4.2.5 正态分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.2.5　正态分布 课标定位素养阐释 1.理解正态曲线的概念及性质. 2.理解正态分布的均值、方差及其含义. 3.了解3σ原则,会用正态分布解决实际问题. 4.体会正态曲线、正态分布的发现过程,提升数学抽象和数据分析素养. 自主预习 新知导学 正态分布 (1)由图可以得到函数f(x)的图象关于哪条直线对称? 提示:直线x=72. (2)当函数f(x)取得最大值时,x的值是什么?由此可以得到μ的值是什么? 提示:x=72,μ=72. (3)由以上的讨论得到函数f(x)的解析式是什么? 2.(1)正态曲线的概念:一般地,函数φ(x)= (x∈R)对应的图象称为 正态曲线 (也因形状而被称为“钟形曲线”,φ(x)也常常记为φμ,σ(x)). (2)正态曲线的性质: ①正态曲线关于 x=μ 对称(即 μ 决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点; ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为 1 ; ③σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ 越大 ,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”,σ 越小 ,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”. (3)正态分布的概念:一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作 X~N(μ,σ2) ,此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数.此时μ是X的均值,而σ是X的标准差, σ2 是X的方差. (4)“3σ”原则:如果X~N(μ,σ2),那么 P(X≤μ)=P(X≥μ)= 50% ; P(|X-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ 68.3% ; P(|X-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈ 95.4% ; P(|X-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈ 99.7% . 最后的式子意味着,X约有 99.7% 的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”. (5)标准正态分布:μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布.如果 X~N(0,1),那么对于任意实数a,通常记Φ(a)=P(X<a),也就是说Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞,a)内所围的面积. 3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于 (　　) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 解析:∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2. 又P(ξ≤4)=0.84,∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16, ∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16. 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( × ) (2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.( × ) (3)正态曲线可以关于y轴对称.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 正态曲线 【例1】 一条正态曲线如图所示,试根据图象写出该正态分布的密度函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 1.要特别注意σ是随机变量的标准差. 2.用待定系数法求正态分布的密度函数解析式,关键是确定参数μ与σ的值. 3.当x=μ时,正态分布的密度函数取得最大值,最大值为 . 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 已知σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线如图所示,则σ1,σ2,σ3的大小关系是(　　) A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3 C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3 探究一 探究二 探究三 思想方法 σ2=1.由正态曲线的性质可知,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3. 答案:D 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 利用正态分布求概率 【例2】 设X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5). 解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2. (1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈68.3%. (2)因为P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1), 探究一 探究二 探究三 思想方法 延伸探究 例2条件不变,若P(X≥c+1)=P(X≤c-1),求c的值. 解:因为X~N(1,22),所以对应的正态曲线关于直线x=1对称.又P(X≥c+1)=P(X≤c-1), 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 利用正态分布求概率的两种方法 (1)对称法:由于正态曲线关于直线x=μ对称,因此关于直线x=μ对称的区间上概率相等. (2)“3σ”法:利用X落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]上的概率分别约是68.3%,95.4%,99.7%求解. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 已知随机变量X~N(μ,σ2),其密度函数在区间(-∞,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,且P(72≤X≤88)≈68.3%.求: (1)参数μ,σ的值; (2)P(64≤X≤72). 解:(1)由题意可知,正态曲线关于直线x=80对称,故μ=80. 