4.2.4 随机变量的数字特征（第2课时 离散型随机变量的方差） 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.2.4　随机变量的数字特征 第2课时　离散型随机变量的方差 课标定位素养阐释 1.通过实例,理解离散型随机变量的方差. 2.理解两点分布、二项分布的方差及方差的性质,并能解决简单的实际问题. 3.体会随机变量方差的数学抽象的过程,提升数据分析和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、离散型随机变量的方差 1.A,B两台机床同时加工同一种零件,每加工一批数量较大的零件,出现的次品数与对应的概率如下表. A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.1 (1)E(X1)与E(X2)有什么关系? 提示:E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1=0.44,E(X1)=E(X2). (2)能说明两台机床加工零件的质量一样吗? 提示:不能. (3)还需利用什么指标才可以比较两台机床的加工质量? 提示:方差或标准差. 2.方差及标准差的定义 (1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 因为X的均值为E(X),所以D(X)= 　能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小),这称为离散型随机变量X的方差.离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示.  (2)一般地, 称为离散型随机变量X的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). 3.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则x1,x2,x3对应的概率p1,p2,p3分别为　　　　　, 　　　　　,　　　　　.  答案:0.4　0.1　0.5 二、几类特殊分布的方差与方差的性质 1.已知随机变量X服从参数为p的两点分布,其分布列为 X 1 0 P p 1-p (1)两点分布的方差D(X)与参数p有什么关系? 提示:D(X)=p(1-p). (2)若随机变量Y=2X+1,则D(Y)与D(X)有什么关系? 提示:D(Y)=4D(X). 2.(1)若X服从参数为p的两点分布,则D(X)= p(1-p) . (2)若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则D(X)= np(1-p) . (3)方差的性质:若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)= a2D(X) . 3.同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面向上的次数为ξ,则D(ξ)=(　　) 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( × ) (2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离均值的平均程度.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 求离散型随机变量的方差 【例1】 编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,设与座位编号相同的学生的个数为X,求D(X). 解:由题意可知,X的所有可能的取值为0,1,3, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求离散型随机变量的均值或方差的关键是求分布列,而求分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要能正确求出每一个结果出现的概率. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 设投掷一枚质地均匀的骰子得到的点数为X,则X的方差为　　　　　.  探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 两点分布与二项分布的方差 【例2】 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设成活沙柳的株数为ξ,均值E(ξ)=3,标准差 . (1)求n和p的值,并写出ξ的分布列; (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 若随机变量X服从两点分布或二项分布,则可直接利用方差公式求方差,避免了繁杂的计算. 若已知随机变量X服从两点分布或二项分布,且已知E(X),D(X),则可利用公式构造方程或方程组求出参数p或n,p. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差的值最大?并求其最大值. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 离散型随机变量方差的实际应用 【例3】 最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱投资理财,提出了三种方案. [方案一]李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万元钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%(只 探究一 探究二 探究三 易错辨析 [方案三]李师傅的妻子认为:投入股市、基金均有风险,应该将10万元钱全部存入银行一年,现在存款年利率为1.5%. 针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由. 解:若按方案一执行,设收益为X1万元,则其分布列为 探究一 探究二 探究三 易错辨析 若按方案二执行,设收益为X2万元,则其分布列为 若按方案三执行,则收益y=10×1.5%=0.15(万元). 又E(X1)=E(X2)>y,D(X1)>D(X2), 说明虽然方案一、二平均收益相等,但方案二更稳妥. 所以,建议李师傅家选择方案二投资较为合理. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在解决此类实际问题时,应先比较均值,根据均值的大小及实际意义作出合理的选择.若均值相等,则再比较方差,方差越小越稳定. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 已知甲、乙两名学生在解答同一份数学试卷时,各自的成绩为80分、90分、100分的分布列如下表所示. 