4.3.1 一元线性回归模型（第1课时 相关关系、回归直线方程、回归直线方程的性质） 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版 数学 选择性必修第二册 第四章　概率与统计 4.3.1　一元线性回归模型 第1课时　相关关系、回归直线方程、回归直线方程的性质 课标定位素养阐释 1.理解两个变量的相关关系的概念,会利用散点图判断两个变量是否具有相关关系. 2.了解一元线性回归模型及最小二乘法,会求回归直线方程. 3.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测. 4.体会数学建模的过程,提升数学抽象和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、相关关系 1.正方形的边长x与周长y之间有什么关系? 提示:y=4x,当x确定时,y也确定. 2.在一定范围内,当施肥量确定时,粮食产量是一个确定的值吗? 提示:不是. 3.(1)相关关系:两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系.这些关系常见的有两类,一类是变量之间的关系具有确定性,当一个变量确定后,另一个变量就确定了;另一类是变量之间确实有一定的关系,但没有达到可以互相决定的程度,它们之间的关系带有一定的随机性,这两个变量的关系,统计学上称为相关关系. (2)散点图:一般地,如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据),如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi,yi),i=1,2,3,…,n,就可以得到这n对数据的散点图. (3)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用 一次函数 来刻画,则称x与y线性相关.此时,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量 正相关 ;如果一个变量增大,另一个变量大体上 减少 ,则称这两个变量负相关. 4.下列说法正确的是(　　) A.任何两个变量之间都有相关关系 B.根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值 C.相关关系是一种不确定的关系 D.以上说法都不正确 答案:C 二、回归直线方程 1.如果变量x与y线性相关,那么x与y的关系可以近似地用哪个函数来刻画? 提示:一次函数. 2.一次函数的解析式是什么?要求一次函数的解析式,需要求出哪些参数? 提示:y=kx+b(k≠0),需要求出k和b的值. 3.(1)回归直线方程:一般地,已知变量x与y的n对成对数据(xi,yi),i=1,2,3,…,n.任意给定一个一次函数y=bx+a,对每一个已知的xi,由直线方程可以得到一 (2)回归直线方程的性质 4.若某商品的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)负相关,则其回归方程可能是(　　) 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)圆的周长与半径之间的关系是相关关系.( × ) (2)农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 相关关系的判断 【例1】 (1)下列关系中,属于相关关系的是　　　　　.(填序号)  ①等边三角形的边长与面积之间的关系; ②农作物的产量与光照时间之间的关系; ③汽车的行驶速度与汽车油箱的容量之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 解析:在①中,等边三角形的边长与面积之间是函数关系; 在②中,农作物的产量与光照时间之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系; 在③中,汽车的行驶速度不受汽车油箱容量的影响,两者之间没有任何关系; 在④中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系. 答案:②④ 探究一 探究二 规范解答 (2)某男孩的年龄与身高的统计数据如下. 年龄/岁 1 2 3 4 5 6 身高/cm 78 87 98 108 115 120 作出散点图,并判断它们是否有相关关系.如果有相关关系,是正相关还是负相关? 探究一 探究二 规范解答 解:根据数据,作出散点图如图所示. 由图可知,它们具有相关关系,且是正相关. 探究一 探究二 规范解答 判断两个变量是否相关的两种方法 (1)根据相关关系的定义判断. (2)利用散点图,观察点的分布是否存在一定的规律,直观地进行判断. 反思感悟 探究一 探究二 规范解答 【变式训练1】 如图,两个变量不具有相关关系的是　　　　　.(填序号)  解析:①中两个变量是函数关系;②③中的点均分布在一条直线周围,故②③中的两个变量均具有相关关系;④中点的分布没有任何规律,故④中两个变量不具有相关关系. 答案:①④ 探究一 探究二 规范解答 探究二 求回归直线方程 【例2】 下表是某旅游景区游客数量y与平均气温x的对比表. 平均气温x/℃ -1 4 10 13 18 26 游客数量y/百人 20 24 34 38 50 64 已知y与x是线性相关的,求y关于x的回归直线方程. 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 求回归直线方程的步骤 反思感悟 探究一 探究二 规范解答 【变式训练2】 对具有线性相关关系的变量x和y,测得一组数据如下表所示. x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若已求得它们的回归直线的斜率为6.5,则这条回归直线的方程为　　　　　.  