥ AB ，再在 BF 上取 C ， D 两点，使 BC ＝ CD ，接着过点 D 作 BD 的垂线 DE ，交 AC 的延长线于点 E ，则测量 DE 的长即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 方案Ⅱ：如图②，过点 B 作 BD ⊥ AB ，再由点 D 观测，用 测角仪在 AB 的延长线上取一点 C ，使∠ BDC ＝∠ BDA ，则测量 BC 的长即可. 对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是(　C　) A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ和Ⅱ都不可行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 所以∠ ABC ＝∠ EDC . 在△ ABC 和△ EDC 中，因为 所以△ ABC ≌△ EDC (ASA)，所以 AB ＝ ED ， 故方案Ⅰ可行. 因为 BD ⊥ AB ，所以∠ ABD ＝∠ CBD ＝90°. 【点拨】 因为 AB ⊥ BF ，所以∠ ABC ＝90°. 因为 DE ⊥ BF ，所以∠ EDC ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 在△ ABD 和△ CBD 中，因为 所以△ ABD ≌△ CBD (ASA)，所以 AB ＝ BC ， 故方案Ⅱ可行.综上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 6. [新考向·知识情境化2023·潍坊期末] 如图，小亮拿着老师 的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，若每块小长方体教具的高度均为 h ， 则两摞长方体教具之间的距离 DE 的长为 ⁠. 7 h 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【点拨】 由题意得 AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°， AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ， 所以∠ ADC ＝∠ CEB ＝90°，∠ ACD ＋∠ BCE ＝90°， 所以∠ ACD ＋∠ DAC ＝90°，所以∠ BCE ＝∠ DAC . 在△ ADC 和△ CEB 中，因为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 所以△ ADC ≌△ CEB (AAS)， 所以 CD ＝ BE ， AD ＝ CE . 又因为 DE ＝ CD ＋ CE ，所以 DE ＝ BE ＋ AD . 因为一块小长方体教具的高度为 h ， 所以 AD ＝4 h ， BE ＝3 h ，所以两摞长方体教具之间的距 离为4 h ＋3 h ＝7 h . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 7. [2023·淄博沂源期中]如图是一张简易木床的侧面图， 现要钉上两根木条以确保其坚固耐用(木条近似看做线 段)，木条 AB 已经钉上了，如果要求木条 EF 与木条 AB 等长，且 DF ＝ BC ，那么应该怎样确定点 E ， F 的位置？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【解】(答案不唯一)应该利用刻度尺测量，使 DF ＝ BC ， DE ＝ AC . 理由如下： 在△ ACB 和△ EDF 中， 因为 所以△ ACB ≌△ EDF (SAS)，所以 AB ＝ EF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 8. 学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组的同学 就“测量河两岸 A ， B 两点间距离”这一问题，设计了如 下方案：如图，在点 B 所在河岸的同侧平地上取点 C 和点 D . 使点 A ， B ， C 在一条直线上，且 CD ＝ BC ，测得 ∠ DCB ＝100°，∠ ADC ＝65°，在 CD 的延长线上取一点 E ，使∠ BEC ＝15°，这时测得 DE 的长就是 A ， B 两点 间的距离.你同意他们的说法吗？ 请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【解】同意.理由：因为∠ DCB ＝100°，∠ ADC ＝ 65°， 所以∠ A ＝180°－∠ DCB －∠ ADC ＝15°. 又因为∠ BEC ＝15°，所以∠ A ＝∠ BEC . 在△ DCA 和△ BCE 中，因为 所以△ DCA ≌△ BCE (AAS)，所以 AC ＝ EC . 又因为 BC ＝ CD ，所以 AC － BC ＝ CE － CD ，即 AB ＝ DE ， 所以测得 DE 的长就是 A ， B 两点间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 9. [新视角·方案设计题2023·青岛李沧区期末] 如图，某广场 上有一座雕塑， A ， B 两点分别位于其底座两端，但利用 现有的皮尺无法直接测出 A ， B 两点间的距离，请你设计 一个方案，测出 A ， B 两点间的距离，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【解】方案：如图，在地面上选择一点 O ，连接 AO 并延 长至点 C ，使 OC ＝ OA ，连接 BO 并延长至点 D ，使 OD ＝ OB ，连接 CD ，测量 CD 的长， CD 的长即为 A ， B 两 点间的距离.理由： 在△ AOB 和△ COD 中， 因为 所以△ AOB ≌△ COD (SAS)， 所以 AB ＝ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 10. [情境题 生活应用]如图， AD 是一段斜坡， AB 是水平 线，现准备测斜坡上一点 D 的竖直高度 DB ，欢欢在 D 处 立上一根竹竿 CD ，并保证 CD ⊥ AD ，然后在竿顶 C 处 垂下一根绳子 CE ，与斜坡 AD 交于点 E ，他测出了绳子 CE 的长度，发现 CE ＝ AD ，此时他测得 DE ＝2米，求 DB 的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 【解】如图，延长 CE 交 AB 于点 F ， 易知∠ A ＋∠1＝90°，∠ C ＋∠2＝90°， 因为∠1＝∠2， 所以∠ A ＝∠ C . 在△ ABD 和△ CDE 中， 因为 所以△ ABD ≌△ CDE (AAS)，所以 DB ＝ DE ， 因为 DE ＝2米，所以 DB 的长度是2米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 $$