4.3.1 一元线性回归模型（第2课时 相关系数、非线性回归） 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.3.1　一元线性回归模型 第2课时　相关系数、非线性回归 课标定位素养阐释 1.结合实例,了解相关系数的统计含义. 2.会利用相关系数判断两个变量的相关性. 3.会根据数据求非线性回归方程. 4.体会数学建模的过程,提升数据分析和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、相关系数 提示:不一定. 提示:越小越好. 2.(1)相关系数的概念 (2)相关系数的性质 ①|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是 r>0 ,y与x负相关的充要条件是 r<0 . ②|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性 越弱 ,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r| 越大 ,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值. ③ |r|=1 的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 3.若分别计算具有线性相关关系的甲组数据和乙组数据,得相关系数r甲=0.8,r乙=-0.9,则相关关系较强的是(　　) A.甲组数据 B.乙组数据 C.甲、乙两组数据一样强 D.不确定 答案:B 二、非线性回归 1.观察下列表格中的数据. x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 4 8 15 24 37 48 65 (1)表格中的x和y具有线性相关关系吗? 提示:不具有. (2)直观上看,y与x可以近似地用哪个函数来刻画? 提示:y=x2. 2.(1)非线性相关关系与非线性回归方程:当变量y与x的关系不是 线性相关关系 时,称为非线性相关关系,所得到的方程称为非线性回归方程. (2)非线性回归方程的求解:一般地,非线性回归方程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜测,而回归方程有时可以通过变量替换后,借助求回归直线的过程确定.当然,确定了非线性回归方程之后,也可以利用它进行预测. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)求回归方程前可以不进行相关性检验.( × ) (2)利用回归方程求出的值是估计值.( √ ) (3)相关系数越大,两个变量的相关性就越强.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 相关系数的计算 【例1】 某工厂1~8月份某种产品的产量x与成本y的统计数据如下表. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 产量/t 5.6 6.0 6.1 6.4 7.0 7.5 8.0 8.2 成本/万元 130 136 143 149 157 172 183 188 求y与x的相关系数(精确到0.001),判断y与x是否具有线性相关关系.若有,求出其回归直线方程. 探究一 探究二 易错辨析 解:(1)列出下表. i 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 5.6 6.0 6.1 6.4 7.0 7.5 8.0 8.2 yi 130 136 143 149 157 172 183 188 31.36 36 37.21 40.96 49 56.25 64 67.24 16 900 18 496 20 449 22 201 24 649 29 584 33 489 35 344 xiyi 728 816 872.3 953.6 1 099 1 290 1 464 1 541.6 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 1.解决此类问题的难点是对数据的处理和计算,一般采用列表法,可以有效地避免运算错误. 2.判断两个变量是否线性相关,可以利用相关系数r的绝对值的大小来判断.|r|越大,两个变量的线性相关性越强;|r|越小,两个变量的线性相关性越弱. 反思感悟 探究一 探究二 易错辨析 【变式训练1】 为了研究3月下旬的平均气温x(单位:℃)与4月份棉花害虫化蛹高峰日y的关系,某地区观察了2018年至2023年的情况,得到了下面的数据. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x 24.4 29.6 32.9 28.7 30.3 28.9 y 19 6 1 10 1 8 (1)求相关系数r(精确到0.01); (2)据气象预测,该地区在2025年3月下旬的平均气温为27 ℃,试估计该地区2025年4月份棉花害虫化蛹高峰日为哪一天. 探究一 探究二 易错辨析 解:列出下表. 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 探究二 非线性回归 【例2】 在一次抽样调查中,测得样本的5个样本点,数值如下表. x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 试建立y与x之间的回归方程. 探究一 探究二 易错辨析 解:作出变量y与x之间的散点图,如图所示. 探究一 探究二 易错辨析 由y与x的数据表,可得y与t的数据表如下. t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 作出y与t的散点图,如图所示. 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以先画出已知数据的散点图,把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,再采用适当的变量变换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.求非线性回归方程的一般步骤如下. 反思感悟 探究一 探究二 易错辨析 【变式训练2】 某电容器充电后,电压达到100 V,然后开始放电,由经验知道,此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(b<0)表示,现测得时间t时的电压U如下表. t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 试求:电压U关于时间t的回归方程. 