精品解析：安徽省六安市舒城中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题

舒城中学2024级高一入学检测 数学试卷 （总分，120分 时间：90分钟） 命题：陶习满 审题：束观元 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题．每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解一元二次方程的解，可得不等式的解. 【详解】根据题意，方程的解为， 所以不等式的解集是. 故选：A 2. 在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 4. 下列各组函数是同一组函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义为， 函数的定义域为 ， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意； 对于B中，由函数与函数， 其中两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一组函数，所以B符合题意； 对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意. 故选：BC. 5. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式解得的范围；再整理化简目标式即可. 【详解】将不等式因式分解得， 即或， 无解或， 所以 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，以及根式的化简，属综合基础题. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 7. 已知函数为奇函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可. 【详解】依题意，当时，，则， 而当时，，因此，则，， 当时，，则， 又，于是，， 所以，所以. 故选：C 8. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论 【详解】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选：D 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知函数，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】代值求解可得. 【详解】，. 故答案为：15. 10. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将看作一个整体，将函数表达式利用配方法整理，即可得出函数的单调递减区间，再根据是函数单调递减区间的子集，即可建立不等式求解． 【详解】∵， ∴的单调减区间是． 又在上是减函数， ∴，即． ∴所求实数的取值范围是， 故答案为：． 11. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数， 令， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解集为. 13. 已知 . （1）若，试证明在内单调递增； （2）若且在内单调递减，求a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性的基本步骤，逐步进行证明即可； （2）作差通分，根据已知可将问题转化为恒成立问题，分析即可得a取值范围. 【小问1详解】 证明：设， 则. ∵，∴，， ∴，即， ∴在内单调递增. 【小问2详解】 设，则 . ∵，， ∴， ∴要使，只需恒成立， 若，则当时，， 当时，， ∴. 综上所述，a的取值范围为. 14. 如图，斜坡AB长130米，坡度现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE. （1）若修建的斜坡BE的坡角为求平台DE的长；（结果保留根号） （2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin3） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质可知，然后利用特殊角的三角函数值可求出的长度，最后利用求解即可； （2）过点作、，先通过求出的长度，在中，求出的长度，最后利用求解. 【小问1详解】 过作，垂足为， 因为，所以，因为为中点  所以为中点， 在，, 设，，则, 所以 即 ，， 所以，， 因在中，， 所以， 所以， 所以平台的长为（）米  . 【小问2详解】 过作、，垂足分别为、， 所以四边形为矩形，所以， 因为，，所以， 因为为中点，所以为中点即， 所以， 因为在中，， 在中，， 所以. 所以广告的长度约为米. 15. 已知函数是奇函数，且 （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并加以证明； （3）若函数满足不等式，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可; （3）利用单调性及定义域列出不等式即可 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数， 所以； 【小问2详解】 在上单调递增． 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得， 又， 所以，即， 故函数在上单调递增； 【小问3详解】 不等式， 是增函数，且，所以，解得， 所以t的取值范围是 16. 设函数，其中. （1）若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； （2）若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； （3）求函数 在 上的最小值. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）运用代入法进行求解即可； （2）根据函数的单调性，结合任意性的定义进行求解即可； （3）根据对勾函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为是关于 的不等式的解， 所以，因此的取值范围为； 【小问2详解】 因为对任意 ，不等式恒成立， 所以有成立， 因为， 对于对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 对于二次函数的对称轴为，开口向上，显然， 当时，， 综上， 当时，由，所以， 当时，由，显然无实数解， 故的取值范围为； 【小问3详解】 因为， 所以对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由不等式恒成立，转化为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 舒城中学2024级高一入学检测 数学试卷 （总分，120分 时间：90分钟） 命题：陶习满 审题：束观元 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题．每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 2. 在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数是同一组函数的是（ ） A. 与 B 与 C. 与 D. 与 5. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 7. 已知函数为奇函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 8. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（    ） A B. C. D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知函数，则__________. 10. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为________． 11. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 三、解答题：本题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中） 13 已知 . （1）若，试证明在内单调递增； （2）若且在内单调递减，求a的取值范围. 14. 如图，斜坡AB长130米，坡度现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE. （1）若修建的斜坡BE的坡角为求平台DE的长；（结果保留根号） （2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin3） 15. 已知函数是奇函数，且 （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并加以证明； （3）若函数满足不等式，求实数取值范围． 16. 设函数，其中. （1）若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； （2）若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； （3）求函数 在 上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$