精品解析：浙江省温州市安阳实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024学年第一学期九年级学习品质问卷调查—数学 温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 某排球队12名队员的年龄如下：该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 A. 19岁，19岁 B. 19岁，19.5岁 C. 19岁，20岁 D. 20岁，19.5岁 5. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ） A B. C. D. 6. 用反证法证明，若，则时，应假设（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C点是线段上一动点，分别以，为边向上作正方形和正方形，连接，，延长交于点N，过点N作，点M为线段中点，记的长为x，的长为y，点C在运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. xy C. D. 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 13. 已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是__________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以是__________（写出一个即可）． 15. 如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则__________． 16. 如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则__________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上． （2）在图2中，仅用无刻度的直尺作边上的中线． 20. 2024年9月10日是我国第40个教师节，某校展开以“烛光引路，感恩墨香”为主题的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94 90 94 九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 c 52 九年级 92 b 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________；__________；__________． （2）由以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八、九年级参加此次竞赛活动的人数分别为650人和780人，估计在本次竞赛活动中八、九年级成绩优秀的学生共有多少人？ 21. 如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求度数． 22. 小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． （2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校距离相等，求a的值． 23. 小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 3 5 … y … 1 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值； （3）已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值． 24. 在正方形中，，E，F为对角线上不重合的两个点（不包括端点），，连结并延长交于点G，连结，． （1）求证：． （2）设长为x，的面积为y． ①求y关于x的函数表达式． ②当时，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期九年级学习品质问卷调查—数学 温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，由此进行求解即可得到答案．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法，根据有理数的减法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 4. 某排球队12名队员的年龄如下：该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 A. 19岁，19岁 B. 19岁，19.5岁 C. 19岁，20岁 D. 20岁，19.5岁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．根据中位数定义即一组有序的数组中，中间数据或中间两个数据的平均数，计算即可．众数即出现次数最多的数据， 【详解】解：∵19岁出现的次数最多， ∴众数为：19． 中位数为：， 故选：B． 5. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．由点A与点B对称，求得对称轴为直线，再根据点C与点D对称，即可求解． 【详解】解：∵和对称， ∴对称轴直线为：， ∵与点D关于对称， ∴， 故选：A． 6. 用反证法证明，若，则时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“若，则”时， 应假设， 故选：C． 7. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数形结合思想，涉及抛物线和直线交点，根据题意可知方程解即为抛物线和直线的交点． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴方程的解即为抛物线和直线的交点， ∴解为，， 故选：B． 8. 开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程的应用，确定等量关系具体化即可． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设A品牌足球单价为x元，根据题意，得． 故选C． 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，C点是线段上一动点，分别以，为边向上作正方形和正方形，连接，，延长交于点N，过点N作，点M为线段的中点，记的长为x，的长为y，点C在运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. xy C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明，继而证明，利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判定A正确；利用三角形面积不是定值，角不是定角，其正切函数也变化，表示变量，解答即可． 【详解】解：连接， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， 故是定值， 故A符合题意； ∵， 且都随点C的变化而改变，不是定值； 故B不符合题意； 根据题意，得， 而不是定角， 故D不符合题意； 根据题意，得，而x不是定值， 故C不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正切函数，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正切函数是解题的关键． 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提出公因式，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键． 12. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 13. 已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中给定的函数顶点式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】6（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实根， ∴， 解得， 故 故答案为：6． 15. 如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．过点B作于点D，设，利用勾股定理，平行线间的距离处处相等，反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：过点B作于点D，设， ∵，， ∴，， 由， ∴， 解得， ∴，， ∵轴， ∴A，C两点的纵坐标相同，设为， 根据平行线间的距离处处相等，得到，， 故 解得， 故， 故答案为：15． 16. 如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，连接， 证明四边形是平行四边形，利用折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵ 矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处， ∴，，，， ，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，， ∴， 连接， 则四边形是平行四边形， ∴H为的中点，， ∴，， 过点H作于点， 则， ∴ ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算出算术平方根，零指数幂以及负整数指数幂，最后再进行加减法运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的解法解答即可．本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ． 19. 在如图所示网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上． （2）在图2中，仅用无刻度的直尺作边上的中线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，平行四边形的判定：两组对边相等的四边形是平行四边形证明作图即可． （2）根据等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形的中线交于一点，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 则四边形是平行四边形， 则四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，连接与交于点G，由四边形是矩形， 得， 连接， 则是的中线， 连接， 则是的中线， 二线交于点M， 作射线，交于点E， 则即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 20. 2024年9月10日是我国第40个教师节，某校展开以“烛光引路，感恩墨香”为主题的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94 90 94 九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 c 52 九年级 92 b 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________；__________；__________． （2）由以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八、九年级参加此次竞赛活动的人数分别为650人和780人，估计在本次竞赛活动中八、九年级成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）1；94；99 （2）九年级成绩较好，理由见解析 （3）优秀学生共有936人 【解析】 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，中位数的定义，众数的定义分别计算即可． （2）根据平均数，中位数，众数，方差作出决策即可． （3）利用样本估计总体思想计算即可 【小问1详解】 解：， 八年级成绩出现最多的是99，， 九年级成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是94， 故， 故答案为：1；94；99． 【小问2详解】 解：九年级成绩较好．①虽然八、九年级竞赛成绩的平均数相同，②但是九年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，③且九年级的方差小于八年级的方差，成绩稳定，因此九年级的成绩较好． 【小问3详解】 （人） 答：优秀的学生共有936人． 【点睛】本题考查了统计图，中位数，众数，样本估计整体，熟练掌握定义是解题的关键． 21. 如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质成为解题的关键． （1）根据三角形中位线的性质可得、，即；再说明、，证得可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先证明平行四边形BEFC是菱形，再利用菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：点D，E分别是边的中点， ，， ， ∵点O是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，， ， 平行四边形BEFC是菱形， ，， ． 22. 小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． （2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【答案】（1）0.125；0.5 （2） 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟， 小华返回学校的速度为：千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：． 23. 小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x部分对应值如表： x … 2 3 5 … y … 1 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值； （3）已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值． 【答案】（1）该二次函数的表达式为； （2）； （3）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的轴对称的性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律等知识，利用二次函数的轴对称性质是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线的对称轴和顶点坐标，知当时，该二次函数的最大值为1，根据题意列得方程，据此求解即可； （3）先求得点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性，列式计算求得；求得点C的坐标为，得到点P的坐标为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设该二次函数的表达式为， 由题意得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，∴抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，∵，∴当时，二次函数的值随的增大而增大；当时，该二次函数的最大值为1，∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，∴，解得，∴（舍去），∴； 【小问3详解】 解：∵点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合， ∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同， ∴，解得， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点C向下平移个单位得到点M， ∴点M的坐标为， ∴点P的坐标为， 将代入，得， ∴， 答：，． 24. 在正方形中，，E，F为对角线上不重合的两个点（不包括端点），，连结并延长交于点G，连结，． （1）求证：． （2）设的长为x，的面积为y． ①求y关于x的函数表达式． ②当时，求x的值． 【答案】（1）详见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，结合平行线的判定定理，求证：． （2）①连接，交于点H．利用正方形的性质，三角形面积公式及解答即可． ②过F作于点I，作于点J，根据面积关系，建立方程解答即可． 【小问1详解】 证明：在正方形中， ，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①连接，交于点H． 在正方形中，，，，， ， ， ， ． ②过F作于点I，作于点J， ，， ， ， ， 解得或（舍去）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$