甲: 分数X 80 90 100 概率P 0.2 0.6 0.2 乙: 分数Y 80 90 100 概率P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90, D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40, E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90, D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80, ∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), ∴两名学生的成绩的平均水平相同,但甲学生的成绩更稳定. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 混淆方差的性质与均值的性质而致误 【典例】 已知随机变量X的分布列如下表. X -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 且Y=3X+1,求E(Y),D(Y). 错解:因为E(X)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.1+2×0.2=0.1, 所以E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=1.3. 又因为D(X)=(-2-0.1)2×0.1+(-1-0.1)2×0.2+(0-0.1)2×0.4+(1-0.1)2×0.1+ (2-0.1)2×0.2=1.49, 所以D(Y)=D(3X+1)=3D(X)+1=5.47. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:利用方差的性质求解D(Y)时,错误地认为D(Y)=D(3X+1)=3D(X)+1,与均值的性质混淆. 正解:因为E(X)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.1+2×0.2=0.1, 所以E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=1.3. 又因为D(X)=(-2-0.1)2×0.1+(-1-0.1)2×0.2+(0-0.1)2×0.4+(1-0.1)2×0.1+ (2-0.1)2×0.2=1.49, 所以D(Y)=D(3X+1)=9D(X)=13.41. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 求解此类问题,要牢记公式E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),并能熟练使用. 防范措施 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:D(2X+1)=4D(X)=4×1=4. 答案:C 2.已知ξ~B(n,p),E(ξ)=8,D(ξ)=1.6,则n与p的值分别为(　　) A.100和0.08 B.20和0.4 C.10和0.2 D.10和0.8 解析:因为ξ~B(n,p), 答案:D 3.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.离散型随机变量的均值E(X)刻画了X取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差D(X)刻画了X取值的平均取值 C.离散型随机变量的均值E(X)刻画了X取值的平均取值 D.离散型随机变量的方差D(X)刻画了X相对于均值的离散程度 答案:CD 4.有甲、乙两台自动包装机,包装质量分别为随机变量X,Y,已知E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),则自动包装机　　　　　的包装质量较好.  解析:在均值相等的情况下,方差越小,说明包装机的质量越稳定,故自动包装机乙的包装质量较好. 答案:乙 5.已知离散型随机变量X的分布列如下表. 若E(X)=0,D(X)=1,则a=　　　　　,  b=　　　　　.  解析:由题意,得 6.某人练习射击打靶,击中的概率为0.8. (1)求此人射击一次击中的次数ξ的均值与方差; (2)此人连续射击10次,每次击中与否互不影响,求击中次数η的均值与方差. 解:(1)由已知得,ξ服从两点分布,故E(ξ)=0.8,D(ξ)=0.8×(1-0.8)=0.16. (2)由已知得,η~B(10,0.8),故E(η)=10×0.8=8,D(η)=10×0.8×(1-0.8)=1.6. [xi-E(X)]2pi　 解析:由题意可知, 解得 A. B. C. D.5 解析:∵ξ~B,∴D(ξ)=10×. 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=3)=. 故X的分布列为 X 0 1 3 P 故E(X)=0×+1×+3×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1. 解析:依题意,X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 故E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×, D(X)= . 答案: 解:(1)由题意可知,ξ~B(n,p), 则E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=, 解得p=,n=6. 故P(ξ=k)=,k=0,1,…,6. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3). 由(1)可知,P(A)=, 故需要补种沙柳的概率为. 解:设成功次数为X, 由题意可知,X~B(100,p),则D(X)=100p(1-p)=-100+25. 当p=时,D(X)max=25,此时取最大值5. 故当p=时,成功次数的标准差的值最大,最大值为5. 有这两种可能),且获利的概率为. [方案二]李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将10万元钱全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能亏损10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为. X1 4 -2 P E(X1)=4×+(-2)×=1, D(X1)=(4-1)2×+(-2-1)2×=9. X2 2 0 -1 P E(X2)=2×+0×+(-1)×=1, D(X2)=(2-1)2×+(0-1)2×+(-1-1)2×. 所以解得 X -1 0 1 2 P a b c 解得 答案: $$