探究一 探究二 规范解答 【规范解答】 回归直线方程的实际应用 【典例】 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验.测得的数据如下. 零件 数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时 间y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)已知y与x具有线性相关关系,求回归直线方程; (2)根据求出的回归直线方程,预测加工200个零件所用的时间为多少. 探究一 探究二 规范解答 审题策略　已知y与x具有线性相关关系,先利用公式求 ,进而得到回归直线方程,再利用方程进行分析. 探究一 探究二 规范解答 (2)当x=200时,y的估计值为 =0.668×200+54.96=188.56≈189. 因此,预测加工200个零件所用的时间为189 min. 答题模板　第1步:利用公式求出 . 第2步:写出回归直线方程. 第3步:根据回归直线方程进行预测分析. 1.忘记或记错求 的公式. 2.计算错误. 失误警示 探究一 探究二 规范解答 【变式训练】 某市统计局统计了该市某年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表. 年收入 x/万元 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支 出y/万元 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)已知y与x是线性相关的,求回归直线方程; (2)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出. 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 随堂练习 答案:C 2.(多选题)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归直线方 C.若该大学某女生的身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生的身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg 解析:ABC显然正确,对于D,当x=170时, =0.85×170-85.71=58.79,体重的估计值为58.79 kg,故D错误. 答案:ABC 3.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(单位:kg)关于身高x(单位:cm)的回归直线方程为 =0.72x-58.2.已知某同学(20岁)的身高为178 cm,则该同学的体重应该在　　　　　kg左右.  答案:69.96 4.一组数据(x,y)的散点图如图所示,经最小二乘估计公式计算,y与x之间的 答案:1 5.某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据. x 2 4 5 6 8 y 30 45 60 55 70 (1)作出散点图; (2)从散点图中判断销售额与广告费支出具有什么样的关系. 解:(1)作出的散点图如图所示. (2)从图中可以发现,点分布在某条直线的附近,且当x增大时,y大体上也增大,故销售额与广告费支出是线性相关的,且是正相关的. 个估计值=bxi+a,如果一次函数x+能使(-y1)2+(-y2)2+…+(-yn)2=(yi-)2取得最小值,则x+称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 其中称为回归系数,它实际上也就是回归直线方程的斜率. ①y与x正相关的充要条件是>0,y与x负相关的充要条件是<0. ②当x增大一个单位时,增大个单位. A.=-10x+200 B.=10x+200 C.=-10x-200 D.=10x-200 (3)回归直线过样本点的中心().( √ ) 解:由已知得,=1+16+100+169+324+676=1 286, xiyi=-1×20+4×24+10×34+13×38+18×50+26×64=3 474. 则≈1.68, ≈18.73,故所求的回归直线方程为=1.68x+18.73. (1)求平均数;(2)求xiyi;(3)求;(4)利用公式;(5)利用;(6)写出回归直线方程. 解析:由题意可知,=5,=50.设回归直线方程为=6.5x+,则=50-6.5×5=17.5.故回归直线方程为=6.5x+17.5. 答案:=6.5x+17.5 规范展示　(1)设所求的回归直线方程为x+, 则≈0.668, =91.7-0.668×55=54.96, 因此,所求的回归直线方程为=0.668x+54.96. 解:(1)依题意,=6,=1.83, 则≈0.17,=0.81, 故所求的回归直线方程为=0.17x+0.81. (2)当x=9时,=0.17×9+0.81=2.34. 故预测其年饮食支出约为2.34万元. 1.已知回归直线方程=-1.5x+2,则当变量x增大1个单位时,(　　) A.增大1.5个单位 B.增大2个单位 C.减小1.5个单位 D.减小2个单位 程为=0.85x-85.71,则下列结论正确的是(　　) A.y与x正相关 B.回归直线过样本点的中心() 解析:当x=178时,=0.72×178-58.2=69.96. 回归直线方程为=0.8x+,则=　　　　　.  解析:因为=2,=2.6,所以2.6=0.8×2+,所以=1. $$