又P(72≤X≤88)≈68.3%, 所以80-σ=72,即σ=8. (2)因为P(64≤X≤96)=P(80-2×8≤X≤80+2×8)≈95.4%, P(72≤X≤88)≈68.3%, 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 正态分布的实际应用 【例3】 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且试卷满分为150分,这个班的学生共54人,估计这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数. 解:由题意可知,μ=110,σ=20,则P(90≤X≤130)≈68.3%, P(X≥90)=1-P(X≤90)≈84.15%. 54×84.15%≈45(人),故及格的人数约为45. 因为P(X≥130)=P(X≤90)≈15.85%, 所以54×15.85%≈9(人). 故130分以上的人数约为9. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解决此类问题一定要灵活运用3σ原则,将所求概率向P(μ-σ≤X≤μ+σ), P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)进行转化,利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100). (1)试估计考试成绩ξ位于区间[70,110]上的概率; (2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩位于区间[80,100]上的考生大约有多少人. 探究一 探究二 探究三 思想方法 (1)由于正态变量在区间[μ-2σ,μ+2σ]上取值的概率约是95.4%,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,因此估计考试成绩ξ位于区间[70,110]上的概率是95.4%. (2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100. 因为正态变量在区间[μ-σ,μ+σ]上取值的概率约是68.3%,所以考试成绩ξ位于区间[80,100]上的概率约是68.3%. 因为一共有2 000名考生,所以考试成绩在[80,100]上的考生大约有 2 000×68.3%=1 366(人). 探究一 探究二 探究三 思想方法 【思想方法】 正态分布问题中的转化思想 【典例】 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生有15人. (1)试估计此次参加竞赛的学生总数共有多少人? (2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生,问受奖学生的分数线大约是多少? 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:(1)设学生的成绩为X,共有n人参加竞赛. 因为X~N(60,100),所以μ=60,σ=10, 探究一 探究二 探究三 思想方法 因为0.022 8<0.5, 所以x0>60. 所以P(120-x0≤X≤x0)=1-2P(X≥x0)≈95.4%, 所以x0≈60+20=80. 故受奖学生的分数线约为80分. 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛 解决此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,将所求问题向P(|X-μ|≤σ),P(|X-μ|≤2σ),P(|X-μ|≤3σ)进行转化,进而利用“3σ原则”求解问题. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数800≤X≤900的概率为p0,则p0=　　　　　.  解析:由X~N(800,502),知μ=800,σ=50. 又P(700≤X≤900)≈95.4%, 答案:47.7% 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.(多选题)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右平移2个单位,得到一条新的曲线b.下列说法正确的是(　　) A.曲线b仍然是正态曲线 B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C.曲线b对应的随机变量的均值比曲线a对应的随机变量的均值大2 D.曲线b对应的随机变量的方差比曲线a对应的随机变量的方差大2 答案:ABC 2.已知正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为P1,P2,则P1与P2的大小关系为(　　) A.P1=P2 B.P1<P2 C.P1>P2 D.不确定 答案:A 3.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在区间(0,1)内取值的概率为0.4,则X在区间(0,2)内取值的概率为　　　　　.  解析:因为X服从正态分布N(1,σ2),所以X在区间(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.所以X在区间(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8. 答案:0.8 4.若ξ~N(μ,σ2),且P(ξ>3)=P(ξ<1),则μ=　　　　　.  答案:2 5.设随机变量X~N(0,1),求P(X≤0),P(-2≤X≤2). 解:由题意可知,正态曲线的对称轴为直线x=0,故P(X≤0)=0.5. P(-2≤X≤2)=P(0-2×1≤X≤0+2×1)≈95.4%. 1.函数f(x)=,x∈R的图象如图所示. 提示:f(x)=(x∈R). 解:由题中图像可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为,则μ=20,,解得σ=.故正态分布的密度函数解析式为φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞). 总体随机变量的均值是μ=20,方差是σ2=()2=2. 解析:当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=.当x=0时,f(x)取最大值,故 所以P(3≤X≤5)=[P(-3≤X≤5)-P(-1≤X≤3)] =[P(1-4≤X≤1+4)-P(1-2≤X≤1+2)]≈×(95.4%-68.3%)=13.55%. (3)P(X≥5)=[1-P(-3≤X≤5)]=[1-P(1-4≤X≤1+4)]≈×(1-95.4%)=2.3%. 所以=1,即c=1. 所以P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈×(95.4%-68.3%)=13.55%. 故P(X≤90)=[1-P(90≤X≤130)]≈15.85%, 解:因为ξ~N(90,100),所以μ=90,σ==10. 所以P(X≥90)=[1-P(30≤X≤90)]≈×(1-99.7%)=0.001 5. 又P(X≥90)=, 所以=0.001 5,所以n=10 000. (2)设受奖学生的分数线为x0, 则P(X≥x0)==0.022 8. 则P(800≤X≤900)≈×95.4%=47.7%. 解析:由题意可知,μ==2. $$