4.2.2 离散型随机变量的分布列 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.2.2　离散型随机变量的分布列 课标定位素养阐释 1.通过实例,理解离散型随机变量的分布列. 2.通过实例,了解伯努利试验. 3.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数据分析素养. 自主预习 新知导学 一、离散型随机变量的分布列 1.抛掷一枚均匀的骰子,所得点数为X. (1)X可取哪些数字? 提示:X=1,2,3,4,5,6. (2)当X取不同的值时,其概率P分别是多少? (3)你能用表格表示X与P的对应关系吗? 提示:列表如下所示. 2.(1)分布列的定义:一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率P(X=xk)=pk都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (2)分布列的性质: ①pk≥ 0 ,k=1,2,3,…,n; 答案:C 二、两点分布 1.利用随机变量研究一类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回的一件产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,这些有什么共同点? 提示:这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果. 2.只取两个不同值的随机变量一定服从两点分布吗?举例说明. 提示:只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布.例如:随机变量X的分布列如下表所示. X 2 5 P 0.3 0.7 则X不服从两点分布,因为X的取值不是0或1. 3.(1)两点分布:一般地,如果随机变量的分布列能写成如下表格形式(其中0<p<1). W 1 0 P p 1-p 则称这个随机变量服从参数为 p 的两点分布(或0-1分布). (2)一个所有可能结果只有两种的随机试验,通常称为伯努利试验.两点分布也常称为伯努利分布,两点分布中的p也常称为成功概率. 4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于(　　) 解析:由题意知该分布为两点分布,又P(ξ=1)=2P(ξ=0),且P(ξ=1)+P(ξ=0)=1, 解得P(ξ=0)= . 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)在离散型随机变量分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.( × ) (2)在离散型随机变量分布列中,在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积.( × ) (3)在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为1.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 分布列的性质及应用 解:由题意,所给分布列如下表所示. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 延伸探究 探究一 探究二 探究三 规范解答 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题: (1)X取不同的值的事件互斥; (2)不仅要注意 ,而且要注意pk≥0,k=1,2,…,n. 利用分布列的性质检验所求分布列的正误,是非常重要的思想方法. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练1】 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析:由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.故P(Y=2)=P(X=4)=0.3. 答案:A 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 离散型随机变量的分布列及其应用 【例2】 袋中装有大小相同的黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 ,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中原有的白球的个数; (2)求随机变量ξ的分布列; (3)求甲取到白球的概率. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 因此ξ的分布列如下表所示. (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球.记A为甲取到白球,则P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)= . 探究一 探究二 探究三 规范解答 求离散型随机变量的分布列关键有三点: (1)随机变量的取值; (2)每一个取值所对应的概率; (3)利用所有概率和是否为1来检验. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练2】 一袋中装有5个相同的球,编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球,以X表示取出的3个球中的最小号码,写出随机变量X的分布列. 解:随机变量X的可能取值为1,2,3. 当X=1时,即取出的3个球中最小号码为1,则其他2个球只能在编号为2,3,4,5 探究一 探究二 探究三 规范解答 因此,X的分布列如下表所示. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 两点分布 【例3】 (1)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示. X 0 1 P 9c2-c 3-8c 求出c,并说明X是否服从两点分布,若是,则成功概率是多少? (2)袋中有大小相同的10个红球和5个白球,从中摸出2个球,如果只关心摸出两个红球的情形,那么如何定义随机变量X,才能使X满足两点分布,并求分布列. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 (2)从含有10个红球,5个白球的袋中摸出2个球,其结果是随机的,可能是一红一白、两红、两白三种情况, 探究一 探究二 探究三 规范解答 两步法判断一个分布是否为两点分布: (1)看取值.随机变量只取两个值:0和1; (2)验概率.检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. 