探究一 探究二 易错辨析 解:对U=Aebt两边取对数,得ln U=ln A+bt,令y=ln U,a=ln A,x=t,则y=a+bx,y与x的数据如下表. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6 根据表中数据画出散点图,如图所示,从图中可以看出,y与x具有较好的线 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 【易错辨析】 不理解相关系数的意义而致误 【典例】 对四组变量y和x进行线性相关性检验,已知n是观测值组数,r是相关系数.①n=7,r=-0.954 5;②n=15,r=0.381 2;③n=17,r=-0.498 5;④n=3,r=0.987 0,则变量y与x具有线性相关关系的是　　　　　.(填序号)  错解:因为r越接近于1,线性相关程度越强,所以只有④符合题意.故填④. 答案:④ 探究一 探究二 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:两个变量之间的线性相关性强弱是由|r|的大小来决定,而不是由r的大小来决定. 正解:相关系数r的绝对值越大,线性相关性越强.故填①④. 答案:①④ 探究一 探究二 易错辨析 变量之间的线性相关系数r具有如下性质: (1)|r|≤1; (2)|r|越大,变量之间的线性相关性越强;|r|越小,变量之间的线性相关性越弱; (3)当r>0时,两个变量正相关;当r<0时,两个变量负相关. 防范措施 探究一 探究二 易错辨析 【变式训练】 若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验,得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83,0.72,-0.90,则线性相关性最强的一组是　　　　　.(填甲、乙、丙中的一个)  解析:|r|越接近于1,线性相关性越强.故填丙. 答案:丙 探究一 探究二 易错辨析 随堂练习 1.已知y关于x的回归直线方程为 =-0.21x+2.3,则(　　) A.相关系数r>0 B.相关系数r<0 C.相关系数r>1 D.相关系数r<-1 解析:由回归直线方程可知,y与x负相关,故相关系数r<0.又|r|≤1,故选B. 答案:B 2.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10),得散点图①,其相关系数为r1,对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,3,…,10),得散点图②,其相关系数为r2,则由这两个散点图可以断定(　　) 图① 图② A.r1>0,r2>0 B.r1>0,r2<0 C.r1<0,r2>0 D.r1<0,r2<0 解析:由图①可知,x与y负相关,故r1<0;由图②可知,u与v正相关,故r2>0. 答案:C 答案:AD 4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥5,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=3x-2上,则这组样本数据的相关系数为　　　　　.  答案:1 5.如图,在(x,y)的五组数据中,去掉　　　　　后,剩下的四组数据的相关系数增大.  解析:去掉点(4,10)后,其余四点大致在一条直线附近,相关性增强,相关系数增大. 答案:(4,10) 6.某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表所示. 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 年推销金额y/万元 2 3 3 4 5 (1)求年推销金额y与工作年限x的相关系数(精确到0.01),并求y关于x的回归直线方程; (2)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额. 1.具有相关关系的两个变量的回归直线方程为x+. (1)预报值与真实值y一定一样吗? (2)预报值与真实值y之间的误差是越大越好还是越小越好? 统计学里一般用r=来衡量y与x的线性相关性强弱,这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 3.若变量y与x的非线性回归方程为=2-1,则当x=时,y的估计值为2. 则=6.85,=157.25, =382.02,=201 112,xiyi=8 764.5. 故r=≈0.996. 故y与x之间有很强的线性相关关系. 又≈22.169,≈5.392, 故所求的回归直线方程为=22.169x+5.392. i 1 2 3 4 5 6 xi 24.4 29.6 32.9 28.7 30.3 28.9 yi 19 6 1 10 1 8 ≈29.13,=7.5,=5 130.92,=563,xiyi=1 222.6 (1)r=≈-0.93. (2)≈-2.23,≈72.46. 故回归直线方程为=-2.23x+72.46. 当x=27时,=-2.23×27+72.46≈12. 故估计该地区2025年4月12日为棉花害虫化蛹高峰日. 由图可知,散点分布在某条曲线附近,且曲线的形状与函数y=的图像相似. 故设y=+m,令t=,则y=kt+m. 由图可知,y与t具有线性相关关系. 又=1.55,=7.2,tiyi=94.25,=21.312 5, 则≈4.134 4, =7.2-4.134 4×1.55≈0.791 7,故=4.134 4t+0.791 7. 故y与x的回归方程为+0.791 7. 性相关关系.由表中数据求得=5,≈3.045,由公式求得≈-0.313, =4.61, 故y关于x的线性回归方程为=-0.313x+4.61. 故ln =-0.313t+4.61,即=e-0.313t+4.61=e-0.313t·e4.61. 因此电压U关于时间t的回归方程为=e-0.313t·e4.61. 3.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确的是(　　) A.y与x负相关,且=2.347x-6.423 B.y与x负相关,且=-3.476x+5.648 C.y与x正相关,且=5.437x+8.493 D.y与x正相关,且=-4.326x-4.578 解:(1)由已知得,=6,=3.4,=200,=63,xiyi=112, 则r=≈0.98, =0.5,=0.4, 故y关于x的回归直线方程为=0.5x+0.4. (2)当x=11时,=0.5×11+0.4=5.9. 故估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元. $$