2.2 基本不等式讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式(第1课时） 1． 引入 问题1　请写出我们上节课学习的重要不等式. 问题2　如果a>0,b>0,我们用,分别替换重要不等式中的a,b,能得到什么样的结论? 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的,是否对所有的a>0,b>0都能成立?请给出证明. 二．新课 知识点一　基本不等式 　如果a＞0，b＞0，有≤，当且仅当　 　时，等号成立.通常称不等式≤为基本不等式.其中，叫做正数a，b的　 　，叫做正数a，b的　 　. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数　 　它们的几何平均数. 提醒　基本不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）. 知识点二　基本不等式与最值 　已知x，y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当　 　时，和x＋y有最小值　 　； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当　 　时，积xy有最大值　 　. 提醒　利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 3. 题型总结 题型一：对基本不等式的理解 例题1.给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（－）＋］≤－2＝－2. 其中正确的推导为（　　） A.①②　　　　　　　　 B.①③ C.②③ D.①②③ 练习1.下列不等式中正确的是（　　） A.当x＞0时，x2＋≥2 B.当x≥2时，x＋的最小值为2 C.≥ D.a2＋b2≥4ab 题型二：直接法求最值 例题2.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 例题3.已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 练习2.已知x>0,求x+的最小值. 变式.将条件“x>0”改成“x<0”,求x+的最大值. 题型三：配凑法求最值 角度1 凑“积”为定值 例题4.当x＞0时，y＝的最小值为　 　； 例题5.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 练习3.已知，求的最小值； 角度2 凑“和”为定值 例题6.当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 练习4：设0＜x＜，求函数y＝4x（3－2x）的最大值. 例题7已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 练习5：求的最大值. 题型四：常数代换法求最值 例题8.已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 变式：已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 4． 课后练习 1. 当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ 2. 已知，求的最大值. 3. 已知，求证：的最大值是. 4.（1）已知x＞0，求y＝2－x－的最大值；（2）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值. 5.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为　2　. 6.已知x，y都是正数. （1）若xy＝4，求＋的最小值；（2）若x＋2y＝3，求＋的最小值. 7.下列各式中最小值为2的是（　　） A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋ C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0） 8.（多选）设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A.＋的最小值为4 B.的最小值为 C.＋的最大值为 D.a2＋b2的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 1． 引入 问题1　请写出我们上节课学习的重要不等式. 提示　∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 问题2　如果a>0,b>0,我们用,分别替换重要不等式中的a,b,能得到什么样的结论?提示　用,分别替换重要不等式中的a,b可得到a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立.我们习惯表示成≤,当且仅当a=b时,等号成立. 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的,是否对所有的a>0,b>0都能成立?请给出证明. 提示　方法一　(作差法) -===≥0,即≥,当且仅当a=b时,等号成立. 方法二　(性质法) 要证≤, 只需证2≤a+b, 只需证2-a-b≤0, 只需证-(-)2≤0, 显然(-)2≥0成立,当且仅当a=b时,等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD,故有△ACD∽△DCB,故CD=,由于CD小于或等于圆的半径,故用不等式表示为≤,由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 二．新课 知识点一　基本不等式 　如果a＞0，b＞0，有≤，当且仅当　a＝b　时，等号成立.通常称不等式≤为基本不等式.其中，叫做正数a，b的　算术平均数　，叫做正数a，b的　几何平均数　. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数　不小于　它们的几何平均数. 提醒　基本不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）. 知识点二　基本不等式与最值 　已知x，y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当　x＝y　时，和x＋y有最小值　2　； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当　x＝y　时，积xy有最大值　S2　. 提醒　利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 3. 题型总结 题型一：对基本不等式的理解 例题1.给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（－）＋］≤－2＝－2. 其中正确的推导为（　　） A.①②　　　　　　　　 B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：B　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确.②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的.③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确. 练习1.下列不等式中正确的是（　　） A.当x＞0时，x2＋≥2 B.当x≥2时，x＋的最小值为2 C.≥ D.a2＋b2≥4ab 解析：A　对于选项A，符合基本不等式的三个条件“一正，二定，三相等”，故A正确；对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝1，不满足x≥2，故B错误；对于C，当a＞0，b＞0时，≤，当且仅当a＝b时取等号，故C错误；对于D，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，故D错误.