如果一个分布满足以上两点,那么该分布是两点分布,否则不是两点分布. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练3】 在抛掷一枚图钉的随机试验中,令X= 如果针尖向上的概率为0.8,随机变量X的分布列为　　　　　.  解析:随机变量X服从两点分布, 且P(X=0)+P(X=1)=1. 由P(X=1)=0.8,可得P(X=0)=1-0.8=0.2, 故可写出X的分布列. 答案:　 X 0 1 P 0.2 0.8 探究一 探究二 探究三 规范解答 【规范解答】 求离散型随机变量的分布列 【典例】 口袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X表示取出的最大号码,求X的分布列. 审题策略　首先根据X的意义确定随机变量X的取值,然后计算其对应的概率,写出随机变量的分布列. 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范展示　随机变量X的可能取值为3,4,5,6. 当X=3时,即取出的3个球最大号码为3,则其他2个球只能在编号为1,2的2个球中取, 当X=4时,即取出的3个球最大号码为4,则其他2个球只能在编号为1,2,3的3个球中取, 当X=5时,即取出的3个球最大号码为5,则其他2个球只能在编号为1,2,3,4的4个球中取, 探究一 探究二 探究三 规范解答 当X=6时,即取出的3个球最大号码为6,则其他2个球只能在编号为1,2,3,4,5的5个球中取, 因此随机变量X的分布列为 探究一 探究二 探究三 规范解答 答题模板　第一步:根据题意确定随机变量X的取值. 第二步:求出每个X对应的概率. 第三步:在表格中列出X和对应的概率,即为分布列. 造成失分的原因主要有: (1)理解题意出错,导致随机变量X的取值出错; (2)计算概率出错,当样本空间容量较大时,一般要应用排列组合的知识计算概率. 失误警示 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练】 已知随机变量ξ的分布列如下表所示. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 随堂练习 1.若随机变量X的概率分布列如下表所示,则表中a的值为(　　) 答案:D 答案:ABC 3.一批产品等级分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量ξ,则 4.某人投篮的命中率是未命中概率的3倍,以随机变量X表示1次投篮的命中次数,则P(X=1)=　　　　　.  5.一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球. (1)从中任意摸出一个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即 (2)从中任意摸出两个球,用“η=0”表示两个球全是白球,用“η=1”表示两个球不全是白球,求η的分布列. 提示:都等于. X 1 2 3 4 5 6 P ②pk=p1+p2+…+pn= 1 . 3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=,i=1,2,3,则a的值为(　　) A.1 B. C. D. 解析:由分布列的性质,得a=1,得a=. A.0 B. C. D. 【例1】 设随机变量X的分布列P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值; (2)求P. X P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=. (2)P(X≥)=P(X=)+P(X=)+P(X=)=或P(X≥) =1-P(X≤)=1-()=. 例1的条件不变,求P. 解:∵<X<,∴X=. ∴P=P+P+P. pk=p1+p2+…+pn=1 解:(1)设袋中原有n个白球,由题意知, 可得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球. (2)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P(ξ=1)=,P(ξ=2)=, P(ξ=3)=, P(ξ=4)=, P(ξ=5)=. ξ 1 2 3 4 5 P 的4个球中取,故有P(X=1)=; 当X=2时,即取出的3个球中最小号码为2,则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取,故有P(X=2)=; 当X=3时,即取出的3个球中最小号码为3,则其他2个球只能是编号为4,5的2个球,故有P(X=3)=. X 1 2 3 P 解:(1)由(9c2-c)+(3-8c)=1, 解得c=或c=. 又9c2-c≥0,3-8c≥0,所以≤c≤,所以c=. X的取值为0,1,故X服从两点分布,成功概率为3-8c=. 为此我们定义随机变量如下:X= 则X显然服从两点分布,且P(X=1)=, 所以P(X=0)=1-, 所以X的分布列如下表所示. X 0 1 P 故有P(X=3)=; 故有P(X=4)=; 故有P(X=4)=; 故有P(X=5)=. X 3 4 5 6 P ξ -2 -1 0 1 2 3 P 分别求出随机变量η1=ξ,η2=ξ2的分布列. 解:由η1=ξ知,对于ξ取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,η1的值分别为-1,-,0,,1,, 因此η1的分布列如下表所示. η1 -1 - 0 1 P 由η2=ξ2知,对于ξ的不同取值-2,2及-1,1,η2分别取相同的值4与1,即η2取4这个值的概率应是ξ取-2与2的概率的和,η2取1这个值的概率应是ξ取-1与1的概率的和,所以η2的分布列如下表所示. η2 0 1 4 9 P X 1 2 3 4 P a A.1 B. C. D. 解析:∵+a=1,∴a=. 2.(多选题)已知随机变量X的概率分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则(　　) A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a= C.P(0≤X<2)= D.以上均不正确 答案: P(≤ξ≤)=　　　　　.  解析:设二级品有k个,则一级品有2k个,三级品有个,总数为k个. 因此分布列如下表所示. ξ 1 2 3 P 故P=P(ξ=1)=. 解析:设未命中的概率为p,则命中的概率为3p,由p+3p=1,得p=.P(X=1)是1次投篮命中的概率,即投篮命中率P(X=1)=. 答案: X=求X的分布列; 解:(1)由题意知P(X=0)=,P(X=1)=. 因此X的分布列如下表所示. X 0 1 P (2)由题意知P(η=0)=,P(η=1)=1-P(η=0)=. 因此η的分布列如下表所示. η 0 1 P $$