故选A. 题型二：直接法求最值 例题2.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 答案　B 解析　因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18. 例题3.已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　由已知，得12＝4x＋3y≥2，即12≥2，解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号)． 练习2.已知x>0,求x+的最小值. 解　因为x>0, 所以x+≥2=4, 当且仅当x=,即x=2时等号成立,因此所求的最小值为4. 变式.将条件“x>0”改成“x<0”,求x+的最大值. 解　原多项式可变为x+=-, 因为x<0,则-x>0, 故有-x+≥2=4, 所以-≤-4,当且仅当-x=-,即x=-2时等号成立. 故原式的最大值为-4. 题型三：配凑法求最值 角度1 凑“积”为定值 例题4.当x＞0时，y＝的最小值为　　； 解析：当x＞0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立， 所以当x＞0时，y＝的最小值为. 例题5.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 答案　D 解析　∵x>2，∴x－2>0，∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6(当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号)，∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. 练习3.已知，求的最小值； 【详解】（1），，， 当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为； 角度2 凑“和”为定值 例题6.当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案　8 解析　因为y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤2＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立，所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 练习4：设0＜x＜，求函数y＝4x（3－2x）的最大值. 解：∵0＜x＜，∴3－2x＞0， ∴y＝4x（3－2x）＝2[2x（3－2x）]≤2＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”. ∴y的最大值为. 例题7已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析　因为正数x，y满足x＋2y＝2，所以xy＝x·≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号，所以xy的最大值为. 练习5：求的最大值. 【详解】（1），，， 当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为； （2）由知. 当或时，； 当时，，由基本不等式可得. 当且仅当，即当时等号成立. 综上，的最大值为. 题型四：常数代换法求最值 例题8.已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 答案　C 解析　8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72，当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 变式：已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 答案　72 解析　∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＋＝1，∴8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72，当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 4． 课后练习 1. 当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ 【详解】，当且仅当，即时等号成立. 所以，当或时，取得最小值，最小值为. 2. 已知，求的最大值. 【详解】当时，. 当时，，，， 当且仅当，即时取等号. 的最大值为，此时. 3. 已知，求证：的最大值是. 【详解】，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最大值是. 4.（1）已知x＞0，求y＝2－x－的最大值； （2）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值. 解：（1）∵x＞0，∴x＋≥4. ∴y＝2－≤2－4＝－2. 当且仅当x＝（x＞0），即x＝2时取等号， ∴ymax＝－2. （2）∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴y＝x（1－2x）＝×2x（1－2x）≤×＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号， 故y＝x（1－2x）的最大值为. 5.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为　2　. 解析：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋（3x＋2y）＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立.∴W≤2，即W的最大值为2. 6.已知x，y都是正数. （1）若xy＝4，求＋的最小值； （2）若x＋2y＝3，求＋的最小值. 解：（1）∵xy＝4，且x＞0，y＞0， ∴＋≥2＝2＝， 当且仅当x＝2，y＝时取等号， 即＋的最小值为. （2）∵x＋2y＝3，∴＋＝1， ∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋， 当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号， ∴＋的最小值为1＋. 7.下列各式中最小值为2的是（　　） A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋ C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0） 解析：B　A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，所以等号取不到；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3. 8.（多选）设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A.＋的最小值为4 B.的最小值为 C.＋的最大值为 D.a2＋b2的最大值为 解析：AC　对于A，＋＝（a＋b）＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤（a＋b）＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，∵（＋）2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误.故选A、C. 学科网（北京）股份有限公司 $$